第四章桿件的強度與剛度內容提要本章介紹桿件在拉壓、扭轉與彎曲時的內力計算和內力圖的繪制，應力和強度計算，變形和剛度計算，以及桿件在組合變形時的強度計算。本章內容是桿件計算的核心。

4.1拉壓桿4.2受扭軸

4.3單跨梁

本章內容4.4組合變形小結

4.1桿件拉壓時的內力計算4.1.1工程實例和計算簡圖工程中承受軸向拉伸或壓縮的桿件：桁架中的桿件［圖

(a)］斜拉橋中的拉桿［圖(b)］

閘門啟閉機中的螺桿［圖

(c)］

承受軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉(壓)桿。拉壓桿的計算簡圖拉壓桿的受力特點：外力或外力合力的作用線與桿件的軸線重合

。FF拉壓桿的變形特點：沿軸線方向的伸長或縮短，同時橫向尺寸也發生變化。4.1.2.軸力和軸力圖物體沒有受到外力作用時，其內部各質點之間就存在著相互作用的內力。這種內力相互平衡，使得各質點之間保持一定的相對位置。1.內力的概念在物體受到外力作用后，其內部各質點之間的相對位置就要發生改變，內力也要發生變化而達到一個新的量值。這里所討論的內力，指的是因外力作用而引起的物體內部各質點間相互作用的內力的改變量，即由外力引起的“附加內力”，簡稱為內力。

●內力隨外力的增大而增大，當內力達到某一限度時就會引起構件的破壞，因而它與構件的強度問題是密切相關的。截面法是求構件內力的基本方法。下面通過求解圖（a）所示拉桿m—m橫截面上的內力來具體闡明截面法。2.截面法為了顯示內力，假想地沿橫截面m—m將桿截開成兩段，任取其中一段，例如取左段，作為研究對象。左段上除受到力F的作用外，還受到右段對它的作用力，此即橫截面m—m上的內力[圖(b)]。根據均勻連續性假設，橫截面m—m上將有連續分布的內力，以后稱其為分布內力，而把內力這一名詞用來代表分布內力的合力(力或力偶)。現要求的內力就是圖(b)中的合力FN。因左段處于平衡狀態，故列出平衡方程。∑X＝0FN－F＝0得F

N＝F這種假想地將構件截開成兩部分，從而顯示并求解內力的方法稱為截面法。用截面法求構件內力可分為以下四個步驟：截、取、代、平。1）截開沿需要求內力的截面，假想地將構件截開成兩部分。2）取出取截開后的任一部分作為研究對象。3）代替把棄去部分對留下部分的作用以截面上的內力代替。

根據均勻連續性假設，橫截面m—m上將有連續分布的內力，以后稱其為分布內力，而把內力這一名詞用來代表分布內力的合力(力或力偶)。4）平衡列出研究對象的靜力平衡方程，解出需求的內力。∑X＝0FN－F＝0得F

N＝F

●若取右段為研究對象，同樣可求得軸力FN＝F∑X＝0

F－

FN＝0得F

N＝F3.軸力圖FN的作用線與桿軸線重合，故FN稱為軸力。規定軸力的正負號如下：當軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時，桿件受拉伸長，軸力為正；反之，桿件受壓縮短，軸力為負。以平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標（按適當的比例）表示相應截面上的軸力數值，從而繪出軸力與橫截面位置關系的圖線，稱為軸力圖，也稱FN圖。通常將正的軸力畫在上方，負的畫在下方。

【例4.1】拉壓桿如圖所示，求橫截面1—1、2—2、3—3上的軸力，并繪制軸力圖。【解】

1）求支座反力。由桿AD的平衡方程∑X

＝0FD－2kN

－3kN

＋6kN

＝0得

FD

＝－1kN

2)

求橫截面1—1、2—2、3—3上的軸力。設截面上的軸力為FN1，由平衡方程∑X＝0FN1－2kN＝0FN1＝2kN算得的結果為正，表明F為拉力。得11①1—1截面FN1

●當然也可以取右段為研究對象來求軸力F，但右段上包含的外力較多，不如取左段簡便。因此，計算時應選取受力較簡單的部分作為研究對象。設截面上的軸力為FN2，由平衡方程∑X＝0

FN2－2kN－3kN＝0得FN2＝5kN22FN2②2—2截面

沿橫截面3—3將桿截開，取右段為研究對象，可得軸力F為

FN3＝FD＝－1kN算得的結果為負，表明F為壓力。③3—3截面FN333軸力圖一般應與受力圖對正。在圖上應標注內力的數值及單位，在圖框內均勻地畫出垂直于橫軸的縱坐標線，并標明正負號。當桿豎直放置時，正負值可分別畫在桿的任一側，并標明正負號。

3)

繪制軸力圖。251FN圖(kN)【例4.1】小結●最大軸力FNmax=5kN。內力較大的截面稱為危險截面，例如本題中BC段各橫截面。4.1.3拉壓桿的應力1.應力的概念軸力是拉壓桿橫截面上分布內力的合力，它只表示截面上總的受力情況，單憑軸力的大小還不能判斷桿件在外力作用下是否發生破壞。例如，相等的內力分布在較大的面積上時，比較安全；分布在較小的面積上時，就比較危險。因此，為了解決強度問題，還必須研究截面上各點處內力的分布規律，即用截面上各點處的內力的大小和方向來表明內力作用在該點處的強弱程度。為此，引入應力的概念。A上的平均應力：

M點處的應力：

M點處的正應力：

M點處的切應力：

=pcos

=psin

應力的常用單位為Pa（帕），1Pa=1N/m2。

工程實際中常采用帕的倍數單位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其關系為

1kPa=1×103Pa1MPa=1×106Pa1GPa=1×109Pa2.拉壓桿橫截面上的正應力因為拉壓桿橫截面上的軸力沿截面的法向，所以橫截面上只有正應力σ。由于橫截面上正應力的合力等于軸力，因此欲計算正應力σ，必須知道σ在截面上的分布規律。為此，我們來觀察拉壓桿的變形。

在圖(a)所示拉桿的側面任意畫兩條垂直于桿軸的橫向線ab和cd。拉伸后可觀察到橫向線ab、cd分別平行移到了a'b'

、c'd'位置，但仍為直線，且仍然垂直于桿軸[圖(b)]。根據這一現象，可假設變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。這就是平面假設。

設想桿是由許多縱向纖維所組成，根據平面假設，可斷定桿變形時任意兩橫截面間各縱向纖維的伸長相等。又根據均勻連續性假設，各條纖維的性質相同，因而它們的受力必定相等。所以橫截面上的法向分布內力是均勻分布的，即σ等于常量。這個結論對于壓桿也是成立的。因為σ為常量，所以軸力F等于正應力σ與橫截面面積A的乘積，即FN＝σA或這就是拉壓桿橫截面上正應力的計算公式。正應力σ的符號和軸力FN的符號規定相同，即拉應力為正，壓應力為負。FN●作用于桿件上的軸向外力一般是外力系的靜力等效力系，在外力作用點附近的應力比較復雜，并非均勻分布。研究表明，上述靜力等效替換對原力系作用區域附近的應力分布有顯著影響，但對稍遠處的應力分布影響很小，可以忽略。這就是圣維南原理。根據這一原理，除了外力作用點附近以外，都可用公式計算應力。【例4.2】一正方形截面的磚柱（壓桿有時也稱為柱）如圖所示，F＝50kN。求磚柱的最大正應力。【解】用截面法求得上、下兩段橫截面上的軸力分別為FN1＝－50kN，FN2＝－150kN因為上、下兩段橫截面的面積也不相同，所以必須算出各段橫截面上的應力，加以比較后才能確定柱的最大正應力。由橫截面上的應力計算公式，得可見，磚柱的最大正應力發生在柱的下段各橫截面上，其值為σmax＝1.1MPa（壓）●以后我們稱應力較大的點為危險點，例如本題中柱下段橫截面上各點。

●如果桿的各橫截面上的軸力都相同，那么桿的最大正應力發生在截面積最小的橫截面上。若是等直桿，則發生在軸力最大的橫截面上。在一般情況下，應加以比較后確定。4.1.4拉壓桿的變形桿件在軸向拉伸或壓縮時，所產生的主要變形是沿軸線方向的伸長或縮短，稱為縱向變形；與此同時，垂直于軸線方向的橫向尺寸也有所縮小或增大，稱為橫向變形[圖(a，b)]。

dd1d1d1.縱向變形（1）縱向總變形拉、壓桿的原長為l，在軸向外力F的作用下，長度l變為l1，桿的縱向變形為△l＝l1－l

對于拉桿，△l為正值，表示縱向伸長[圖(a)]；對于壓桿，△l為負值，表示縱向縮短[圖(b)]。dd1dd1（2）縱向線應變根據平面假設，桿的各段都是均勻變形的，單位長度的縱向變形為式中的ε稱為縱向線應變。顯然，拉伸時ε＞0，為拉應變；壓縮時ε＜0，為壓應變。ε是一個量綱為1的量。（3）胡克定律大量的實驗表明，當桿的變形為彈性變形時，桿的縱向變形△l與外力F及桿的原長l成正比，而與桿的橫截面面積A成反比，即上式稱為胡克定律。又因為F=FN，所以因σ＝，ε＝，故上式變為這是胡克定律的另一表達式。它表明：在彈性限度內，正應力與線應變成正比。

●式中的比例常數E稱為彈性模量，它與材料的力學性能有關，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標。E的數值可由試驗測定。E的單位與應力的單位相同。一些常用材料的E的約值列于表4.1中，以供參考。EA稱為桿的拉壓剛度，它是單位長度的桿產生單位長度的變形所需的力。表4.1常用材料的E和ν的約值材料名稱E/GPaν低碳鋼196～2160.24～0.28中碳鋼2050.24～0.2816錳鋼196～2160.25～0.30合金鋼186～2160.25～0.30鑄鐵59～1620.23～0.27混凝土15～350.16～0.18石灰巖410.16～0.34木材(順紋)10～12橡膠0.00780.472.橫向變形（1）橫向總變形設拉、壓桿在變形前、后的橫向尺寸分別為d與d1

，則其橫向變形△d為△d＝d1－d

（2）橫向線應變橫向線應變

為（3）泊松比

大量的試驗表明，當桿的變形為彈性變形時，橫向線應變

與縱向線應變ε的絕對值之比是一個常數。此比值稱為泊松比或橫向變形系數，用ν表示，即對于拉桿，△d與

都為負；對于壓桿，△d與

都為正。ν＝ν是一個量綱為1的量，其數值隨材料而異，也是通過試驗測定的。一些常用材料的ν的約值也列于表4.1中。考慮到

與ε的正負號恒相反，可得利用上式，可由縱向線應變或正應力求橫向線應變。反之亦然。

【例4.3】圖示木方柱受軸向荷載作用，橫截面邊長a＝200mm，材料的彈性模量E＝10GPa，桿的自重不計。求各段柱的縱向線應變及柱的總變形。

【解】由于上下兩段柱的軸力不等，故兩段柱的變形要分別計算。各段柱的軸力為

FNBC＝－100kNFNAB＝－260kN各段柱的縱向變形為各段柱的縱向線應變為全柱的總變形為兩段柱的變形之和，即△l=△lBC+△lAB=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm4.1.5材料在拉(壓)時的力學性能

材料的力學性能是材料在外力作用下其強度和變形等方面表現出來的性質，它是構件強度計算及材料選用的重要依據。材料的力學性能由試驗測定。本節以工程中廣泛使用的低碳鋼（含碳量＜0.25％)和鑄鐵兩類材料為例，介紹材料在常溫、靜載（是指從零緩慢地增加到標定值的荷載）下拉(壓)時的力學性能。1.材料在拉伸時的力學性能（1）低碳鋼在拉伸時的力學性能

為了便于比較不同材料的試驗結果，必須將試驗材料按照國家標準制成標準試件。金屬材料常用的拉伸試件如圖所示，中部工作段的直徑為d0，工作段的長度為l0，稱為標距，且l0=10d0或l0=5d0。試驗時將試件的兩端裝在試驗機的夾頭中，緩慢平穩地加載直至拉斷。

拉力F與試件的伸長量Δl之間的關系曲線稱為拉伸曲線或F-△l曲線。圖（a）為Q235鋼的拉伸曲線。圖（a）拉伸曲線受試件幾何尺寸的影響，不能直接反映材料的力學性能。為了消除試件尺寸的影響，將拉力F除以試件的原橫截面面積A0，得到應力σ=F/A0作為縱坐標，將標距的伸長量除以標距的原有長度l0，得到應變ε=△l/l0作為橫坐標，這樣就得到一條應力σ與應變ε之間的關系曲線(圖b)，稱為應力-

應變曲線或σ-ε曲線。

1）低碳鋼拉伸過程的四個階段①彈性階段。

σ-ε曲線上OB段為彈性階段。在此階段內，如果卸除荷載，則變形能夠完全消失。彈性階段的應力最高值稱為彈性極限，用σe表示，即B點處的應力值。在此階段內，除AB這一小段外，OA段為直線，應力與應變成線性關系，材料服從胡克定律，因此圖中直線OA的斜率即為材料的彈性模量E，即E=tan。

在σ-ε曲線上對應于點A的應力，表示應力與應變成比例關系的最大值，稱為比例極限，用σp表示。Q235鋼的比例極限σp﹦200MPa。由于比例極限與彈性極限非常接近難以區分，實際應用中常將兩者視為相等。②屈服階段。BC段稱為屈服階段。在此階段，σ-ε曲線沿著鋸齒形上下擺動。此時應力基本保持不變而應變卻急劇增加，材料暫時失去了抵抗變形的能力，這種現象稱為屈服或流動。

在屈服階段中，對應于曲線最低點的應力稱為材料的屈服極限，用σs表示。Q235鋼的屈服極限σs=235MPa。如果試件表面經過磨光，屈服時試件表面會出現一些與試件軸線成45°的條紋稱為滑移線。

●材料在屈服時產生顯著的塑性變形，這是構件正常工作所不允許的，因此屈服極限σs是衡量材料強度的重要指標。③強化階段。CD段稱為強化階段。在這一階段，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使它繼續發生變形必須增加外力，這種現象稱為材料的強化。這一階段曲線最高點D所對應的應力值稱為強度極限或抗拉強度，用σb表示，Q235鋼的強度極限σb﹦400MPa。④頸縮階段。在這一階段，試件的變形開始集中于某一局部區域內，橫截面面積出現局部迅速收縮，這種現象稱為頸縮現象。點擊畫面

試件拉斷后，彈性應變（O3O4）恢復，塑性應變(OO3)永遠殘留。試件工作段的長度由l0伸長到l，斷口處的橫截面面積由原來的A0縮減到A。由于局部截面的收縮，試件繼續變形所需拉力逐漸減小，直至曲線的E點，試件被拉斷。

工程中反映材料塑性性能的兩個指標分別為延伸率：斷面收縮率：Q235鋼的延伸率δ=20%～30%，斷面收縮率ψ=60%～70％。

●工程中常把

的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等；而把δ<５％的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、陶瓷、玻璃、混凝土等。2）冷作硬化在強化階段任一點G時，逐漸卸除荷載，則應力與應變之間的關系將沿著與OA近乎平行的直線O1G回到O1點，如圖所示。O1O2這部分彈性應變消失，而OO1這部分塑性應變則永遠殘留。如果卸載后重新加載，則應力與應變曲線將大致沿著O1GDE的曲線變化，直至斷裂。

●由此可以看出，重新加載后材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性應變減少了OO1。這種在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載再重新加載時，比例極限σp提高而塑性變形降低的現象稱為材料的冷作硬化。

●在實際工程中常利用冷作硬化提高材料的強度。例如冷拉后的鋼筋比例極限提高了，可以節約鋼材的用量，降低工程造價。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些時候則要避免或設法消除冷作硬化。

圖中給出了幾種塑性材料的σ-ε曲線。可以看出，除了16Mn鋼與低碳鋼的σ-ε曲線比較相似外，一些材料（如鋁合金）沒有明顯的屈服階段，但它們的彈性階段、強化階段和頸縮階段則都比較明顯；另外一些材料（如MnV鋼）則只有彈性階段和強化階段而沒有屈服階段和頸縮階段。

●對于沒有屈服階段的塑性材料，國家標準規定以產生0.2％塑性應變時的應力值作為材料的名義屈服極限，用σ0.2表示。（2）鑄鐵等脆性材料在拉伸時的力學性能

鑄鐵拉伸時的應力-應變曲線如圖所示。由應力-應變曲線可以看出，它沒有明顯的直線段，應力與應變不成正比關系。在工程計算中通常以產生0.1%的總應變所對應的曲線的割線斜率來表示材料的彈性模量，E=tan。鑄鐵在拉伸過程中，沒有屈服階段，也沒有頸縮現象。拉斷時應變很小，約為0.4%~0.5%，是典型的脆性材料。拉斷時的應力稱為強度極限或抗拉強度，用σb表示。

強度極限σb是衡量脆性材料強度的唯一指標。常用灰鑄鐵的抗拉強度很低約為120～180MPa。

●由于鑄鐵等脆性材料拉伸時的強度極限很低，因此不宜用于制作受拉構件。2.材料在壓縮時的力學性能（1）塑性材料在壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試件一般采用圓柱形的短試件，試件高度與截面直徑的比值為1.5～3。

低碳鋼壓縮時的應力-應變曲線如圖所示，同時在圖中用虛線表示拉伸時的應力-應變曲線。由圖可以看出，在屈服階段以前，低碳鋼拉伸與壓縮的應力-應變曲線基本重合。因此，低碳鋼壓縮時的彈性模量Ε、屈服極限σs都與拉伸試驗的結果基本相同。

在屈服階段后，試件出現了顯著的塑性變形，越壓越扁，由于上下壓板與試件之間的摩擦力約束了試件兩端的橫向變形，試件被壓成鼓形。由于橫截面不斷增大，要繼續產生壓縮變形，就要進一步增加壓力，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲線呈上翹趨勢，故測不出壓縮時的強度極限。

●低碳鋼壓縮時的一些性能指標可通過拉伸試驗測出，而不必再作壓縮試驗。一般塑性材料都存在上述情況。但有些塑性材料壓縮與拉伸時的屈服極限不同，如鉻鋼、硅合金鋼，因此對這些材料還要測定其壓縮時的屈服極限。（2）脆性材料在壓縮時的力學性能

1）圖示為鑄鐵壓縮時的應力-應變曲線（圖中也大致畫出了拉伸時的應力-應變曲線）。鑄鐵拉、壓時的應力-應變曲線都沒有明顯的屈服階段，但壓縮時塑性變形較明顯。

鑄鐵的抗壓強度σc遠大于抗拉強度σb，大約為抗拉強度的4～5倍。破壞時不同于拉伸時沿橫截面，而是沿與軸線約成45°～55°的斜截面破壞，這說明鑄鐵的壓縮破壞是由于超過了材料的抗剪能力而造成的。

2）混凝土是由水泥、石子、沙子三種材料用水拌和經過凝固硬化后而成的人工石料。圖1為混凝土拉、壓時的σ-ε曲線，由圖可知混凝土的抗壓強度為抗拉強度的10倍左右。圖1

混凝土壓縮時，破壞形式與端部摩擦有關。圖2（a）是立方體試塊端部未加潤滑劑時的破壞情況。圖2（b）是立方體試塊端部加潤滑劑時的破壞情況。兩種破壞形式所對應的抗壓強度不同，后者破壞荷載較小。工程中統一規定采用兩端不加潤滑劑的試驗結果，來確定材料的抗壓強度。圖2

●由于鑄鐵、混凝土等脆性材料的抗壓強度比抗拉強度高，宜用于制作承壓構件，如底座、橋墩、基礎等。3.安全因數與許用應力（1）極限應力

通過拉壓試驗可以測出反映材料強度的兩個性能指標，即σs和σb。對低碳鋼等塑性材料，當應力達到屈服極限σs(σ0.2)時，會產生顯著的塑性變形，影響構件正常工作；而對鑄鐵等脆性材料，當應力達到抗拉強度σb或抗壓強度σc時，會發生斷裂，喪失工作能力。工程中將塑性材料的屈服極限σs(σ0.2)和脆性材料的抗拉強度σb（抗壓強度σc）統稱為極限應力，用σ0表示。（2）安全因數與許用應力構件工作時的最大應力稱為最大工作應力。要求構件內最大工作應力小于極限應力σ0。構件內的最大工作應力限制在極限應力范圍內還是不夠的，這是因為：①計算簡圖與實際結構之間存在著差異。②材料的不均勻性。③荷載值的偏差。④構件需要有必要的強度儲備。為了保證構件能安全正常地工作，必須將材料的極限應力打一個折扣，除以一個大于1的因數n以后，作為構件最大工作應力所不允許超過的數值，這個應力值稱為許用應力，用[σ]表示，即[σ]=σ0/n

對于塑性材料[σ]=σs/ns或[σ]=σ0.2/ns對于脆性材料[σ]=σb/nb或[σ]=σc/nb式中：ns和nb——塑性材料和脆性材料的安全因數。

●安全因數的確定是一件復雜的工作，一般情況下，在工業的各個部門都指定有自己的安全因數規范供設計人員查用。如無規范，則對塑性材料一般取ns=1.4～1.7，對脆性材料一般取nb=2.5～5。4.1.6拉壓桿的強度計算1.強度條件要保證拉壓桿不致因強度不足而破壞，應使桿的最大正應力σmax不超過材料的許用應力[σ]，即σmax≤[σ]（a）這就是拉壓桿的強度條件。對于等直桿，由于，所以強度條件可寫為（b）2.三類強度計算問題1）強度校核。已知桿的材料、尺寸和承受的荷載（即已知[σ]、A和F），要求校核桿的強度是否足夠。此時只要檢查式（b）是否成立。2）設計截面尺寸。已知桿的材料、承受的荷載（即已知[σ]、F），要求確定橫截面面積或尺寸。為此，將式（b）改寫為據此可算出必須的橫截面面積。根據已知的橫截面形狀再確定橫截面尺寸。

●當采用工程中規定的標準截面（例如型鋼）時，可能會遇到為了滿足強度條件而須選用過大截面的情況。為經濟起見，此時可以考慮選用小一號的截面，但由此而引起的桿的最大正應力超過許用應力的百分數一般限制在5%以內，即3）確定許用荷載。已知桿的材料和尺寸（即已知[σ]和A），要求確定桿所能承受的最大荷載。為此，將式（b）改寫為FNmax≤A[σ]先計算出桿所能承受的最大軸力，再由荷載與軸力的關系，計算出桿所能承受的最大荷載。【例4.4】圖（a）所示三鉸屋架的拉桿采用16錳圓鋼，直徑d=20mm。已知材料的許用應力[σ]=200MPa，試校核鋼拉桿的強度。【解】1）求支座反力。取整個屋架為研究對象，利用對稱性，得FA＝FB＝×20m×q

＝×20m×4kN/m

＝40kN取半個屋架為研究對象。

2）求拉桿的軸力。由平衡方程∑M＝03.5m×FN＋10m×q×5m－10m×FA＝0得鋼拉桿是等直桿，橫截面上的軸力相同，故桿的最大正應力為

3）求拉桿的最大正應力。因為σmax＝182MPa＜[σ]＝200MPa所以鋼拉桿的強度是足夠的。

4）校核拉桿的強度。

【例4.5】圖（a）所示鋼桁架的所有各桿都是由兩個等邊角鋼組成。已知角鋼的材料為Q235鋼，其許用應力[σ]＝170MPa，試為桿EH選擇所需角鋼的型號。【解】

1）求支座反力。取整個桁架為研究對象，由對稱性，得FA=FB=F=220kNFAFB

假想用截面m－

m將桁架截開，取左邊部分為研究對象[圖b]，由平衡方程∑MC＝03m

×FNEH－4m×FA＝0得FNEH＝293kN

2）求桿EH的軸力。

3）計算桿EH的橫截面積。桿EH所需的橫截面積為

4）選擇等邊角鋼的型號。

由型鋼表查得，厚度為6mm的7.5號等邊角鋼的橫截面面積為8.797×102mm2＝879.7mm2，用兩個這樣的等邊角鋼組成的桿的橫截面面積為879.7mm2×2＝1759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，選用∟

75×6。

●型鋼是工程中常用的標準截面（見附錄一）。等邊角鋼是型鋼的一種。它的型號用邊長的厘米數表示，在設計圖上則常用邊長和厚度的毫米數來表示。例如符號

∟80×7表示8號角鋼，其邊長為80mm，厚度為7mm。

【例4.6】如圖(a)所示三角形托架，AB為鋼桿，其橫截面面積為A＝400mm2，許用應力[σ]＝170MPa；BC為木桿，其橫截面面積為A＝10000mm2，許用壓應力為[σ]＝10MPa。求荷載F的最大值Fmax。

【解】

1）求兩桿的軸力與荷載的關系。

取結點B為研究對象[圖(b)]，由平衡方程∑Ｙ＝０ＦN2sin30o－F＝０∑X＝０FN2cos300－FN1＝０得得FN1＝FN2cos300＝F（拉）(壓)

2）計算許用荷載。AB桿的許用軸力為FN1＝F≤A1[σ]所以對于AB桿，許用荷載為同樣，對于BC桿，許用軸力為FN2＝２F≤A2[σc]許用荷載為為了保證兩桿都能安全地工作，荷載F的最大值為Fmax＝39.3kN

【例4.7】圖(a)表示一等直桿，其頂部受軸向荷載F的作用。已知桿的長度為l，橫截面面積為A，材料的容重為

，許用應力為[σ]，試寫出考慮桿自重時的強度條件（桿的自重可看作沿軸線均勻分布的荷載）。

【解】應用截面法[圖(b)]，桿的任一橫截面m—

m上的軸力為負號表示軸力為壓力。由此繪出桿的軸力圖如圖(c)所示。根部橫截面上的軸力最大，其值為由拉壓桿的強度條件，得或F＝FNmax＋

Al(壓)

●由此例可知，當考慮桿的自重時，相當于材料的許用應力減小了

l。若

，則自重對桿的影響很小，可以忽略；若有一定數量的值，則自重對強度的影響應加以考慮。例如，有一長l＝10m的等直鋼桿，鋼的容重

＝76440N/m3，許用應力[σ]＝170MPa，則＝0.45%≤1；若有同樣長度的磚柱，磚的容重

＝17640N/m3，許用應力[σ]＝1.2MPa，而＝15%。

因此一般地，金屬材料制成的拉壓桿在強度計算中可以不考慮自重的影響（有些很長的桿件，如起重機的吊纜、鉆探機的鉆桿等除外）；但對磚、石、混凝土制成的柱（壓桿），在強度計算中應該考慮自重的影響。

●當考慮桿的自重時，如果按桿根部橫截面上的正應力σmax來設計截面，把桿制成等直桿，那么只有根部橫截面上的應力達到材料的許用應力[σ]，其他橫截面上的應力都比[σ]小，顯然造成了材料的浪費。因此，為了合理地利用材料，應使桿的每一橫截面上的應力都等于材料的許用應力[σ]，這樣設計的桿稱為等強度桿，其形狀如圖(a)所示。不過，等強度桿的制作復雜而且昂貴，故在工程中，一般都制成與等強度桿相近的階梯形桿[圖(b)]或截錐形桿[圖(c)]。4.2

受扭軸4.2.1

工程實例和計算簡圖工程中承受扭轉的桿件：汽車方向盤的操縱桿［圖(a)］Me(a)機器中的傳動軸［圖(b)］鉆機的鉆桿［圖(c)］(c)MeABMtBMeAMeBF2F2A(b)房屋中的雨篷梁和邊梁［圖(d，e)］MeMFF(e)MeAMeAMtFAFBAB(d)

●工程中常把以扭轉為主要變形的桿件稱為軸。本書主要研究圓軸的扭轉。

扭轉桿件的受力特點：在桿件兩端受到兩個作用面垂直于桿軸線的力偶的作用，兩力偶大小相等、轉向相反。

扭轉桿件變形特點：桿件任意兩個橫截面都繞桿軸線作相對轉動，兩橫截面之間的相對角位移稱為扭轉角，用表示。單擊圖片受扭軸的計算簡圖MeMe4.2.2扭矩和扭矩圖1.外力偶矩的計算工程中作用于軸上的外力偶矩一般不直接給出，而是由軸的轉速和軸所傳遞的功率進行計算。若軸的轉速為n（單位為r／min），軸的功率為P（單位為kW），則外力偶矩為式中：Me——軸上某處的外力偶矩，單位為N·m；

P——軸上某處輸入或輸出的功率，單位為kW；

n——軸的轉速，單位為r/min。2.扭矩和扭矩圖由于左端有外力偶作用，為使其保持平衡，m—m截面上必存在一個內力偶矩。它是截面上分布內力的合力偶矩，稱為扭矩，用T來表示。MeMeMe

T－Me=0得

T＝Me由平衡方程Me若取右段為研究對象，也可得到相同的結果，但扭矩的轉向相反。T＝MeMeMeTMe為了使同一截面上扭矩不僅數值相等，而且符號相同，對扭矩T的正負號作如下規定：使右手四指的握向與扭矩的轉向一致，若拇指指向截面外法線，則扭矩T為正，反之為負。MeMeMeMeT為了直觀地表示出軸的各個截面上扭矩的變化規律，與軸力圖一樣用平行于軸線的橫坐標表示各橫截面的位置，垂直于軸線的縱坐標表示各橫截面上扭矩的數值，選擇適當的比例尺，將扭矩隨截面位置的變化規律繪制成圖，稱為扭矩圖。在扭矩圖中，把正扭矩畫在橫坐標軸的上方，負扭矩畫在下方。

【例4.8】已知傳動軸的轉速n＝300r／min，主動輪A的輸入功率PA＝29kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別為PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。試繪制該軸的扭矩圖。MeBMeCMeAMeD【解】

1)

計算外力偶矩。軸上的外力偶矩為

2)

計算各段軸內橫截面上的扭矩。

得T1為負值，表示假設的扭矩方向與實際方向相反。由平衡方程MeBMeCMeAMeDxT1MeB11

得由平衡方程MeBMeCMeAMeDMeBMeC22得由平衡方程MeD33

3)

繪制扭矩圖。最大扭矩發生在CA段軸的各個截面上，其值為|Tmax|=573N·m。223573350T圖(N.m)4.2.3圓軸扭轉時的應力與強度計算1.扭轉試驗現象與分析圖（a）所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網格。扭轉變形后[圖（b）]，在彈性范圍內，可以觀察到以下現象：ee1）各縱向線都傾斜了一個微小的角度，矩形網格變成了平行四邊形。2）各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉動了不同的角度。ee根據以上觀察到的現象，可以作出如下的假設及推斷：①由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設圓軸的橫截面在扭轉后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對轉動。這一假設稱為圓軸扭轉時的平面假設。②由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應力。③由于矩形網格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發生了相對轉動，故可推斷橫截面上必有切應力τ，且切應力的方向垂直于半徑。④由于各縱向線都傾斜了一個

角度

，故各矩形網格的直角都改變了

角，直角的改變量稱為切應變。切應變

是切應力τ引起的。2.圓軸扭轉時橫截面上的切應力（1）切應力的計算公式圓軸扭轉時橫截面上的切應力的計算公式為（推導從略）式中：T——橫截面上的扭矩，以絕對

值代入；

——橫截面上欲求應力的點處

到圓心的距離；Ip——橫截面對圓心的極慣性矩。TRdA切應力的大小與該點到圓心的距離成正比，切應力的方向則與半徑垂直，并與扭矩的轉向一致。由切應力的計算公式可知，當

=R時，切應力最大，最大切應力為（2）最大切應力則有式中：Wp——扭轉截面系數，單位為mm3或m3。

●扭轉時橫截面上切應力的計算公式只適用于圓軸。令

（3）極慣性矩和扭轉截面系數的計算極慣性矩Ip和扭轉截面系數Wp是只與橫截面形狀、尺寸有關的幾何量。直徑為D的圓截面和外徑為D、內徑為d的圓環形截面，它們對圓心的極慣性矩和扭轉截面系數分別為圓截面：

圓環形截面：

式中：——內、外徑的比值。【例4.9】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內徑d=85mm，橫截面上的扭矩T=1.5kN·m。求橫截面上內外邊緣處的切應力，并繪制橫截面上切應力的分布圖。TT【解】

1）計算極慣性矩。極慣性矩為

2）計算切應力。內外邊緣處的切應力分別為TT橫截面上切應力的分布如圖所示。τB=3.圓軸的強度計算為使圓軸扭轉時能正常工作，必須要求軸內的最大切應力τmax不超過材料的許用切應力[τ]，若用Tmax表示危險截面上的扭矩，則圓軸扭轉時的強度條件為式中：[τ]——材料的許用切應力，通過試驗測得。

它與許用拉應力之間有如下關系：塑性材料：[τ]=（0.5～0.6）[σ]脆性材料：

[τ]=（0.8～1.0）[σ]利用強度條件可以對圓軸進行強度校核、設計截面尺寸和確定許用荷載等三類強度計算問題。【例4.10】如圖（a）所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應力[τ]=50MPa，試進行強度校核。Me2Me1

【解】1）求危險截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖（b）所示，BC段各橫截面為危險截面，其上的扭矩為Tmax=4kN·mMe2Me1

2）校核軸的扭轉強度。截面的扭轉截面系數為軸的最大切應力為=34.5MPa<[τ]=50MPa可見軸是安全的。【例4.11】實心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所示。已知軸的轉速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應力[τ]=20MPa。（1）選擇實心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內外徑比為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實心部分與空心部分的重量比。MeMe

【解】軸承受的外力偶矩為故軸任一橫截面上的扭矩為

1）選擇實心軸的直徑。由強度條件T=Me=955N·m得

2）選擇空心軸的外徑D2。空心圓截面的扭轉截面系數為由強度條件得

3）求實心部分與空心部分的重量比。實心部分與空心部分的重量比為●顯然空心軸比實心軸節省材料。●從橫截面上切應力的分布規律可以說明為什么工程中許多受扭桿件采用空心圓截面。4.2.4圓軸扭轉時的變形與剛度計算1.圓軸扭轉時的變形（1）扭轉角圓軸扭轉時的變形通常是用兩個橫截面繞軸線轉動的相對扭轉角來度量的，其計算公式為（推導從略）T——橫截面上的扭矩，以絕對值代入；G——材料的切變模量；Ip——橫截面對圓心的極慣性矩。

上式也可寫成為式中：

——相距為dx的兩橫截面間的扭轉角；因此，相距為l的兩橫截面間的扭轉角為若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T的數值相同，則積分后得扭轉角的單位為rad。

●GIp稱為圓軸的扭轉剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉變形的能力。（2）單位長度扭轉角工程中通常采用單位長度扭轉角，即對于由同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T的數值相同，則有單位長度扭轉角

的單位為rad／m。2.圓軸的剛度計算對于承受扭轉的圓軸，除了滿足強度條件外，還要求它的扭轉變形不能過大。例如，精密機床上的軸若產生過大變形則會影響機床的加工精度；機器的傳動軸如有過大的扭轉變形，將使機器在運轉時產生較大振動。因此必須對軸的扭轉變形加以限制，即使其滿足剛度條件：式中：[

]——單位長度許用扭轉角，單位為rad/m，其

數值是由軸上荷載的性質及軸的工作條件等因素決定的，可從有關設計手冊中查到。在實際工程中[

]的單位通常為/m，剛度條件變為【例4.12】圖（a）所示的傳動軸，在截面A、B、C三處作用的外力偶矩分別為MeA=4.77kN·m、MeB=2.86kN·m、MeC=1.91kN·m。已知軸的直徑D=90mm，材料的切變模量G=80103MPa，材料的許用切應力[τ]=60MPa，單位長度許用扭轉角[]=1.1/m。試校核該軸的強度和剛度。【解】1)

求危險截面上的扭矩。

繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，BA段各橫截面為危險截面，其上的扭矩為Tmax=2.86kN·m（b）T圖

（kN·m）

2)

強度校核。截面的扭轉截面系數和極慣性矩分別為軸的最大切應力為可見強度滿足要求。

3)

剛度校核。軸的單位長度最大扭轉角為可見剛度也滿足要求。4.3

單跨梁

4.3.1工程實例和計算簡圖1.彎曲的工程實例工程中有大量的構件，它們所承受的荷載是作用線垂直于桿件軸線的橫向力，或者是通過桿軸平面內的外力偶。在這些外力的作用下，桿件的橫截面要發生相對的轉動，桿件的軸線將彎成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。彎曲的工程實例樓板梁公路橋梁單位長度的擋水墻

平面彎曲是工程中最常見的情況，也是最基本的彎曲問題，掌握了它的計算對于工程應用以及進一步研究復雜的彎曲問題具有十分重要的意義。本課程主要研究平面彎曲問題。2.平面彎曲的概念工程中常用梁的橫截面都具有一個豎向對稱軸。梁的軸線與梁的橫截面的豎向對稱軸構成的平面，稱為梁的縱向對稱面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱面內，則梁的軸線將在此對稱面內彎成一條曲線，這樣的彎曲變形稱為平面彎曲。3.梁的計算簡圖為了得到便于分析的計算簡圖，須對工程中的梁作以下三方面的簡化：

1)梁本身的簡化。通常用梁的軸線來代表梁。

2)荷載的簡化。梁上的荷載一般簡化為集中力、集中力偶或分布荷載。

3)支座的簡化。梁的支座有固定鉸支座、活動鉸支座和固定端支座三種理想情況。F1F2●靜定梁有三種型式：懸臂梁、簡支梁和外伸梁。這三種梁的支座反力都可由靜力平衡方程求出。●梁在兩個支座之間的部分稱為跨，其長度則稱為跨長或跨度。4.3.2梁的內力圖1.剪力和彎矩求簡支梁任意橫截面m—m上的內力。假想地沿橫截面m—m把梁截開成兩段，取左段為研究對象，在橫截面m—m上必然存在一個沿截面方向的內力FS。由平衡方程∑Y=0FA

FS

=0得FS=FA

FS稱為剪力。因剪力FS與支座反力FA組成一力偶，故在橫截面m—m上必然還存在一個內力偶與之平衡。設此內力偶的矩為M，則由平衡方程∑MO=0MFAx=0得M=FAx

這里的矩心O是橫截面m—m的形心。這個內力偶矩M稱為彎矩，它的矩矢垂直于梁的縱向對稱面。如果取右段梁為研究對象，則同樣可求得橫截面m—m上的剪力FS和彎矩M。為了使無論取左段梁還是取右段梁得到的同一橫截面上的FS和M不僅大小相等，而且正負號一致，根據變形來規定FS、M的正負號：

1)剪力正負號。梁截面上的剪力對微段梁內任一點的矩為順時針方向轉動時為正，反之為負。2)彎矩正負號。梁截面上的彎矩使微梁段產生上部受壓、下部受拉時為正，反之為負。【例4.13】簡支梁如圖（a）所示。求橫截面1—1、2—2、3—3上的剪力和彎矩。

【解】

1)

求支座反力。由梁的平衡方程求得支座A、B處的反力為

FA

=FB=10kN

2)

求橫截面1—1上的剪力和彎矩。

假想地沿截面1—1把梁截開成兩段，因左段梁受力較簡單，故取它為研究對象，并設截面上的剪力FS1和彎矩M1均為正。列出平衡方程∑Y=0FA

FS1

=0∑MO=0M1FA×1m=0得M1=FA1m=（10

kN）

（1

m）=10kNm得FA

=FS1=10kN

計算結果FS1與M1為正，表明兩者的實際方向與假設相同，即FS1為正剪力，M1為正彎矩。

3)

求橫截面2—2上的剪力和彎矩。假想地沿截面2—2把梁截開，仍取左段梁為研究對象，設截面上的剪力FS2和彎矩M2均為正。由平衡方程∑Y=0FA

F1

FS2

=0∑MO=0M2

FA（4m）

+F1（2m）

=0得

M2=FA（4m）

F1（2m）

=10kN（4m）10kN（2m）=20kNm得FS2=FAF1

=10kN10kN=0M2為正彎矩。

4)

求橫截面3—3上的剪力和彎矩。假想地沿截面3—3把梁截開，取右段梁為研究對象，設截面上的剪力FS3和彎矩M3均為正。由平衡方程∑Y=0FBFS3=0得

FS3=

FB=10kN∑MO=0

M3

+FB1m=0得M3=FB1m=10kN1m=10kNmFS3為負剪力，M3為正彎矩。

●內力計算規律從上面例題的計算過程，可以總結出內力計算的如下規律：

1）梁任一橫截面上的剪力，在數值上等于該截面左邊（或右邊）梁上所有外力在截面方向投影的代數和。截面左邊梁上向上的外力或右邊梁上向下的外力在該截面方向的投影為正，反之為負。

2）梁任一橫截面上的彎矩，在數值上等于該截面左邊（或右邊）梁上所有外力對該截面形心之矩的代數和。截面左邊梁上的外力對該截面形心之矩為順時針轉向，或右邊梁上的外力對該截面形心之矩為逆時針轉向為正，反之為負。

●利用上述規律，可以直接根據橫截面左邊或右邊梁上的外力來求該截面上的剪力和彎矩，而不必列出平衡方程。2.剪力圖和彎矩圖（1）用內力方程法繪制剪力圖和彎矩圖1）剪力方程和彎矩方程若沿梁的軸線建立x軸，以坐標x表示梁的橫截面的位置，則梁橫截面上的剪力和彎矩均可表示為坐標x的函數，即以上兩式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。2）剪力圖和彎矩圖用與梁軸線平行的x軸表示橫截面的位置，以橫截面上的剪力值或彎矩值為縱坐標，按適當的比例繪出剪力方程和彎矩方程的圖線，這種圖線稱為剪力圖或彎矩圖。

繪圖時將正剪力繪在x軸上方，負剪力繪在x軸下方，并標明正負號；正彎矩繪在x軸下方，負彎矩繪在x軸上方，即將彎矩圖繪在梁的受拉側，而不須標明正負號。【例4.14】繪制圖（a）所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。l【解】

1)

求支座反力。取梁整體為研究對象，由平衡方程∑MA=0，∑MB=0，得

FA=FB=lFAFB

2)列剪力方程和彎矩方程。取圖中的A點為坐標原點，由坐標為x的橫截面以左梁上的外力列出剪力方程和彎矩方程如下：（0＜x＜l

)（0≤x≤l）●因在支座A、B處有集中力作用，剪力在此兩截面處有突變，而且為不定值，故剪力方程的適用范圍用開區間的符號表示；彎矩值在該兩截面處沒有突變，彎矩方程的適用范圍用閉區間的符號表示。

3)

繪剪力圖。由剪力方程可以看出，該梁的剪力圖是一條直線，只要算出兩個點的剪力值就可以繪出：x=l，FSB

=

x=0，FSA=

4）繪彎矩圖。

由彎矩方程可知，彎矩圖是一條拋物線，至少要計算出三個點的彎矩值才能大致繪出：

x=0，MA

=0

x=l，MB=0

x=，MC

=最大剪力發生在靠近兩支座的橫截面上，其值為

最大彎矩發生在梁跨中點橫截面上，其值為Mmax=，該截面上剪力為零。本例小結：簡支梁在集中力作用下的剪力圖與彎矩圖簡支梁在集中力偶作用下的剪力圖與彎矩圖（2）利用圖形規律繪制剪力圖和彎矩圖

1）剪力圖和彎矩圖的規律。由上可看出剪力圖和彎矩圖的如下規律：①梁上沒有荷載段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。當剪力為正時，彎矩圖向右下傾斜；當剪力為負時，彎矩圖向右上傾斜。②梁上均布荷載段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線。當均布荷載向下時，剪力圖向右下傾斜，彎矩圖向下凸。③梁上集中力作用處，剪力圖上有突變，彎矩圖上有折角。當集中力向下時，剪力圖向下突變；當集中力向上時，剪力圖向上突變；突變的值等于集中力的大小。④梁上集中力偶作用處，剪力圖沒有反應，彎矩圖上有突變。當集中力偶順時針轉向時，彎矩圖向下突變；當集中力偶逆時針轉向時，彎矩圖向上突變；突變的值等于集中力偶矩的大小。2）利用圖形規律繪制剪力圖和彎矩圖。利用上述規律，可以不必列出剪力方程和彎矩方程，而更簡捷地繪制剪力圖和彎矩圖。其步驟如下：

①分段定形。根據梁所受外力情況將梁分為若干段，并判斷各梁段的剪力圖和彎矩圖的形狀；②定點繪圖。計算特殊截面上的剪力值和彎矩值，逐段繪制剪力圖和彎矩圖。【例4.15】繪制圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。

【解】1)求支座反力。利用對稱性，支座反力為FA

=FB

=3qa

2)

繪剪力圖。梁上的外力將梁分成CA、AB、BD三段。CA段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSC

=0FSA

=－qa

LqaFs圖AB段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSA=－qa＋FA=2qaRqa2qa2qaFs圖并由得剪力為零的截面E的位置x=2a。qa2qa2qa2aFs圖BD段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSD=0qa2qa2a2qaqaFs圖

3)繪彎矩圖。梁上的外力將梁分成CA、AB、BD三段。

CA段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MC

=0M圖AB段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。M圖BD段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MD=0M圖

●梁的最大彎矩發生在跨中點截面E上，其值為

,該截面上的剪力FSE

=0。222●梁的最大剪力發生在支座A右側和支座B左側截面上，其值為●本題也可以繪出CE段梁的剪力圖和彎矩圖，利用對稱性而得到全梁的剪力圖和彎矩圖。【例4.16】繪制圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。

【解】

1)

計算支座反力。由梁的平衡方程∑MA=0，∑MB=0，得

FA

=16kN，FB

=24kN

2)

繪剪力圖。梁上的外力將梁分成AC、CD、DE和EB四段。AC段受向下均布荷載的作用，剪力為向右下傾斜的直線。FA=16kN164FS圖(kN)并由得到剪力為零的截面G的位置x=1.6m。1641.6mFS圖(kN)GCD段和DE段上無荷載作用，截面D上受集中力偶的作用，故CE段的剪力圖為水平線。EB段上無荷載作用，剪力圖為水平線。FE=－24kNR1641.6m24FS圖(kN)

3)

繪彎矩圖。梁上的外力將梁分成AC、CD、DE和EB四段。AC段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MA=0GM圖(kN.m)12.812

CD段上無荷載作用，且剪力為負，故彎矩圖為向右上傾斜的直線。D點左側截面上的彎矩為M圖(kN.m)12.8128

DE段上無荷載作用，剪力為負，故彎矩圖為向右上傾斜的直線。MD=28kNmRM圖(kN.m)12.81282428EB段上無荷載作用，剪力為負，故彎矩圖為向上傾斜的直線。MB=0M圖(kN.m)12.81282428●最大彎矩發生在D點右側截面上，其值為

Mmax=28kNm。●梁的最大剪力發生在EB段各截面上，其值為|FS|max=24kN。4.3.3梁橫截面上的應力梁在平面彎曲時橫截面上存在兩種內力：剪力和彎矩M，它們是橫截面上分布內力的合力。在橫截面上只有切向分布內力才能合成為剪力，只有法向分布內力才能合成為彎矩。因此，梁的橫截面上一般存在著切應力

和正應力σ，它們分別由剪力和彎矩M所引起。1.梁橫截面上的正應力梁彎曲時橫截面上只有彎矩而無剪力，這種情況稱為純彎曲。下面先研究純彎曲時梁橫截面上的正應力計算。（1）橫截面上正應力的計算公式取截面具有豎向對稱軸（例如矩形截面）的等直梁，在梁側面畫上與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線，如圖（a）所示。然后在梁的兩端施加外力偶Me,使梁發生純彎曲圖（b）。此時可觀察到下列現象：

1)縱向直線變形后成為相互平行的曲線，靠近凹面的縮短，靠近凸面的伸長。

2)橫向直線變形后仍然為直線，只是相對地轉動了一個角度。

3)縱向直線與橫向直線變形后仍然保持正交關系。根據所觀察到的表面現象，對梁的內部變形情況進行推斷，作出如下假設：1)梁的橫截面在變形后仍然為一平面，并且與變形后梁的軸線正交，只是繞橫截面內某一軸旋轉了一個角度。這個假設稱為平面假設。

2)設想梁由許多縱向纖維組成。變形后，由于縱向直線與橫向直線保持正交，即直角沒有改變，可以認為縱向纖維沒有受到橫向剪切和擠壓，只受到單方向的拉伸或壓縮，即靠近凹面纖維受壓縮，靠近凸面纖維受拉伸。根據以上假設，靠近凹面纖維受壓縮，靠近凸面纖維受拉伸。由于變形的連續性，縱向纖維自受壓縮到受拉伸的變化之間，必然存在著一層既不受壓縮、又不受拉伸的纖維，這一層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

如圖所示。梁彎曲時，各橫截面繞各自中性軸轉過一角度。可以證明，中性軸通過橫截面的形心并垂直于橫截面的豎向對稱軸。可以證明，梁橫截面上正應力的計算公式為式中：M—橫截面上的彎矩；

y—橫截面上待求應力點至中性軸的距離；

Iz—橫截面對中性軸的慣性矩。

●用公式計算正應力時，通常以M、y的絕對值代入，求得的大小，再根據彎曲變形判斷應力的正（拉）或負（壓）。即以中性層為界，梁的凸出邊的應力為拉應力，凹入邊的應力為壓應力。（2）橫截面上正應力的分布規律和最大正應力在同一橫截面上，彎矩M

和慣性矩Iz

為定值，因此由公式可以看出，梁橫截面上某點處的正應力σ與該點到中性軸的距離y成正比，當y=0時，σ=0，中性軸上各點處的正應力為零。中性軸兩側，一側受拉，另一側受壓。離中性軸最遠的上、下邊緣y=ymax處正應力最大，一邊為最大拉應力σtmax，另一邊為最大壓應力σcmax。橫截面上正應力的分布規律

令則最大正應力可表示為式中：Wz——截面對中性軸z的彎曲截面系數。

它只與截面的形狀及尺寸有關，是衡量截面抗彎能力的一個幾何量，其常用單位是mm3或m3

。最大應力值為

（3）慣性矩和彎曲截面系數的計算對于矩形、圓形及圓環形等常見簡單截面的慣性矩和彎曲截面系數，可直接由定義計算，其結果列于表中，以備查用。型鋼截面的慣性矩和彎曲截面系數可由型鋼表查得。常見簡單截面的慣性矩與彎曲截面系數

梁彎曲時橫截面上不僅有彎矩而且還有剪力，這種情況稱為橫力彎曲。

由于橫力彎曲時梁橫截面上不僅有正應力，而且有切應力。由于切應力的存在，梁變形后橫截面不再保持為平面。按平面假設推導出的純彎曲梁橫截面上正應力計算公式，用于計算橫力彎曲梁橫截面上的正應力是有一些誤差的。但是當梁的跨度和梁高比＞5時，其誤差甚小。因此，公式也適用于橫力彎曲。但要注意，純彎曲梁段M為常量，而橫力彎曲梁段M是變量，故應用M(x)代替公式中的M。

●在橫力彎曲時，如果梁的橫截面對稱于中性軸，例如矩形、圓形等截面，則梁的最大正應力將發生在最大彎矩（絕對值）所在橫截面的邊緣各點處，且最大拉應力和最大壓應力的值相等。梁的最大正應力為

●如果梁的橫截面不對稱于中性軸，例如T形截面，由于上、下邊緣至中性軸的距離不相等，則梁的最大正應力將發生在最大正彎矩或最大負彎矩所在橫截面的邊緣各點處，且最大拉應力和最大壓應力的值不相等（詳見例4.17）。

【例4.17】求圖（a，b)所示T形截面梁的最大拉應力和最大壓應力。已知T形截面對中性軸的慣性矩Iz=7.64106mm4，且y1=52mm。【解】1）繪制梁的彎矩圖。梁的彎矩圖如圖（c）所示。由圖可知，梁的最大正彎矩發生在截面C上，MC=2.5kNm;最大負彎矩發生在截面B上，MB=－4kNm。

2）計算C截面上的最大拉應力和最大壓應力。

C截面上的最大拉應力和最大壓應力為

3）計算B截面上的最大拉應力和最大壓應力。B截面上的最大拉應力和最大壓應力為綜合以上可知，梁的最大拉、壓應力分別為

tmax=tC=28.8MPa

cmax=cB=46.1MPa

2.梁橫截面上的切應力梁在橫力彎曲時，橫截面上有剪力FS，相應地在橫截面上有切應力。下面對幾種常用截面梁的切應力作簡要介紹。（1）矩形截面梁矩形截面梁橫截面上的切應力沿截面高度按拋物線規律變化。在截面的上、下邊緣各點處，切應力等于零；最大切應力發生在中性軸上各點處，并沿中性軸均勻分布，其值為式中：FS——橫截面上的剪力；

A=bh——矩形截面的面積。

矩形截