··············xy第十章相關分析與一元線性回歸分析第一節相關分析和回歸分析概述第二節相關分析第三節一元線性回歸分析本章內容第一節相關分析和回歸分析概述一、相關關系的概念及特點相關關系：客觀現象之間存在的互相依存的不確定性關系。2.特點：（1）現象之間確實存在著數量上的依存關系；（2）現象之間數量上的關系是不確定、不嚴格的依存關系。圖10.1相關關系分類示意圖二、相關關系的分類相關分析就是對變量之間相關關系的描述與度量。其基本內容包括：1、直觀地判斷變量之間是否存在相關關系及其相關關系的具體形式。一般是通過繪制統計圖表來實現，這也是相關分析的出發點。2、定量地刻畫變量之間相關關系的程度或強度。線性相關關系一般是通過相關系數來說明，非線性相關關系可以通過相關指數來說明，這是相關分析的中心內容。3、相關系數的顯著性檢驗。在實際進行相關分析時，相關系數都是利用樣本數據計算的，因而帶有一定的隨機性。因此，也需要進行顯著性檢驗。三、相關關系的內容

相關表一相關圖二相關系數三第二節相關關系的測定

一、相關分析與回歸分析相關分析：是用相關系數去表現現象間相關關系的方向和密切程度。回歸分析：根據相關關系的形態，選擇一個合適的數學模型(稱為回歸方程式)，來近似地表示變量間的平均變化關系的一種統計分析方法。二、相關表與相關圖相關表：相關表是一種反映變量之間相關關系的統計表。相關表的編制，一般以x為自變量，y為因變量，把每個自變量與其相應的因變量在表格中一一對應地排列。通過相關表可以初步看出相關關系的形式、密切程度和相關方向。相關圖：又稱散點圖、散布圖（Scatterdiagram），它是將相關表中的觀測值在平面直角坐標系中用坐標點描繪出來，以表明相關點的分布狀況。通過相關圖，可以大致看出兩個變量之間有無相關關系以及相關的形態、方向和密切程度。單變量分組相關表按耕作深度分組（厘米）畝數（畝）平均畝產量（公斤）12432014634316153531810378204400221420合計40361表是將40畝地的耕作深度與畝產量數據按耕作深度進行分組后所形成的單變量分組相關表，分組后各耕作深度對應著一定的次數（即畝數），而產量為相應畝數上的平均產量。從表中可以看出，平均畝產量隨著耕作深度的增加有增加的趨勢，是一種正相關。表雙變量分組表營業額y(萬元)營業員x合計1—33—55—77—99—116—7---1675—6--244104—5-245-113—4214--72—312---31—22----2合計5510101040表則是將40家便民店按營業人員數（自變量）和營業額（因變量）同時進行分組而形成的雙變量分組相關表。從表中數據可以看出，營業額隨著營業員的增加有增加的趨勢，也是一種正相關。圖10.2強正相關

圖10.3弱正相關圖10.4強負相關圖10.5弱負相關圖10.6非線性相關圖10.7不相關利用Excel繪制散點圖的具體方法

①進入Excel表格界面，然后直接點擊“圖表”命令。出現如圖10.8所示的對話框。我們選擇“XY散點圖”。圖10.8表10-1

②單擊“自定義類型”，出現圖10.9所示的對話框，選擇“兩軸折線圖”③單擊下一步，出現圖10.10的對話框，在數據區域里選擇數據區域“$B2:$C9”。

圖10.9圖10.10

單擊下一步，出現圖10.11的對話框，在系列里選擇“產品產量”和“生產費用”，在分類X軸標志里選擇“$A2:$A9”。⑤單擊下一步，出現圖10.12的對話框,在圖表標題框里輸入“產品產量與生產費用相關圖”，X軸輸入“時間”，Y軸分別輸入“產品產量”和“生產費用”，單擊“完成”出現圖10.13的輸出結果：圖10.11圖10.12

輸出結果圖10.13三、單相關關系的測定——相關系數相關系數：在線性相關條件下，說明兩個現象之間相關關系的方向和密切程度的統計分析指標。通常用r來表示。

總體相關系數的計算：（10.1）式中：Var(X)是變量X的方差；Var（Y）是變量Y的方差；Cov（X,Y）是變量X和Y的協方差。

相關系數的定義公式為：（10.2）式中,n表示資料項數；表示x變量數列的算術平均數；表示y變量數列的算術平均數；σx表示x變量數列的標準差；σy表示y變量數列的標準差；表示x，y兩個變量數列的協方差。上述定義公式，整理可寫成：在實際應用中，可運用相關系數簡捷法。即：

（10.3）（10.4）例3．設某市十家主要商場的人均銷售額和利潤率資料如表10－2所示，試計算其相關系數。表10-2解：根據表中所列示的資料，代入下式

=0.987（1）利用Excel公式計算相關系數r

例．針對表10-2，借助于Excel表格計算相關系數。①進入Excel表格界面，選中C15單元格，輸入“=”，單擊插入“fx”函數命令，出現圖10.14對話框，單擊“選擇類別”，在下拉菜單中選中“統計”，在選擇函數中選擇“CORREL”函數圖10.14

②在圖10.15對話框里，在Arrey1一欄輸入B3:B12,在Arrey2里輸入C3:C12。③單擊“確定”，計算出r=0.9874，和例3計算的結果是一致的。但用Excel計算要比公式計算快捷的多。圖10.15圖10.16（2）利用Excel“數據分析”計算相關系數r用工具“加載宏”選項選中“分析工具庫”選項

，見圖10.17這時，在“工具”菜單中選中“數據分析”命令。從“數據分析”選項中選中“相關系數”選項，見圖10.18。

圖10.17圖10.18在輸入的區域里輸入“$B$3:$C$12”，在輸出的區域里輸入“$B$15:$D$17”,見圖10.19。相關系數分析的結果間圖10.20。圖10.19圖10.20

按例2的方法繪制散點圖，見圖10.21，可以看出：由于r=0.987，人均銷售額和利潤率高度正相關。圖10.21第三節回歸分析一、回歸分析的一般問題回歸分析所研究的兩個變量不是對等關系，必須根據研究目的，先確定其中一個是自變量，另一個是因變量；回歸分析可以根據研究目的不同分別建立兩個不同的回歸方程；回歸分析對資料的要求是，自變量是可以控制的變量(給定的變量)，因變量是隨機變量。二、一元線性回歸分析

式中，a表示回歸直線在y軸上的截距，代表經濟現象經過修勻的基礎水平；b表示直線的斜率，稱為y倚x的回歸系數，表明x每變動一個單位時,影響y平均變動的數量；a和b表示確定回歸直線模型的兩個待定參數。（10.9）例5.根據表10-2人均銷售額與利潤率資料，求其一元線性回歸方程。表10-3

解：首先，根據表中合計欄的資料求出標準方程組中所需數據其次，將求出的數據代入公式（10.9），求出a、b的值：再次，將a、b的值代入回歸方程得：最后，由回歸方程可得相應的回歸估計值，如表10-3所示。利用Excel求一元線性回歸方程在“工具”菜單中選中“數據分析”命令。從“數據分析”選項中選中“回歸”選項，見圖10.22。單擊“確定”按鈕出現圖10.23的對話框。在Y值輸入區域$C$3:$C$12,在X值輸入區域$B$3:$B$12,輸出區域選中新工作表組.圖10.22圖10.23

表10-4計算結果如表10-4，計算出的interpret（截矩）即a=-0.38591，XVarable即b=2.293182，和例5用公式計算的結果是一致的，只是這要方便快捷的多。三、估計標準誤差的計算方法

（10.7）公式10.7中，Sy表示估計標準誤差；我們稱之為均方殘差（SS）,n-2表示數據的項數的自由度。估計標準誤差是殘差平方和(SS)除以它的自由度n-2后的