第四章圖像變換4.1酉矩陣和正交矩陣的變換4.2傅立葉變換4.3離散余弦變換（DCT）4.4

離散沃爾什變換（WalshTransform4.5

哈達瑪變換(HadamardTransform,HT)4.6其它變換為什么引入圖像變換？圖像變換是許多圖像處理和分析技術地基礎。人眼只能籠統分析圖像信息，而圖像經變換后，可以用光譜、頻譜等方法細致分析，突出表現圖像細節。將圖像從時域變換到頻域，優點之一就是能將復雜的卷積運算變為簡單的相乘運算。變換的另一個意義是用于圖像識別，如多光譜圖像，對同一目標用不同波長的微波或紅外來照射，獲取回波形成幾幅圖像，彼此相關，在時域中這種相關很復雜，而在頻域中就能被很簡單地處理。理論依據：信號分析的一個重要概念是任何波形可由許多基波的加權和合成；反之任何波形可分解為許多基波及其加權值。根據線性可疊加系統的結論，系統對某個波形的影響可看作是系統對各基波影響的累加。這就是圖像分析技術的重要依據。把一維信號分析的結論擴展到二維，即任何圖像都可分解為許多基圖像及其權值。根據線性可疊加系統的結論，系統對某幅圖象的影響可以考慮為系統對各基圖像的影響的累加。基波和基圖像都是互相正交的。4.1酉矩陣和正交矩陣的變換4.1.1

一維變換1.連續函數集合的正交性

一維連續實值函數的集合，若此集合中的函數滿足式式中T為周期。當C＝1時，稱集合為歸一化正交函數集合。正交函數集合常用作基函數，它應滿足正交性和完備性兩個條件。2.離散情況連續一維基函數經采樣，可看作下列向量集合：若它們彼此正交，則向量元素應滿足下式：

當C＝1，稱為歸一化正交。即每一個向量為單位向量。其物理意義為多維空間坐標的基軸方向互相正交。用滿足上式的基向量組成矩陣則一定滿足

3.一維變換利用上述矩陣對任一數據向量進行運算為若恢復，則若，即A為正交陣，則若A的每一個元素可能為復數，則正交的條件可用式中為A的復數共軛。滿足這個條件的矩陣稱為酉矩陣。此時對任意向量的運算和恢復稱為酉變換。若A為酉陣，則滿足下式：若A不是復數時，就成為正交變換。所以說正交變換是酉變換的一個特例。因而把各種正交變換都統稱為酉變換(unitarytransform)。酉陣的每一個向量都可作為基向量(基函數)，基向量的加權和可以合成任意向量（函數）。完備性

若f(x)是定義在t0和t0+T區間的實值信號，則可用展開式表示，即

對任何平方可積的分段連續信號f(x)及無窮小量＞o，總存在一個正整數N與有限展開式，使f(x)的估值為使得物理意義:任何數量的奇函數累加仍為奇函數，任何數量的偶函數累加仍為偶函數。因此，為表示一個任意函數f(x)，這個函數集合應既有奇函數又有偶函數，這是一個必要條件，就是完備性。滿足正交性、完備性兩個條件的函數集或矩陣才能用于圖像的分析。常用的幾種變換如傅里葉變換、WALSH變換、哈達瑪變換、Haar變換、K-L變換等都滿足正交性和完備性兩個條件。正交函數集合(a)完備(b)不完備4.1.2二維變換1.二維變換其中稱為正變換核，稱為反變換核。這兩個變換核應滿足正交性和完備性。2.變換核可分離式中，都是一維完備正交基向量的集合，用矩陣A、B表示它們，則通常選B＝A，則二維酉變換為：正變換逆變換寫作寫作矩陣相乘的意義為：A左乘f相當于對f進行列變換，右乘f相當于對f進行行變換。

3.基圖像由二維變換的反變換公式看出，是一個矩陣，也可以看作是基圖像。因此一幅N×N圖像就有N2個基圖像。f(x,y)可用N2個基圖像的加權和來表示。令則f圖像表示為F(u,v)可看成是f圖像在基圖像上的投影，是二維酉變換的頻域系數，可以看作是基圖像的加權值。把基圖像加權累加就得到原圖像f(x,y)。４.１.3酉變換的性質

酉變換的主要性質是變換前后的矢量長度保持不變，因此才能保持圖像中的某些物理量不變，而物理量的分布在變換后更適于處理。只有矢量長度保持不變，才能保證正變換、逆變換的唯一性。酉變換是復頻域中的一種線性正交變換，變換中的基本線性運算是準確可逆的，且變換核滿足正交條件。它實質上是把圖像數據分解為廣義二維頻譜，每一譜分量反映原圖中譜函數的能量。酉變換也可解釋為多維坐標旋轉。其變換的一個重要特性是測度守恒，如兩幅圖像的均方值之差在變換前后是不變的。酉陣是正交陣A為酉陣，則和皆為酉陣酉變換是能量保持的變換N階矩陣A滿足：AAT=IN

N

為正交陣

AA*T=IN

N

為酉陣即

A-1＝AT及A-1＝A*T4.均值和方差5.去相關6.其他性質４.２傅立葉變換是最早研究與應用的酉變換。６０年代用計算機實現快速傅里葉變換之后才獲得廣泛應用。傅里葉變換后的變換域也稱為頻域。４.２.1連續函數的傅立葉變換

若把一個一維輸入信號作一維傅立葉變換，該信號就被變換到頻域上的一個信號，即得到了構成該輸入信號的頻譜，頻譜反映了該輸入信號由哪些頻率構成。這是一種分析與處理一維信號的重要手段。當一個一維信號f(x)滿足狄里赫萊條件，即f(x)（1）具有有限個間斷點，（2）具有有限個極值點；（3）絕對可積。則其傅立葉變換對（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實際應用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維傅立葉變換對的定義為式中： ，x稱為時域變量，u稱為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對為式中：x,y為時域變量；u,v為頻域變量。4.2.2離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)要在數字圖像處理中應用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數學中進行傅立葉變換的f(x)為連續（模擬）信號，而計算機處理的是數字信號（圖像數據）；二是數學上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。

式中：x，u=0，1，2，…,N－1。

注：第二式中的系數1/N也可以放在式第一式中，有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以 ，這是無關緊要的，只要正變換和逆變換前系數乘積等于1/N即可。

設{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為由歐拉公式可知

將上式代入離散傅里葉變換式中，并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得

可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應的傅立葉變換結果是所有輸入序列f(x)的加權和（每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個傅立葉變換結果的頻率。通常傅立葉變換為復數形式，即

式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部。上式也可表示成指數形式：

F(u)=|F(u)|ejφ(u)其中通常，|F(u)|稱為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，

Ф(u)稱為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它表示為

考慮到兩個變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；

x,y為時域變量，u,v為頻域變量。像一維離散傅立葉變換一樣，系數1/MN可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數 ，只要兩式系數的乘積等于1/MN即可。二維離散函數的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為

式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。

4.2.3離散傅立葉變換的性質

表4-1二維離散傅立葉變換的性質

1.可分離性由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對f(x,y)按行進行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按列進行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結果，如下圖所示。用兩次一維DFT計算二維DFT

顯然對f(x,y)先按列進行離散傅立葉變換，再按行進行離散傅立葉變換也是可行的。2.平移性質平移性質表明，只要將f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再進行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點（0，0）移動到圖像中心（M／2,N／2）處。下圖是簡單方塊圖像平移的結果。傅立葉頻譜平移示意圖(a)原圖像；（b）無平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜

(a)(b)(c)

3.旋轉不變性由旋轉不變性可知，如果時域中離散函數旋轉θ°角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數也將旋轉同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉不變性如下圖所示。

(a)(b)(d)(c)離散傅立葉變換的旋轉不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉45°后的圖像；（d）圖像旋轉后的傅立葉頻譜4.2.3可分離變換

二維傅立葉變換可用通用的關系式來表示：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱為正向變換核和反向變換核。如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v） h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)

則稱正、反變換核是可分離的。進一步，如果g1和g2，h1和h2在函數形式上一樣，則稱該變換核是對稱的。此時是二維傅立葉變換對是的一個特殊情況，它們的核為可見，它們都是可分離的和對稱的。如前所述，二維傅立葉變換可以利用變換核的可分離性，用兩次一維變換來實現，即可先對f(x,y)的每一行進行一維變換得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一維變換得到變換結果F(u,v)。對于其他的圖像變換，只要其變換核是可分離的，同樣也可用兩次一維變換來實現。如果先對f(x,y)的每一列進行一維變換得到F(u,y)，再沿F(u,y)每一行取一維變換得到F(u,v)，其最終結果是一樣的。該結論對反變換核也適用。4.2.4圖像變換的矩陣表示數字圖像都是實數矩陣，設f(x,y)為M×N的圖像灰度矩陣，通常為了分析、推導方便，可將可分離變換寫成矩陣的形式：F=AMfANf=F

其中，F、f是二維M×N的矩陣；AM是M×M矩陣；

AN是N×N矩陣。式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1。對二維離散傅立葉變換，則有

實踐中，除了DFT變換之外，還采用許多其他的正交變換。例如：離散余弦變換、沃爾什-哈達瑪變換、K-L變換等。下面將對常用的變換作一簡要介紹：

4.3離散余弦變換（DCT）

離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數。DCT除了具有一般的正交變換性質外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號和圖像信號的相關特征。因此，在對語音信號、圖像信號的變換中，DCT變換被認為是一種準最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標準建議中，都把DCT作為其中的一個基本處理模塊。除此之外，DCT還是一種可分離的變換。

4.3.1一維離散余弦變換

一維DCT的變換核定義為

式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一維DCT定義如下：設{f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式，即

F=Gf其中

一維DCT的逆變換IDCT定義為

式中，x,u=0,1,2,…,N－1。可見一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。

4.3.2二維離散余弦變換考慮到兩個變量，很容易將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。C(u)和C(v)的定義與一維相同。

二維DCT定義如下：設f(x,y)為M×N的數字圖像矩陣，則

式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT逆變換定義如下：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。

類似一維矩陣形式的DCT，可以寫出二維DCT的矩陣形式如下：F=GfGT

二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍，如下圖所示。DCT中，(0,0)點對應于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點對應于高頻成分，同階的DFT中，(N／2,N／2)點對應于高頻成分。

DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布

4.4離散沃爾什變換（WalshTransform）4.4.1沃爾什函數的產生

沃爾什函數是1923年由美國數學家沃爾什提出的。沃爾什函數系是一個完備正交函數系，其值只能取＋1和－1。從排列次序上可將沃爾什函數分為三種定義方法：一種是按照沃爾什排列來定義(按列率排序)；另一種是按照佩利排列來定義(按自然排序)；第三種是按照哈達瑪排列來定義。由于哈達瑪排序的沃爾什函數是由2n（n=0，1，2，…）階哈達瑪矩陣（HadamardMatrix）得到的，而哈達瑪矩陣的最大優點在于它具有簡單的遞推關系，即高階矩陣可用兩個低階矩陣的克羅內克積求得。·列率是指在沃爾什變換矩陣中，沿某一列符號改變的次數。1.Rademacher函數集是1922年德國數學家拉德梅赫H.Rademacher提出的。當把正弦函數集作無限放大限幅得到，式中

稱為Rademacher函數。Rademacher函數集的圖形，如下圖。Rademacher函數集若n=1,若n=2,拉德梅赫函數變化規律：1）Rad(n,t)取值1和–1兩種。2）Rad(n,t)是Rad(n-1,t)的二倍頻。3）如果已知n，則Rad(n,t)有2n-1個周期，其中。2.Walsh函數集的產生Walsh函數集，n為序號，t是廣義規格化變量，，若n表示二進制數，即

p為正整數，是i

的二進制表示式的最高位數。

沃爾什函數可簡寫為w(n,t),gi

為格雷碼，i=0,1,2….N=8的Walsh函數為W(n,t)n為二進制n為格雷碼W(n,t)W(0,t)W(000,t)W(000,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)0W(1,t)W(001,t)W(001,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)1W(2,t)W(010,t)W(011,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)1W(3,t)W(011,t)W(010,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)0W(4,t)W(100,t)W(110,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)0W(5,t)W(101,t)W(111,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)1W(6,t)W(110,t)W(101,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)1W(7,t)W(111,t)W(100,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)0Walsh函數W(n,t)的波形，如圖右所示。8階沃爾什矩陣：N=8Walsh函數Walsh函數W(n,t)的波形有以下幾個特點：（1）W(n,t)函數隨n的增加，過零點是遞增的。這種性質類似于頻率遞增特性，變化越來越快，也稱按Walsh取序的Walsh函數，簡寫為W(n,t)。（2）W(n,t)函數集合是正交的也是完備的。從t=0處兩邊函數的正負可知，n為奇數時，W(n,t)是奇函數，n為偶數時，W(n,t)是偶函數。（3）W(n,t)構成的核矩陣簡單。（4）W(n,t)只有+1和-1，因此乘法可用加減法來執行，從而大大加快運算速度。3.按佩利(Paley)序排列的Walsh函數

bi是將函數序號寫成BCD碼的第i位數字。其波形不變，只是過零點順序與Walsh序的按列率排列時的不一樣，所以實用圖像分析中仍需整序。4.按哈達瑪(Hadamard)序排列的Walsh函數Ii

是二進制bi的倒序。其波形與前者相同，只是順序改變。N=8的Paley序的Walsh函數為三種Walsh序的對比(a)(b)(c)4.4.2三種序的互相轉換從信號分析角度看，基本圖像概念分析需為Walsh序。用R(n,t)函數產生的方法，以Paley序最簡易。用矩陣產生變換核矩陣時，以Hadamard序最簡便。WP(n,t)W(n,t)WH(n,t)二進制碼寫格雷碼讀格雷碼寫二進制碼讀格雷碼寫倒置二進制碼讀二進制碼寫倒置格雷碼讀比特倒序比特倒序三種序轉換關系N=8三種序的相互轉換：WH(0,t)=WP(0,t)=W(0,t)=1WH(1,t)=WP(4,t)=W(7,t)=R(3,t)WH(2,t)=WP(2,t)=W(3,t)=R(2,t)WH(3,t)=WP(6,t)=W(4,t)=R(2,t)R(3,t)WH(4,t)=WP(1,t)=W(1,t)=R(1,t)WH(5,t)=WP(5,t)=W(6,t)=R(1,t)R(3,t)WH(6,t)=WP(3,t)=W(2,t)=R(1,t)R(2,t)WH(7,t)=WP(7,t)=W(5,t)=R(1,t)R(2,t)R(3,t)N=8三種序的相互轉換：4.4.3Walsh函數的性質1.在區間[0，1]內有2.在區間[0，1]的第1小段時間內(稱為時隙)，沃爾什函數總是1。3.乘法定理W(n,t)W(m,t)=W(nm,t)4.對稱關系W(2in,t)=W(n,2it)表明，當序數n增到2i倍時，相當于序數保持不變，將時間變量增到2i倍。5.對稱性W(n,t)=W(t,n)6.倒轉關系(奇偶性)

W(n,t)以t=0為軸，轉動180o，也即用(-t)代替t，則

W(n,t)=(-1)nW(n,t)當n為偶數時，W(n,-t)=W(n,t)

沃爾什函數是偶函數當n為奇數時，

W(n,-t)=-W(n,t)

沃爾什函數是奇函數7.平移與壓縮

W(n,mt)是將W(n,t)的尺度壓縮到1/m倍。

W(n,t-t0)是將W(n,t)向右平移t0。W(n,t+t0)是將W(n,t)向左平移t0。8.完備正交性(歸一化定理)

沃爾什函數系在0<t<1之內，是一個完備正交函數集。4.4.4離散沃爾什變換一維離散沃爾什變換定義為

一維離散沃爾什逆變換定義為

式中，W(u,x)為沃爾什函數。若將W(u,x)用哈達瑪矩陣表示，并將變換表達式寫成矩陣形式，則上二式分別為4.4.5二維離散沃爾什變換很容易將一維WT的定義推廣到二維WT。二維WT的正變換核和逆變換核分別為式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。寫成矩陣形式：4.4.6快速沃爾什變換（FWT）

類似于FFT，WT也有快速算法FWT，也可將輸入序列f(x)按奇偶進行分組，分別進行WT。FWT的基本關系為

WT的變換核是可分離和對稱的，因此二維WT也可分為兩個一維的WT分別用FWT進行變換而得到最終結果，由此便可實現二維的FWT。

綜上所述，WT是將一個函數變換成取值為＋1或－1的基本函數構成的級數，用它來逼近數字脈沖信號時要比FFT有利。同時，WT只需要進行實數運算，存儲量比FFT要少得多，運算速度也快得多。因此，WT在圖像傳輸、通信技術和數據壓縮中被廣泛使用。4.5哈達瑪變換(HadamardTransform,HT)是按Hadamard取序的Walsh變換，其變換核為WH(n,t)。1.H變換核矩陣的產生：N=2n(n=0,1,2,…)階哈達瑪矩陣的每一行對應于一個離散沃爾什函數，哈達瑪矩陣與沃爾什函數系不同之處僅僅是行的次序不同。2n階哈達瑪矩陣有如下形式：

哈達瑪矩陣的階數是按N＝2n(n＝0,1,2,…)規律排列的，階數較高的哈達瑪矩陣，可以利用矩陣的克羅內克積運算，由低階哈達瑪矩陣遞推得到，即矩陣的克羅內克積(KroneckerProduct)運算用符號記作，其運算規律如下：設則

和

式中，［HN］為N階哈達瑪矩陣，是HT變換核矩陣。

2.一維HT變換對：F=Hff=HF3.二維HT變換形成哈達瑪變換對，記作

f(x)F(u)也可用矩陣表示：F=HfH

f=HFH正變換和逆變換矩陣是一樣的。由哈達瑪矩陣的特點可知，沃爾什-哈達瑪變換的本質上是將離散序列f(x)的各項值的符號按一定規律改變后，進行加減運算，因此，它比采用復數運算的DFT和采用余弦運算的DCT要簡單得多。例:二維離散沃爾什變換的矩陣形式表達式為

和求這兩個信號的二維WHT。

根據題意，其中的M=N=4，其二維WHT變換核為

所以

下圖是一幅數字圖像及對其進行二維WHT變換的結果。二維WHT結果（a）原圖像；（b）WHT結果注：圖中的結果是按哈達瑪變換后再用沃爾什排序的結果。從以上例子可看出，二維WT具有能量集中的特性，而且原始數據中數字越是均勻分布，經變換后的數據越集中于矩陣的邊角上。因此，二維WT可用于壓縮圖像信息。

4.6其它變換4.6.1哈爾(Haar)變換1.Haar函數Haar函數是1910年匈牙利數學家A.Haar提出，它的矩陣只有+1、-1和另一個以為基礎的系數，計算十分簡單，它是正交的稀疏矩陣，故可加快運算速度。Haar函數的基向量是按順序取序的，主要用在圖像信息壓縮和特征提取中。Haar函數用har(n,t)表示，是正交完備和周期性的，n為函數的序號。

Haar函數定義在連續閉區間[0，1]，其中k=0,1,2,…,N-1N=2n，用har(k,p,q)或har(p,q)表示。可用式唯一地確定整數p、q。對N=2n的情況，0pn-1，如果p=0，則q=0,1；如果p0，則1q2p。har(k,t)=har(p,q,t)表示為

當N=4=22，n=2時有4個函數，構成的哈爾矩陣為當N=8=23，n=3時有8個函數。哈爾矩陣是正交矩陣。Haar函數集合

從矩陣中可看出，N＝8時的第一行反映整體的變換。第二行反映兩個半幅的變換，下兩行是N/4之間的變換，最后就是相鄰兩像元之間的變換。因此Haar陣既反映整體又反映局部。8個Haar函數形成的矩陣：2.Haar變換設NNHaar陣用Hh表示，則Haar變換表示為Haar變換為實正交變換，即當n增大時，矩陣為零的元素迅速增多，從而計算速度可加快。Haar變換可用矩陣表示二維Haar變換4.6.2斜變換（SlantTransform,ST)

是由伊諾莫托(Enomoto)和夏伊巴塔(Shibata)于1971年提出來的。已被證明，適于電視類型信號（其灰度有漸變性質）的有效變換。它是實數的正交變換。斜變換矩陣為S(n)或用Sn表示。設N為2的整數次冪時，一個NN階的斜矩陣由下列迭代關系定義其中IM為M階單位矩陣，系數aN和

bN分別為(N>1)：例：N＝4時的Slant矩陣為斜變換的性質：斜變換為實的、正交變換，即S＝S*

，S－1＝ST斜變換是一種很快的變換，適用于電視類型的灰度緩變圖像。對圖像有很好的能量集中特性。4.6.3離散K-L變換(霍特林變換)

把連續信號用一組不相關的系數表示，即作級數展開，是由Karhunen和Loeve兩人提出的。霍特林(Hotelling)則提出離散信號的不相關系數表示法。它是K-L級數展開的離散等效方法，也常稱之為特征值變換、主分量變換或離散K-L變換。K-L變換隨圖像統計特性的不同而有不同的變換核矩陣，是最優變換，計算復雜，圖像處理時不常用，但常用來與其它變換進行對比。在數據壓縮、圖像旋轉、遙感多光譜圖像的特征選擇和統計識別等方面很有用。

若M行N列圖像f

(x,y)，在信道中傳送了L次，就收到了L幀圖像組成的集合f(x,y)={f1(x,y),f2(x,y),…,fL(x,y)}用向量形式表示圖像，則其中元素式中,為圖像樣本集合第i個樣本，為第i幀第j行元素形成的列向量。

向量的協方差矩陣定義為在L幀圖像樣本組成的集合中，可用近似算法MN維的均值向量MNMN維的矩陣令ei和(i=1,2,…,MN)是的特征向量和對應的特征值，設特征值已按降序排列，即相應特征向量為e1,e2,…eMN有i=1,2,…,MN非零ei可從下式求得而且構成本征矢量矩陣為A＝[e1,e2,…,eMN]T

則可改寫為式中K-L變換寫成矩陣形式eij

是第i個特征向量第j個分量。K-L變換的性質：1）F的均值為零2）F的協方差3）F的協方差為對角矩陣，4）各個元