7.1.1數系的擴充和復數的概念

學習目標了解引入復數的必要性.了解數系擴充的一般“規則”,了解實數系擴充到復數系的過程,感受數系擴充過程中理性思維的作用,提升數學抽象、邏輯推理素養.理解復數的代數表達式,理解復數的有關概念,理解復數相等的含義.(一)創設情境,引出問題數學家的“決斗”——做題PK15世紀……一元三次方程費羅(1465-1526)判別式菲奧爾塔塔利亞(1499-1557)挑戰拿來吧你！卡爾丹(1501-1576)

邦貝利:“或許，這個世界上有一個數字能夠平方得出負數？”

(二)數系擴充過程中的“規則”

(二)數系擴充過程中的“規則”問題2：從小學到初中，數集經歷了哪幾次擴充？每一次擴充的主要原因是什么？分別解決了什么實際問題和數學問題？自然數集整數集實數集有理數集被“數”出來的自然數遠古時期的人類用劃痕、堆石、結繩記數，創造了自然數1,2,3,4,5……自然數是現實世界最基本的數量，是全部數學的發源地.計數的需要自然數被“虧”出來的負數隨著社會發展，出現商品交易.一個商人上午賣海鮮賺了5兩銀子，下午海鮮死了，虧了7兩銀子.該如何記賬呢？負數的引入，解決了在數集中不夠減的矛盾.相反量的需要負整數被“分”出來的分數等額公平分配的需要分數分數的引入,解決了在整數中不能整除的矛盾.二桃殺三士春秋時齊景公將兩個桃子賜給公孫接、田開疆、古冶子論功而食，三人棄桃自殺.事見春秋·齊·晏嬰《宴子春秋·諫下》，比喻借刀殺人.《九章算術》(東漢初年)

第二章“粟米”：糧食的按比例折換；第三章“衰分”：比例分配問題；

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；第八章“方程”：解一次方程組.無論是負數、分數的確切定義和科學表示，還是它們的運算，最早建立起來的都是中國，比歐洲早1400年.邊長為1的正方形的對角線長是多少?畢達哥拉斯（約公元前560—480年）11?度量計算的需要無理數被“推”出來的無理數無理數的引入解決了開方開不盡的矛盾.

古希臘畢達哥拉斯學派發現了勾股定理，該學派相信萬物都是整數或者整數之比，那么兩條幾何線段長度之間的比值，其結果也必然是整數之比.約2500年前畢氏學派的弟子希帕索斯發現了一個驚人的事實，若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數，這與“萬物皆為數”(指有理數)的哲理大相徑庭.希帕索斯最終為此付出生命的代價，將一腔熱血獻祭給了第一次數學危機.自然數集整數集實數集刻畫相反意義的量引入了負整數解決測量等分問題引入了分數引入了無理數計數的需要引入了自然數解決度量正方形對角線等問題有理數集自然數負整數分數整數有理數實數無理數隨著社會發展，數集在不斷擴充．(二)數系擴充過程中的“規則”

(二)數系擴充過程中的“規則”我們把一個數集連同規定的運算以及滿足的運算律叫做一個數系.思考：自然數集擴充到實數集對應的數系分別是什么？(二)數系擴充過程中的“規則”問題3：數系引入“新數”后，新數集與原數集有什么關系？運算有沒有改變？運算律有沒有改變？你能概括出數系擴充遵循的“規則”嗎？新數集包含原數集；新數集中規定的加法和乘法運算與原數集運算協調一致；加法和乘法滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律.(二)數系擴充過程中的“規則”

(三)擴充實數集，引入復數

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首先為瑞士數學家歐拉在1748年所創用，到1801年德國數學家高斯提倡才普遍使用.

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這個符號來源于英文imaginary(想象的,假想的)一詞的詞頭.(三)擴充實數集，引入復數

(三)擴充實數集，引入復數

setofcomplexnumber(三)擴充實數集，引入復數

(三)擴充實數集，引入復數

復數集純虛數集虛數集實數集(三)擴充實數集，引入復數

虛數不能比較大小！若兩個復數可以比較大小，這兩個復數必為實數！(四)強化概念的理解

①(四)強化概念的理解

(四)強化概念的理解

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