第二章光學系統成像原理§2.1共軸球面光學系統§2.3平面光學系統

§2.2理想光學系統※C：球面曲率中心。※OE：折射球面，也是兩種介質n與n’

的分界面?！鵒C：球面曲率半徑,r?！鵒：頂點?！鵫：光線投射高度。EOhCnn’r2.1.1單折射球面成像基本概念與術語§2.1共軸球面光學系統※子午面:

包含物點（或物體）和光軸的光路截面。※

單個折射球面的結構參數：

r,n,n’。給定了結構參數和物點A后，即可確定A點的像。AEOhCnn’r-U※

物點A在光軸上，其到頂點O的距離OA為物方截距，用L

表示?！?/p>

入射光線AE與光軸的夾角為物方傾斜角也叫物方孔徑角，用U

表示。AEOhCnn’r-L折射光線EA’由以下參量確定：※像方截距：頂點O到折射光線與光軸交點，用L’表示?！穹絻A斜角：折射光線EA’與光軸的夾角，也叫像方孔徑角，用U’

表示。AEOhCnn’r-L-UA’L’U’像方參數與對應的物方參數所用的字母相同，并加以“

’

”相區別。只知道無符號的參數，光線可能有四種情況。要確定光線的位置，僅有參量是不夠的，還必須對符號作出規定。2.1.2符號規則符號規則對于研究成像規律非常重要?。ㄒ唬⒐饴贩较驈淖笙蛴覟檎蚬饴?，反之為反向光路。正向光路反向光路（二）、線段1、沿軸線段：從起點（原點）到終點的方向與光線傳播方向相同，為正；反之為負。即以線段的原點為起點，向右為正，向左為負。原點+原點-※原點規定：（1）曲率半徑

r,以球面頂點O為原點，球心C在右為正，在左為負。EAO+rCAEC-rO

（2）物方截距L

和像方截距L’

也以頂點O為原點，到光線與光軸交點，向右為正，向左為負。AA’-L+L’EOCAEC-L’-LA’O（3）球面間隔d以前一個球面的頂點為原點，向右為正，向左為負。（在折射系統中總為正，在反射和折反系統中才有為負的情況）O1O2O1O2O1O2+d+d-d2.垂軸線段：以光軸為界，上方為正，下方為負。AB+yOEC+hA’B’-y’（三）角度※角度的度量一律以銳角來度量，由起始邊順時針轉到終止邊為正，逆時針為負。※起始邊規定如下：（1）光線與光軸的夾角，如U,U’,以光軸為起始邊。-UU’AB-LyOECrL’A’B’h-y’（2）光線與法線的夾角，如I,I’,以光線為起始邊。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’I-I”I’-I”-I’（3）入射點法線與光軸的夾角φ（球心角），以光軸為起始邊。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’φL=100mm,U=30°×××√同學們一定要記住上面的符號規則！練習：試用符號規則標出下列光組及光線的位置（1）r=-30mm,L=-100mm,U=-10°（2）r=30mm,L=-100mm,U=-10°（3）r1=100mm,r2=-200mm,d=5mm,L=-200mm,U=10°（4）r=-40mm,L’=200mm,U’=10°（5）r=-40mm,L=-100mm,U=-10°,L’=-200mm當結構參數r,n,n’

給定時，只要知道

L

和U，就可求L’

和U’AEOCnn’r-L-U一、實際光路的計算公式（追跡公式或大L公式）：2.1.3單折射球面成像的光路計算△AEC中，－L＋r=AC,并由正弦定理可得：第一步：連接CEA-LOE-UCrIφnn’第三步：由圖可知則可知U’

的大小:則可求I’

的大?。坏诙剑河蒃點作出射光線。由折射定律A-LOE-UCrA’U’II’φnn’第四步：在△EA’C中，CA’

=L’-r,由正弦定理，可得A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’上述四個公式就是子午面內光路計算的大L計算公式，當n,n’,r

和L,U

已知時，可依次求出U’和L’。子午面內光路計算大L計算公式綜上可知當物點位于光軸上無限遠處時，可以認為它發出的光是平行于光軸的平行光，此時有L＝－∞，U＝0然后再按其它大L公式計算OECrIφnn’h入射角可以按計算例1：已知一折射球面其r=36.48mm，n=1，n’

=1.5163。軸上點A的截距L=-240mm，由它發出一同心光束，今取U為-1°、-2°、-3°的三條光線，分別求它們經折射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方傾斜角U’

）AEOCnn’-240mmU=-1°:U’=1.596415°L’=150.7065mmU=-2°:U’=3.291334°L’=147.3711mmU=-3°:U’=5.204484°L’=141.6813mm可以發現：同一物點發出的物方傾斜角不同的光線過光組后并不能交于一點！軸上點以寬光束經球面成像時，存在像差（球差）。！AEOCnn’-240mm由上面推導可知：L'=f(L,U)、U'=g(L,U)，當L不變，只U變化時，L'也變。說明“球差”的存在。

球面之所以產生象差是由于其面形僅由—個參數r決定之故。當由多個折射球面合理組合(即多個透鏡組合)時，象差可以減小。非球面可以使軸上物點以寬光束成完善象。拋物面鏡可以使平行光束會聚于其焦點上。但是由于非球面的計算比球面復雜，尤其是加工和檢驗更為因難，因而它的應用范圍受到很大限制。橢球面鏡可使一個焦點發出的光線均會聚于另一個焦點上。

折射球面對軸上點以寬光束成像是不完善的，所成的像不是一點，而是個模糊的像斑，在光學上稱其為彌散斑。

一個物體是由無數發光點組成的，如果每個點的像都是彌散斑，那么物體的像就是模糊的。

將物方傾斜角U限制在一個很小的范圍內，人為選擇靠近光軸的光線，只考慮近軸光成像，這時可以認為可以成完善像二、近軸光線的光路計算(小

公式)表明：在近軸區l’只是l的函數，它不隨孔徑u的變化而變化，軸上物點在近軸區成完善像。

近軸區、近軸光線，U很小，則I，I'和U'都很小,當無限遠物點發出的平行光入射時，有繼續用其余三個公式。小l公式也稱為近軸光線的光路追跡公式OECriφnn’h例2：仍用上例的參數，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163,l=-240mm,sinU=u=-0.017，求：l’,u’

與大L公式計算的結果比較：L’=150.7065mm.(1°)可得：左邊是物方參量，右邊是像方參量如將和中的i,i’

代入三、近軸區域的物像位置關系

對于近軸光而言，AE=-l，EA’=l’,sinu=u,sinu’=u’有：lu=l’u’=hA-lOE-uCrA’u’ii’φnn’l’h將上式代入，若消去l,l’,整理后得：也可表示為將代入，若消去u和u’,可得lu=l’u’

=h上式稱為單個折射球面物像位置公式阿貝不變量

上述三個公式是一個公式的三種不同的表達形式，中間的公式表示成不變量Q的形式，稱為“阿貝不變量”?！砻鳎寒斘稂c位置一定時，物空間和像空間的Q值相等。給出了l

和l’

的關系

給出了u

和u’

的關系例：半徑為r=20mm的一折射球面，折射率為n=1，n’=1.5163，當物體高度為10mm的垂軸物體AB位于距球面頂點l=-60mm時，求AB所成像A’B’。

l’

與u

無關，說明軸上點發出的靠近光軸的細小同心光束經球面折射后仍是同心光束，可以會聚到一點，也就是所成的像是完善的。解：應用物像位置公式得：距球心145.75mm連接B點和球心C，B點也可看做光軸上物點，其物距為：應用物像位置公式得：距球心142.71mm近軸的微小物體發出的靠近光軸的細光束經球面折射所成的像也是完善的。近軸的微小物體發出的細光束所在的空間稱近軸區?！山S細光束成的完善像稱為高斯像※光學系統在近軸區成像性質和規律的光學稱為高斯光學或近軸光學。四、

近軸區域的物像放大率（一）垂軸放大率β稱為垂軸放大率或橫向放大率A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’△ABC∽△A’B’C

有：代入可得：可見β只取決于介質折射率和物體位置。A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’由阿貝不變量公式可得：根據β的定義和公式，可以確定物體的成像特性：（1）若β>0,

即y

與y’

同號，表示成正立像。反之成倒立像。對橫向放大率的討論（2）若β>0,

即l

與l’

同號，表示物象在折射球面同側，物像虛實相反。反之l

與l’

異號，物像虛實相同。可歸結為：β>0,成正立像且物像虛實相反。

β<0,成倒立像且物像虛實相同。l’l記住嘍，成像的位置、大小、虛實、倒正極為重要?。。。?）若|β|>1,

則|y’|>|y|，成放大像，反之|y’

|<|y|，成縮小像

即無窮遠物將在某點縮為一點。(4)（二）軸向放大率

軸向放大率表示光軸上一對共軛點沿軸向移動量之間的關系。它定義為物點沿光軸作微小移動dl

時，所引起的像點移動量dl’

與dl

之比，用α表示。對公式微分，有整理后由于所以（1）折射球面的軸向放大率恒為正，說明物點沿軸向移動時，像點沿光軸同方向移動。（2）軸向與垂直放大率不等，空間物體成像時要變形，立方體放大后不再是立方體。折射球面不可能獲得與物體相似的立體像。討論：（3）公式應用條件：dl很小。由得到以下結論：（三）角放大率在近軸區內，角放大率定義為一對共軛光線與光軸夾角u’

與u

的比值，用γ表示A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’將式

lu=l’

u’=h代入上式上式兩邊乘以n’/n，并利用垂軸放大率公式，可得上式為角放大率與橫向放大率之間的關系式。

角放大率表明了折射球面將光束變寬或變細的能力，只與共軛點的位置有關，與光線的孔徑角無關將軸向放大率與角放大率公式相乘，有：上式為三種放大率的關系。即：J稱為拉赫不變量或傳遞不變量，可以利用這一性質，在物方參數固定后，可通過改變u’

來控制y’

的大小，也就是可以通過控制像方孔徑角來控制橫向放大率。上式稱為拉格朗日－赫姆霍茲公式，它表明實際光學系統在近軸區域成像時，在一對共軛面內，其n，u，y或n’，u’，y’的乘積為一常數J。(拉赫不變量）例3：已知一個光學系統的結構參數，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163l=-240mm,y=20mm已求出：l’=151.838mm，現求β,y’

（橫向放大率與像的大小）解：β<0：|β|<1：縮小倒立、實像、兩側上例中，若l1=-100mm，或l2=-30mm,分別求像的位置和大小。當l1=-100mm時： l1’=365.113mm

β1=-2.4079 y1’=-

48.1584mm放大倒立實像，兩側利用公式當l2=-30mm時：

l2’=-79.0548mm

β2=1.7379y2’=34.7578mm放大正立虛像同側⑴物像位置公式

⑵放大率物沿光軸移動時，像沿反向移動五、球面反射鏡成像將折射系統公式中的用代替，可得相應公式。(拉赫不變量）例題4：現有一球面反射鏡，曲率半徑為r，請問無窮遠物體發出的光成像在什么位置處？即成像于曲率中心與折射面頂點的中間位置處。解：特別地：當物點位于球心C時，即，則即通過球心的光線將沿光路返回，重匯于球心。由兩個折射面組成的透鏡，均已知?，F在已知

l1和

u1，要求l2’

和u2’A1’=A2A1O1O2n1n2’n1’=n2-l1-u1u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’2.1.3共軸球面系統的成像（一）過渡公式

（1）用小l公式算出光線經第一個折射面后的像方截距l’1和孔徑角u1’問題分兩步解決：A1O1n1n1’-l1-u1u1’l1’A1’（2）將第一個面的出射光線作為第二個面的入射光線，再利用小l公式求解最終的l’2和u2’將第一個折射面像空間參數轉化為第二個折射面物空間參數的關系式，稱為過渡公式

。注意：O1O2n2’n1’=n2u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’A1’=A2推而廣之，如果有k

個折射球面，也必須先給定光學系統的結構參數：（1）每個球面的曲率半徑r1，r2……rk（2）每個球面間隔d1，d2……dk-1（3）每個球面間介質折射率n1，n’1=n2，n’2=n3……n’k-1=nk，最后一個面后的折射率為n’k.-l1h1l'1-l2d1r1r2r3l'3l'2d2-l3A1B1-u1n1n'1(n2)n'2(n3)n'3y1h2h3u'3-u3-u'2u'1(u2)O1O2C1C2C3O3y2-y'3反復應用小l公式進行計算，此時，前一個面的像空間就是后一個面的物空間。參數關系：※

上述公式為共軸球面系統近軸光線計算的過渡公式，它對于寬光束成像也適用，只需將小寫字母u

和l換成大寫即可。（二）、放大率公式1、橫向放大率整個系統的橫向放大率是各個折射面放大率的乘積2、軸向放大率整個系統的軸向放大率是各個折射面放大率的乘積3、角放大率4、三者關系（三）拉赫公式利用這一點，我們可以對計算結果進行檢驗

例已知一透鏡的結構參數如下(單位是毫米)：r1=10mm，n1=1.0，d1=5，n2=n1′=1.5163，r2=-50mm，n2′=1.0。高度y1=10mm的物體位于透鏡前l1=-100mm處，求像的位置和大小。代入數據

解：本題可用物像公式進行逐面計算。計算第一面：利用公式求得

而

計算第二面：利用公式

其中

代入數據

求得

而

整個透鏡的垂軸放大率為β=β1·β2，

像的大小為

例一凹球面反射鏡，半徑r=-12cm，當物距分別為-2、-4、-9和-24cm時，求像的位置和垂軸放大率。解：成像計算中有兩種方法：方法1：對每一面用追跡公式及過渡公式方法2：對每一面應用物像位置公式及過渡公式當只關心物像位置和大小且折射面很少時，用方法2較為方便。如需知道一些中間量以計算像差且折射面較多時，多采用方法1。

共軸球面系統只有在近軸區才能成完善像,而對于寬光束,當u較大時，成像就不完善，存在像差。

只能對細光束成完善像的光學系統是無實用價值的！

尋找一個能對較大范圍、較粗光束及較寬波段范圍都能成滿意像的光學系統，就是應用光學所需要解決的中心問題。到哪里找這樣的系統呢？2.2理想光學系統其它原因：（1）光束太細，進入光學系統的能量太弱，成像太暗。（2）只能對物面上很小的部分成像，不能反映全貌。為了揭示物、像、成像系統三者之間的內在聯系，可暫時拋開成像系統的具體結構，將一般僅在光學系統近軸區存在的完善像拓展成在任意大的空間以任意寬光束都能完善成像的理想模型，即稱為理想光學系統，又稱為高斯光學系統（1841年由高斯提出）。理想光學系統：理想光學系統可有任意多個折、反射球面或多個光組組成。尋找理想光學系統的特征點、面就可以代表整個光組的光學特性，用以討論成像規律?！暨M行光學設計的時候，開始只是提出性能要求，如放大倍數等。這時，光組的具體參數是未知的，因此無法用近軸光學公式計算。為什么要研究理想光學系統？理想光組的成像作為衡量實際光學系統成像質量的標準這可咋整？

由理想光組所抽象出來的光學特征公式進行光組的初始計算，也就是以理想光組理論為基礎，根據要求，尋找和確定一個能滿足要求的光學系統的整體方案。稱為光學系統的外形尺寸計算，也稱輪廓計算?A?A’O1OkBCC’B’理想光學系統，物像關系具有以下性質：（1）物空間一個物點對應像空間中唯一的像點，這種一一對應關系稱為共軛，這兩個對應點稱為共軛點。（2）物空間中每一條直線對應于像空間中唯一相應直線，這兩條直線稱為共軛線。2.2.1理想光學系統的共線成像理論D’D（3）物空間中每一個平面對應于像空間中唯一平面，這兩個面稱為共軛面。（4）如果物空間任意一點D位于直線BC上，那么其在像空間的像D’也必位于BC的共軛線B’C’上。P?A?A’P’O1OkCC’B’B※

把這種點對應點，直線對應直線，平面對應平面的成像變換稱為共線成像，也稱“理想像”，上述定義稱為共線成像理論。1、已知：M為理想光學系統，物平面O1與共軛面O1’，其對應的垂軸放大率為β1，物平面O2與對應的共軛面O2’，其對應的垂軸放大率為β2，求物空間任意一點O的共軛點O’。利用幾何關系求像OO1O2O1’O2’基本思想：過O點的兩條光線經光學系統后出射光線的交點即為O點經光學系統后的共軛點。OO1O2O1’O2’AA’B’BO’5、兩條出射光線的交點即為O’點。1、過O點和O1點作一條光線，此光線與O2平面交于A點;2、由于A點在O2平面上，由垂軸放大率可得A點的共軛點A’；3、過O1’與A’的光線即為OO1的出射光線；4、同理，過O點和O2點作一條光線，此光線與O1平面交于B點，由垂軸放大率可得B點的共軛點B’，過O2’與B’的光線即為OO2的出射光線；2、已知：M為理想光學系統，物平面O1與共軛面O1’，其對應的垂軸放大率為β，光軸上現有兩物點O2，O3與其共軛點O2’，O3’，求物空間任意一點O的共軛點O’。基本思想：過O點的兩條光線經光學系統后出射光線的交點即為O點經光學系統后的共軛點。OO1O2O1’O2’O3O3’1、過O點和O2點作一條光線，此光線與O1平面交于A點;2、由于A點在O1平面上，由垂軸放大率可得A點的共軛點A’；3、過O2’與A’的光線即為OA的出射光線；5、兩條出射光線的交點即為O’點。4、同理，過O點和O3點作一條光線，此光線與O1平面交于B點，由垂軸放大率可得B點的共軛點B’，過O3’與B’的光線即為OB的出射光線；OO1O2O1’O2’O3AB’BO’A’O3’理想光組有一些特殊的點和平面，利用它們來討論光組的成像特性，可以使問題大大的簡化?！碚鞴饨M特性的點、面稱為基點和基面大家可要做好筆記呦！2.2.2理想光學系統的基點和基面

h

是軸上物點A發出的一條入射光線的投射高度由三角關系：－Uh－LA當

即物點向無限遠處左移時，由于任何光學系統口徑有限，所以此時※即無限遠軸上物點發出的光線與光軸平行一、無限遠軸上物點與像方焦點、像方焦平面；像方主點、主平面；像方焦距AU’F’

E’hE※

F’

就是無限遠軸上物點的像點，稱像方焦點AE

是一條平行于光軸的入射光線它通過理想光學系統后，出射光線E’F’交光軸于F’※過F’

點作垂直于光軸的平面，稱為像方焦平面它是無限遠處垂直于光軸的物平面的共軛像平面將AE延長與出射光線E’F’的反向延長線交于Q’通過Q’點作垂直于光軸的平面交光軸于H’點，※

則Q’H’平面稱為像方主平面，H’稱為像方主點AU’F’

E’hEQ’

H’

※從像方主點H’

到像方焦點F’

之間的距離稱為像方焦距，用

f’表示

f

’也遵從符號規則，它的起始原點是像方主點H’根據三角關系，有：AU’F’

E’hEQ’

H’

f’

-w無限遠軸外物點發出的光線F'無限遠軸外物點發出的能夠進入光學系統的光線總是相互平行的，光線與光軸有一定的夾角，用w

表示。這樣一束平行光線經過理想光組后，一定相交于像方焦平面上的某一點，這一點就是無限遠軸外物點的共軛像。二、無限遠軸上像點與物方焦點、物方焦平面；物方主點、主平面；物方焦距E’hF－UE※如果軸上某一點F的共軛像點在無限遠處，即由F發出的光線經光組后與光軸平行，則F

稱為系統的物方焦點。BQE’B的反向延長線與FE交于Q，過Q點做與光軸垂直的平面，與光軸交于H點?！?/p>

則QH平面稱為物方主平面，H點稱為物方主點。※從物方主點H

到物方焦點F

之間的距離稱為物方焦距，用

f

表示。f也遵從符號規則，它的起始原點是物方主點H。這里為-f

E’hF－UEH-fB三、物方主平面與像方主平面之間的關系E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh入射高度為h的AE1的延長線與PkF’的反向延長線決定Q’

根據光路的可逆性，入射高度同樣為h的BEk的延長線和P1F

的反向延長線交于Q。

由于這兩組光線是共軛的，所以Q與Q’點必是共軛點，QH與Q’H’也是一對共軛面結論：主平面的橫向放大率為＋1。※在追跡光線時，出射光線在像方主平面上的投射高度一定與入射光線在物方主平面上的投射高度相等。QH與Q’H’在光軸同側，且高度都為h，故其橫向放大率為：β＝＋1光學系統E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh小結：-ff’H’HFF’物方焦點物方主點像方焦點像方主點物方主平面像方主平面一對共軛面，三對共軛點是最常用的共軸系統的基點一對共軛面：兩個主平面三對共軛點：無限遠軸上物點與F’，F與無限遠軸上像點，物方主點H和像方主點H'一對主平面和兩個焦點構成了一個光學系統的基本模型。提問：物方焦平面與像方焦平面是不是共軛面？不是！！!F’H’AhEQ’QHF思考：四、節平面和節點※節點定義：角放大率γ=+1的一對共軛點物空間物方節點

J

像空間像方節點J’

HH'JJ'F'Fuu'-f

f'性質：通過物方節點J

的入射光線，經光組后其出射光線必經過像方節點J’，且方向不變。※在同一介質中，節點J

，J’

與主點H，H’

重合?。ê竺嬖敿氈v解）

HH'JJ'F'Fuu'如果已知共軸光學系統的一對主平面和兩個焦點的位置，就能根據它們找出物空間任意物點的像！2.2.3理想光學系統的物像關系

※

若f’>0，為正光組（會聚光組）

若f’<0，為負光組（發散光組）記住嘍，做題時先判斷光組的正負！FF’HH’正光組F’FHH’負光組一、用作圖法求理想光學系統的物像關系※已知一個理想光學系統的主點和焦點的位置，利用光線通過它們后的性質，對物空間給定的點、線、面通過畫圖追蹤典型光線求像，稱為圖解法求像。這可是重點呦！可供選擇的典型光線和可供利用的性質有：（2）平行于光軸入射的光線，經過系統后過像方焦點。F’HH’（1）共軛光線在主平面上的投射高度相等，即一對主平面的橫向放大率為＋1。（3）過物方焦點的光線，經過系統后平行于光軸。FH’H（4）過主點（節點）光線方向不變。HH’（5）傾斜于光軸的平行光線，經過系統后交于像方焦平面上某一點。-wF'H’H（6）自物方焦平面上一點發出的光束經系統后成傾斜于光軸的平行光束。FH’H（7）光軸上的物點其像必在光軸上。1、已知F和F’，求軸外點B或垂軸物體AB的像（一）正光組軸外點及軸上點作圖再次強調：作圖時先注意光組的正負，看物方焦點F和像方焦點F’的位置。2、已知F和F’，求軸上點A的像A’方法1：過F作物方焦平面，與A點發出的光線交于N，以N為輔助物點，從N點作平行于光軸的直線，經過光組后交于像方焦點F’，則AN光線過光組后與輔助光線平行，與光軸的交點既是A’。NAFF’HH’方法2：

利用過主點光線方向不變，作過主點的輔助光線。利用像方焦平面上發出的光線過光組后平行射出的性質。然后作平行輔助光線的出射光線。AA’FF’NHH’條條大路通羅馬！方法3：過物方焦點F

作輔助線，過光組后與光軸平行，交像方焦平面于N’，則A點射出的與輔助光線平行的光線過光組后過N’

點，與光軸交點即是A’。AA’FF’N’HH’方法4：也可以利用像方焦平面。作和入射光線平行的輔助光線，利用與光軸成一定角度的光束過光組后交于像方焦平面。AA’FF’N’HH’方法5：

過A作垂直于光軸的輔助物AB，按照前面的方法求出B’，由B’作光軸的垂線，則交點A’就是A的像。AA’FF’HH’BB’Q’（二）負光組軸上點作圖★FF’HH’A’AN方法1：（1）AQQ（4）NR（3）延長AQ到NR（2）輔助焦平面（5）RR’（主面上投射高度相等）R’（6）R’F’（7）QQ’（8）Q’A’//R’F’（物方焦平面一點發出的光線過光組后平行射出）方法2：（1）AQ（5）H’R’//RH（3）RH//AQ（4）輔助面F’（6）反向延長H’R’交輔助面F’于N（2）QQ’（7）NQ’于光軸交點既是A’（物方平行光線出射后反向延長線會聚于像方焦平面上一點）FF’HH’A’ANQRR’Q’方法3：（3）QQ’（4）由Q’作直線過F’（5）BH（2）由B作BQ//光軸（8）由B’作直線垂線于光軸交點即是A’（1）輔助物AB（6）H’N（7）反向延長H’N，于Q’F’交于B’FF’HH’A’ANQB’Q’B（三）正光組，實物成像已知理想光組的物方焦點F和像方焦點F’，求物AB的像（a）物在二倍焦距外成倒立縮小實像；像在一倍焦距外，二倍焦距內。物、像在兩側BAA’FF’HH’B’2F’2F

實物成等大倒立實像，位于二倍像方焦點上。分立兩側(b)物在二倍焦距上AA’FF’HH’BB’2F’2F（c）物在二倍焦距之內，一倍焦距之外成放大倒立實像，像在二倍焦距外兩側AA’FF’HH’BB’2F’2F（d）物在焦平面上成像于像方無限遠,兩側AFF’HH’B2F’2F(e)物在一倍焦距內實物成放大正立虛像，同側AFF’HH’B2F’2FA’B’（四）正光組、虛物成像(a)虛物在一倍焦距內FF’ABA’B’縮小正立實像（一倍焦距之內），物像同側H’H(b)虛物在一倍焦距之外，二倍焦距之內成正立、縮小、實像（一倍焦距之內），物像同側FF’ABA’B’H’H2F’(c)虛物在二倍焦距之外成正立、縮小、實像（一倍焦距之內），物像同側FF’ABA’B’H’H2F’（五）負光組，實物成像（a）物在二倍焦距外像：縮小正立虛像，同側，一倍焦距內AFF’HH’B2F’2FA’B’（b）物在一倍焦距外，二倍焦距內像：縮小正立虛像，同側，一倍焦距內AFF’HH’B2F’2FA’B’（c）物在一倍焦距內像：縮小正立虛像，同側，一倍焦距內AFF’HH’B2F’2FA’B’（六）負光組，虛物成像（a）虛物，右側，一倍焦距內像：放大正立實像，同側AFF’HH’BA’B’（b）虛物，右側，一倍焦距以外，二倍焦距以內像：放大，倒立，虛像，兩側AFF’HH’BA’B’2F’2F（c）虛物，右側，二倍焦距以外像：倒立、縮小、虛像，兩側，一倍焦距外AFF’HH’BA’B’2F’2F1、求物的位置AFF’HH’BA’B’練一練ABFF’HH’A’B’2、求像？

H1F1H1'F1′H2H2'F2′F23、求光線出射方向BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'x—以物方焦點為原點的物距。稱為(焦)物距。以F為起始點，x方向與光線方向一致為正。（圖中為-）x’—以像方焦點為原點的像距。稱為(焦)像距。以F’為起始點，x’方向與光線方向一致為正。（圖中為+）二、用解析法求像l—物方主點H為原點的物距，稱為(主)物距。方向與光線方向一致為正。反之為負（圖中為-）l’—像方主點H’為原點的像距，稱為(主)像距。方向與光線方向一致為正。反之為負（圖中為+）BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'(一)、牛頓公式由相似三角形BAF和FHR可得由相似三角形Q’H’F’和F’A’B’BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'由以上兩式得：以焦點為原點的物像位置公式，通常稱為牛頓公式(二)、高斯公式物像位置也可相對主點的位置來確定，相應公式推導如下：代入牛頓公式并整理：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'兩邊同除得到以主點為原點的物像位置公式—高斯公式由直角三角形AMH和A’M’H’得：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h三、物方焦距與像方焦距的關系及拉赫公式理想光學系統的拉赫公式：近軸區：tgu=u,tgu’=u’相除后得到光組f

和f’

之間的重要公式BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h對比此公式表明，光學系統的像方焦距與物方焦距之比等于相應介質折射率之比。當n=n’

時，有：-f=f’※※※牛頓公式可寫成：高斯公式可以寫成：四、理想光學系統的放大率1、垂軸（橫向）放大率第一種表達方式：

光組焦距一定時，物在距焦點距離不同時，垂軸放大率也不同。用焦物距、焦像距與焦距的表達的關系BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h第二種表達方式：用主物距、主像距與焦距表達由牛頓公式：可以推出垂軸放大率的另一種形式：由物方焦距和像方焦距的關系公式：因此垂軸放大率的另一種形式：當光組處于同一介質中時，n=n

’,有：與單個折射球面近軸放大率公式完全相同，說明理想光組性質可以在近軸區實現。2、軸向放大率定義：物體沿光軸移動一微小距離，與像點相應移動的位移之比。1）與共軸球面系統放大率一致。2）光組位于同一介質，

3）立方體不再是立方體，失真。可導出：由牛頓公式和及3、角放大率角放大率定義：

由圖：與物像位置有關AA’FF’NHH’-uu’角放大率與橫向放大率之間的關系：光組某共軛面的橫向放大率確定后，該共軛面的軸向、角放大率也確定了。位于同一介質中時：由將橫向放大率公式代入上式并整理后可得:可得:4、三種放大率之間的關系5、節平面和節點※節點定義：角放大率γ=+1的一對共軛點即：即：u’=u物空間物方節點

J

像空間像方節點J’

HH'JJ'F'Fuu'-f

f'在節點處有γ=+1，根據角放大率公式有所以有：※以F，F’為原點。HH'JJ'F'Fuu'-f

f'性質：通過物方節點J

的入射光線，經光組后其出射光線必經過像方節點J’，且方向不變。在同一介質中，由于f’=-f,故有xj=-xj’※

即此時節點J

，J’

與主點H，H’

重合！HH'JJ'F'Fuu'HH'JJ'F'Fuu'-f

f'用途：作圖FB’ABHH’A’F’已知物點A，B和像點A‘，B’及主點H和H‘，求F，F'。HH’F’F已知主點H，H’和兩入射光線及其中一條出射光線，求F，F‘和另一出射光線。

平行于光軸的光線入射光組，當光組繞通過像方節點J’的軸線擺動一個角度時，像點位置(高度)不變。用來尋找光學系統的主點、節點位置。HH'JJ'A'F'HH'J'JA'F’'a用途：

測定主、節點周視攝影、節點架B'B1'A1'A'AA1B1BJ'J攝影物鏡周視照相機1）被攝影對像排成圓??；2）底片安裝以像方節點J’為圓心，成一圓弧；3）攝影時鏡頭繞J’旋轉；4）每一瞬時小范圍成像。排成弧形五、光學系統的光焦度例：有二光組，f1’=-f1=50mm,

l1=-100mm

f2’=-f2=20mml2=-100mm,

物距相同，求上述兩種情況下的像距用高斯公式解得：l1’=100mml2’=25mm結論：物距相同而焦距不同時，焦距短的光組對光束會聚的能力強些。空氣中：意義：表示光學系統對光束會聚（或發散）的本領。f

’或f越小，Ф越大。光學系統的光焦度光焦度的單位用來表示，它是在空氣中焦距為1m的光學系統的光焦度。也叫屈光度，D。例：f’=2米，Φ

＝1/f’=0.5D

f’=－200mm,

Φ

＝1/f’=－5D

f

’=－500mm200度的近視鏡，光焦度為－2D，其焦距為討論：（3）平行平板，f’為＋∞，Φ＝０，對光束不起會聚或發散作用。（1）Φ>0,(f

’>0),會聚光組，Φ愈大，匯聚本領愈大，反之亦然。（2）Φ<0,(f

’<0)，發散光組，Φ絕對值愈大，發散本領愈大，反之亦然。一、多光組成像的一般過程--若多個光組構成的系統，則有：1、光學間隔Δ：前一光組像方焦點到后一光組物方焦點之間的距離。2.2.4理想光學系統的多光組成像--2、過渡公式（現以二個光組為例）

物點A首先經光組1成像于A'1，A'1再作為光組2的物，經光組2成像為A'2。1）高斯過渡公式：已知同理，多光組過渡公式：2）牛頓過渡公式：--二、多光組系統的等效系統

在光學系統的應用中，通常將兩個或兩個以上的光學系統組合在一起使用。除了逐次求像外，還可把多光組組成的理想系統看作一個等效系統。那么，它的等效焦距是多少？它的等效焦點，等效主點又在什么地方？H1H’1H2H3H’2H’3F’1F2F’2F3F’3h1u’1u2-h2-u’2h3H’F’f’l’F-l’H設一條投射高度為h1的平行于光軸的光線，由圖看出：K個光組組合時，有：h1

已知，求出和hk

關鍵問題：對于第一個光組，將高斯公式兩邊同乘h1有：另有：(1)得：兩邊同乘過渡公式所以上式可以寫成：(2)H1H’1H2H3H’2H’3H’F’1F2F’2F3F’3h1-h2h3u’1u2-u’2-u3u’3F’-l’Hl’Ff’上兩式寫成一般形式：若要求f和lF,可將組合光組倒轉180度，再按照上述方法計算。上述計算方法就稱為正切計算法。則可迭代求出f’

和l’F當求多光組組合的基點位置和焦距大小時，應取初值例如：f1’=500mm，f2’=-400mm,d=300mm,用正切法求組合光組的焦距f’，組合光組的像方主平面位置H’

及像方焦點的位置l’F。H1'H1H2'H2F1'A’F2F’f1'dl’2=lF’Ld解：利用正切法進行計算：設

h1=500mm，有：u1’u’2

※

兩光組間距離d

：等于H1’H2※光學間隔Δ：第一光組像方焦點與第二光組物方焦點之間的距離F1’F2。符號規定：F1’到F2，向右為正，反之為負。三、雙光組組合：等效光組的物方焦點、主點,以F1為原點確定，也可用H1為原點確定。同理，像方分別用F2’和H2’確定。HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2（一）、焦點位置公式F1’和F’相對第二光組共軛牛頓公式：其中有：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2同理，F,F2相對第一光組共軛其中由牛頓公式：有：等效光組的物方焦點相對于一光組物方主點位置：等效光組的像方焦點相對于二光組像方主點位置：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2（二）、焦距公式∵⊿Q’H’F’～⊿N2’H2’F2’⊿Q1’H1’F1’～⊿F1’F2E2H’2N’2=F2E2由Q’H’=Q’1H’1有：所以：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2同理，∵⊿QHF～⊿F1H1N1有：所以：由QH=Q2H2H1N1=F’1E’1HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2⊿Q2H2F2～⊿F1’E1’F2代入焦距公式由：用光焦度表示：同一介質中：可寫成：對于密接薄透鏡組，d=0，則（三）、主點位置的確定HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N2四、雙光組組合應用實例長焦距的攝遠物鏡通常由兩個分離的正負光組組成，Ld為由物鏡第一面頂點到系統像方焦點之間的距離。例如：f1’=500mm，f2’=-400mm,d=300mm,求組合光組的焦距f’，組合光組的像方主平面位置H’

及像方焦點的位置l’F。（一）攝遠系統H1'H1H2'H2F1'A’F2F’f1'd=300l’2=lF’=400LdH'f’=1000解：由解得：f

’=1000mm由解得：l’F=400mm可以得出，H’在第一個光組左方300mm處。

顯然此組合光組的焦距f

’大于鏡頭筒長Ld，此類組合光組通常稱為攝遠物鏡，也稱為遠攝型光組。某些對有限遠物體成像的物鏡，若要求物方工作距（即物距l1）較長，也常用這種結構形式，這類物鏡稱為長工作距物鏡。如大地測量儀器，長焦鏡頭（二）反遠距系統某些對無限遠物體成像的望遠物鏡，若要求其像方工作距（即像距lF’）較大，可將物鏡前組變為負光組，后組變為正光組，可以使像方主平面H’

向右移，在短焦距的要求下獲得大的工作距lF’。如投影儀，電影拍攝中使用的短焦距物鏡（三）望遠系統H1H’1H2H’2?F’1,F2f’1-f2望遠系統兩個分光組主面之間間隔較大，焦距不等，且前光組焦距大于后光組焦距?？拷矬w的稱為物鏡，靠近眼睛的稱為目鏡。兩個分光組之間的光學間隔Δ=0，組合焦距無限大，平行光入射，平行光出射玻羅板放置在物鏡物方焦平面上，玻羅板上的多組標準線對將成像于待測透鏡的像方焦平面上。設平行光管物鏡的焦距為-f,待測透鏡的焦距為fx’玻羅板某線對的實際間距為y，線對在透鏡焦平面上對應的像的間距為yx’

-f-yx’yfx’玻羅板平行光管物鏡待測透鏡ww’w=w’（四）放大率法測量焦距2.2.5實際光學系統一、單折射球面的基點和基面球面的主點位置

在近軸區，單個折射球面成完善像，可以看成理想光組，也具有基點、基面。實際光學系統是多個單折射面組合的結果，可用正切法進行分析。設物點為H，則像點為H’，主平面上，β≡1，因此對于單個折射球面而言，H，H’和O

相重合，而且物方主平面和像方主平面與球面頂點O相切。l’

=l=0

球面焦距公式

在主點已知的情況下，只要求得單個折射面的焦距即可確定相應焦點和焦平面的位置。當物點位于物方焦點時，有：

l=f,l’=∞代入公式可得單個折射球面的物方焦距：以H

為原點，即可確定物方焦點F和物方焦平面的位置同理，求得像方焦距為：對于單反射球面，有n’=-n?？梢缘贸觯憾?、透鏡

透鏡有兩個折射面，每一個折射面可以看成是一個理想光組，則單個透鏡就是兩個光組的組合。HFF1O1F'1F2O2n1=1n'1=n2=nn'2=1H1H'1H2H'2F'2F'H'-f1f'2

f-lFf'1D-f2l'F-f'-lHdl'H由上圖可知

實際光學系統常由透鏡組組成。透鏡的焦距及基點位置是光學設計的基礎?？傻猛哥R兩個折射面的焦距為：1.透鏡的焦距公式：根據單個折射球面的成像公式：用光焦度表示:其中：2.透鏡主點（面）和焦點（面）的位置將前面得到的焦距和光學間隔公式代入主點位置公式并整理，得到透鏡主點位置公式。代入焦點位置公式，可得到透鏡焦點位置公式。透鏡位于同一介質中，因此節點與主點重合。3.各種透鏡基點（面）位置分析（1）雙凸透鏡這種透鏡的r1>0，r2<0。由透鏡焦距公式可知：當r1，r2固定后隨著厚度d不同，焦距可正可負。當時即主平面在透鏡內，是一會聚透鏡。FHH'-ff'F'即d增大到時當：主平面在無窮遠，透鏡成一望遠系統。F2F'1O1O2當：即d增大到時雙凸透鏡成一發散光組。-f'fFH'HO2O1F'F2F'1（2）平凸透鏡這種透鏡的r1>0，r2＝∞。f分子、分母同除r2，有：當r2＝∞時，上式可以寫成：將此式代入主點位置公式得：

平凸透鏡恒為正透鏡，其焦距與厚度無關。兩個主平面一個與球面頂點相切，另一個位于透鏡內部。H'FH-fF'f'（3）正彎月形透鏡-fFHH'F'f'（4）雙凹透鏡H'FH-f'F'f（5）平凹透鏡-f'FHH'F'f（6）負彎月形透鏡-f'F'H'HFf三、薄透鏡當d<<f或r透鏡焦距公式中(n–1)d可以略去。此時d≈0，稱為薄透鏡上面公式變為：當d=0，得：結論：兩個主面與各個球面頂點重合，而且兩主面也彼此重合。薄透鏡的性質僅由焦距決定。薄透鏡圖示：FF’FF’FF’HH’J’JABB’A’正透鏡負透鏡平面反射鏡平面反射元件屈光系統：包括共軸球面系統和非球面系統折射棱鏡平面系統平面折射元件光學系統光楔平行平板反射棱鏡2.3平面光學系統平面鏡棱鏡在光學儀器中的作用共軸球面系統所有透鏡表面的球心必須排列在同一條直線上,往往不能滿足很多實際的需要。H1H’1H2H’2?F’1,F2f’1-f2望遠鏡原始軍用觀察望遠鏡可大大地縮小儀器的體積和重量。

目前的軍用觀察望遠鏡根據實際使用要求，很多儀器中需要改變共軸系統光軸的位置和方向。平面鏡棱鏡在光學儀器中的作用(1)將共軸系統折疊以縮小儀器的體積和減輕儀器的重量；

(2)改變像的方向——起倒像使用；

(3)改變共軸系統中光軸的位置和方向——即形成潛望高或使光軸轉一定的角度；

(4)利用平面鏡或棱鏡的旋轉，可連續改變系統光軸的方向，以擴大觀察范圍。

(5)利用平面鏡轉動作用擴大儀器的放大率

(6)實現分光、合像和微位移一、單平面鏡的成像特性APOQBA’實物成虛像

2.3.1平面鏡成像APQA’虛物成實像①具有折轉光路的作用，是唯一能成完善像的光學元件PQx

y

zy'x'z'采用右手坐標法則OO’如果物體為右手坐標系，其像卻是左手坐標系，這種的像，叫做“鏡像”或“非一致像”。如果物體為右手坐標系，而像仍為右手坐標系，則這樣的像稱為“一致像”。③奇數次反射成鏡像，偶數次反射成一致像。②β=1,物像虛實相反,具有對稱性。P'Q'PQOANN'A'A"αα2α∠A’OA”=2∠POP’當入射光線方向不變而使平面鏡轉動α角時，反射光線的方向改變了2α角。④平面鏡旋轉具有角放大作用平面鏡旋轉特性的應用：測量微小角度或位移h應用：光點式靈敏電流計紅外系統的光機掃描元件光較儀

平面鏡的平移效應QPA’ABA”h2hA′A″=2h綜上所述，單個平面鏡的成像特性可歸納為：②β=1,物像虛實相反,具有對稱性，故不影響光學系統放大率和成像清晰度。①具有折轉光路的作用，是唯一能成完善像的光學元件③奇數次反射成鏡像，偶數次反射成一致像。④平面鏡旋轉和平移具有“光放大”作用一致像二、雙平面鏡的成像特性PPP1O1A2'O2qAA1'(A2)A2’可看作PA繞P點轉動2θ角，旋轉方向是反射面按反射次序由P1轉向P2方向∠APA2’=

2θO2O1qqbPPPAMNI1I1I2I2β≤90β=2θβ角與I角的大小無關，只取決于兩平面鏡夾角的大小θ

當雙平面鏡繞P點轉動時，只要保持θ角和入射光線方向不變，出射光線方向始終不會改變。五角棱鏡應用：轉折光路出射光線的方向不變，但光線位置要產生平行位移。雙平面反射鏡的成像特性可歸納為：①二次反射像的坐標系統與原物坐標系統相同，成一致像。②位于主截面內的光線，不論其入射方向如何，出射線的轉角永遠等于兩平面鏡夾角的二倍，其轉向與光線在反射面的反射次序所形成的轉向一致。2.

3.2平行平板定義：平行平板是由二個相互平行的折射平面構成的光學元件，如分劃板、微調平板、補償板、濾光鏡、保護玻璃等。一、成像特性光線經平行平板后方向不變，平行平板是無焦元件。光線經平行平板后，產生側向位移△T和軸向位移△L’：①△L’與n，d有關；光線移動的距離隨入射角，平板厚度和折射率的不同而不同③當i1很小（法線方向一致），則因此，平行平板在近軸區以細光束成像近似成完善像。②△L’與入射角I1（即孔徑角U1）有關，即軸上點發出不同孔徑的光線經平板后與光軸的交點不同。平行平板不能成完善像。平行平板的厚度d愈大，成像不完善程度也愈大。稱為平行平板的高斯位移。光路設計中，先不考慮平行平板，得到光路長度后，再加上即得實際光路長度。二、等效空氣平板

將平行玻璃平板簡化為一個等效空氣平板，其厚度光線傳輸中遇到平行平板傳播方向不變，但要確定光線經任意處的高度復雜了。已知光線從透鏡出射時高度為h1，角度u1，求經過平板后與下一面交點h2。方法一：方法二：