大學向量投影題目及答案一、單項選擇題1.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)和\(\vec{b}=(4,5,6)\)，向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影是：A.\((1,2,3)\)B.\((2,2.5,3)\)C.\((4,5,6)\)D.\((0.4,0.5,0.6)\)答案：D2.向量\(\vec{a}=(2,-3,6)\)和\(\vec{b}=(1,1,1)\)的夾角\(\theta\)的余弦值是：A.\(\frac{1}{\sqrt{14}}\)B.\(\frac{1}{\sqrt{7}}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{21}}\)D.\(\frac{1}{\sqrt{42}}\)答案：C3.向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)和\(\vec{b}=(-1,1,0)\)的投影向量\(\vec{p}\)的模長是：A.\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)答案：C二、計算題1.計算向量\(\vec{a}=(3,-2,1)\)在向量\(\vec{b}=(1,1,1)\)上的投影。解：向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影公式為：\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}\]其中，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot1+(-2)\cdot1+1\cdot1=2\)，\(\vec{b}\cdot\vec{b}=1^2+1^2+1^2=3\)。因此，投影向量為：\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)\]2.已知向量\(\vec{a}=(4,1,2)\)和\(\vec{b}=(2,3,1)\)，求向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影向量，并計算其模長。解：首先計算投影向量：\[\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot2+1\cdot3+2\cdot1=13\]\[\vec{b}\cdot\vec{b}=2^2+3^2+1^2=14\]\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{13}{14}(2,3,1)=\left(\frac{13}{7},\frac{39}{14},\frac{13}{14}\right)\]然后計算模長：\[\left\|\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\right\|=\sqrt{\left(\frac{13}{7}\right)^2+\left(\frac{39}{14}\right)^2+\left(\frac{13}{14}\right)^2}=\sqrt{\frac{169}{49}+\frac{1521}{196}+\frac{169}{196}}=\sqrt{\frac{169+1521+169}{196}}=\sqrt{\frac{1859}{196}}=\frac{\sqrt{1859}}{14}\]3.已知向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)和\(\vec{b}=(0,1,0)\)，求向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影向量。解：由于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)正交，它們的點積為0，因此向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影向量為零向量：\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\vec{0}=(0,0,0)\]三、證明題1.證明向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影向量\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\)與向量\(\vec{b}\)共線。證明：根據投影向量的定義，我們有：\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}\]由于\(\vec{b}\)是非零向量，\(\vec{b}\cdot\vec{b}\neq0\)，因此\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\)可以表示為\(\vec{b}\)的標量倍，即\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線。2.證明如果向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)正交，則向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)上的投影向量為零向量。證明：如果向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)正交，則它們的點積為0，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。根據投影向量的定義，我們有：\[\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}=\frac{0}{\vec{b}\