§3.8三角函數的綜合應用

考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考§3.8三角函數的綜合應用雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．實際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_____的角叫仰角，在水平線______的角叫俯角(如圖①)．上方下方(2)方位角從指___方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．北思考感悟仰角、俯角、方位角有何區別？提示：三者的參照不同．仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α°即由指北方向____時針旋轉α°到達目標方向．(如圖③)②北偏西α°即由指北方向____時針旋轉α°到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．順逆(4)坡度：坡面與_________所成的二面角的度數(如圖④，角θ為坡角)．坡比：坡面的鉛直高度與_______長度之比(如圖④，i為坡比)．2．解斜三角形在實際中的應用解斜三角形在實際中的應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識．解題的一般步驟是：水平面水平(1)分析題意，準確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、視角、方位角等；(2)根據題意畫出示意圖；(3)將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答；(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍．1．(教材習題改編)從甲處望乙處的仰角為α

，從乙處望甲處的俯角為β，則下列各式正確的是(

)A．α>β

B．α

＋β＝90°C．α

＝β

D．α

＋β＝180°答案：C課前熱身答案：C答案：D4．(原創題)有一個長為2km的山坡，它的的傾斜角為30°，現將傾斜角角改為15°，則斜坡長變變為________km.考點探究?挑戰高考考點突破考點一測量距離問題有關距離測量量問題，主要要是測量從一一個可到達的的點到一個不不能到達的點點之間的距離離問題，如海海上、空中兩兩地測量，隔隔著某一障礙礙物兩地測量量等．由于該問題不不能采取實地地測量，解決決它的方法是是建立數學模模型，即構造造三角形，轉轉化為解三角角形問題．通通常是根據題題意，從實際際問題中抽象象出一個或幾幾個三角形，，然后通過解解這些三角形形，得到所求求的量，從而而得到實際問問題的解．解解題時應認真真審題，結合合圖形去選擇擇定理，使解解題過程簡捷捷．例1【思路點撥】根據圖中的已已知條件求出出一些點與點點之間的距離離，結合圖形形和計算出的的距離及航行行速度可得救救援船到達D點的時間．【名師點評】要計算距離就就必須把這個個距離歸結到到一個三角形形中，通過正正弦定理或余余弦定理進行行計算，但無無論是正弦定定理還是余弦弦定理都得至至少知道三角角形的一個邊邊長，即在解解決問題時，，必須把我們們已經知道長長度的那個邊邊長和需要計計算的那個邊邊長納入到同同一個三角形形中，這是我我們分析這類類問題的一個個基本出發點點．變式訓練在處理有關高高度問題時，，要理解仰角角、俯角是一一個關鍵．在在實際問題中中，可能會遇遇到空間與平平面(地面)同時研究的問問題，這時最最好畫兩個圖圖形，一個空空間圖形，一一個平面圖形形，這樣處理理起來既清楚楚又不容易搞搞錯．考點二測量高度問題(2010年高考江蘇卷卷)某興趣小組要要測量電視塔塔AE的高度H(單位：m)．如示意圖，，垂直放置的的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測得得一組α，β的值，算出了了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據此算出出H的值；(2)該小組分析若若干測得的數數據后，認為為適當調整標標桿到電視塔塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可可以提高測量量精度．若電電視塔的實際際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？例2【思路點撥】充分利用圖中中的直角三角角形列方程．．【名師點評】(1)測量高度時，，要準確理解解仰角和俯角角的概念．(2)分清已知和待待求，分析(畫出)示意圖，明確確在哪個三角角形內應用正正、余弦定理理．(3)注意豎直線垂垂直于地面構構成的直角三三角形．首先應明確方方位角的含義義，在解應用用題時，分析析題意，分清清已知與所求求，再根據題題意正確畫出出示意圖，這這是最關鍵、、最重要的一一步，通過這這一步可將實實際問題轉化化成可用數學學方法解決的的問題，解題題中也要注意意體會正、余余弦定理“聯袂”使用的優點．．考點三測量角度問題【思路點撥】本例考查正弦弦、余弦定理理的建模應用用．如圖所示示，注意到最最快追上走私私船且兩船所所用時間相等等，若在D處相遇，則可可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.例3【名師點評】首先應明確方方位角的含義義，在解應用用題時，分析析題意，分清清已知與所求求，再根據題題意正確畫出出示意圖，這這是最關鍵、、最重要的一一步，通過這這一步可將實實際問題轉化化成可用數學學方法解決的的問題，解題題中也要注意意體會正、余余弦定理“聯袂”使用的優點．．方法技巧1．合理應用仰仰角、俯角、、方位角、方方向角等概念念建立三角函函數模型．(如例3)2．把生活中的的問題化為二二維空間解決決，即在一個個平面上利用用三角函數求求值．(如例2)3．合理運用換換元法、代入入法解決實際際問題．(如例1)方法感悟在解實際問題題時，應正確確理解如下角角的含義．1．方向角——從指定方向線線到目標方向向線的水平角角．2．方位角——從正北方向線線順時針到目目標方向線的的水平角．3．坡度度——坡面與與水平平面的的二面面角的的度數數．4．仰角角與俯俯角——與目標標視線線在同同一鉛鉛直平平面內內的水水平視視線和和目標標視線線的夾夾角，，目標標視線線在水水平視視線上上方時時稱為為仰角角，目目標視視線在在水平平視線線下方方時稱稱為俯俯角．．失誤防防范考情分析考向瞭望?把脈高考從近兩兩年的的高考考試題題來看看，利利用正正弦定定理、、余弦弦定理理解決決與測測量、、幾何何計算算有關關的實實際問問題是是高考考的熱熱點，，一般般以解解答題題的形形式考考查，，主要要考查查計算算能力力和分分析問問題、、解決決實際際問題題的能能力，，常與與解三三角形形的知知識及及三角角恒等等變形形綜合合考查查．預測測2012年高高考考仍仍將將以以利利用用正正弦弦、、余余弦弦定定理理，，解解決決與與測測量量、、幾幾何何計計算算有有關關的的實實際際問問題題為為主主要要考考點點．．重重點點考考查查應應用用所所學學知知識識解解決決實實際際問問題題的的能能力力．．規范范解解答答例【名師師點點評評】(1)本題題以以實實際際應應用用題題的的方方式式考考查查了了三三角角函函數數的的圖圖像像與與性性質質，，正正弦弦定定理理、、余余弦弦定定理理在在三三角角形形問問題題中中的的應應用用，，這這道道題題目目融融入入了了眾眾多多的的知知識識點點，，考考查查的的面面十十分分廣廣．．第第(2)問主主要要考考查查的的是是函函數數思思想想及及利利用用基基本本不不等等式式處處理理問問題題的的能能力力，，它它能能有有效效地地區區分分出出不不同同思思維維層層次次的的考考生生，，很很明明顯顯，，根根據據余余弦弦定定理理得得到到了了關關系系式式MN2＋NP2＋MN·NP＝25后，，選選擇擇使使用用基基本本不不等等式式的的考考生生具具有有更更高高的的思思維維水水平平．．(2)本題題第第(2)問實實際際就就是是已已知知三三角角形形一一個個內內角角以以及及這這個個角角的的對對邊邊，，求求另另外外兩兩邊邊之之和和的的最最大大值值，，基基本本的的方方法法有有三三種種：：一一種種是是設設出出三三角角形形的的一一個個變變動動的的角角，，根根據據正正弦弦定定理理把把兩兩邊邊表表示示出出來來，，通通過過研研究究三三角角函函數數的的最最值值解解決決(如本本題題解解法法一一)；二二是是根根據據余余弦弦定定理理得得到到關關于于另另外外兩兩邊邊的的一一個個等等式式后后，，根根據據基基本本不不等等式式解解決決(如本本題題解解法法二二)；三三是是設設出出兩兩邊邊之之和和為為t，用用一一條條邊邊和和t表示示另另一一條條邊邊，，根根據據余余弦弦定定理理得得到到一一個個關關于于另另一一條條邊邊的的一一元元二二次次方方程程，，利利用用這這個個方方程程的的判判別別式式大大于于或或等等于于零零，，求求出出t的最最大大值值．．(3)解決決最最值值問問題題一一般般的的思思路路是是構構建建函函數數關關系系，，通通過過研研究究函函數數的的性性質質求求最最值值的的大大小小，，這這類類問問題題要要是是在在三三角角形