第五節 數列的綜合應用1.認識數列的函數特性，能結合方程、不等式、解析幾何等知識解決一些數列綜合題．2．能在實際情形中運用數列知識解決實際問題.1．在解決數列綜合問題時要注意以下方面(1)用函數的觀點和思想認識數列，將數列的通項公式與求和公式都看作自變量為正整數的函數．(2)用方程思想去處理數列問題，把通項公式與求和公式看作列方程的等量關系．(3)用轉化思想去處理數學問題，將實際問題轉化為等差數列或等比數列問題．(4)用猜想與遞推的思想去解決數學問題．2．數列應用問題利用數列模型解決的實際問題稱為數列應用問題．在實際問題中，有很多問題都可轉化為數列問題進行處理，如經濟上涉及的利潤、成本、效益的增減問題，在人口數量的研究中涉及的增長率問題以及金融中涉及的利率問題，都與數列問題相聯系．處理數列應用問題的基本思想與處理函數應用問題的基本思想是一致的．數列應用題的解法一般是根據題設條件，建立目標函數關系(即等差數列或等比數列模型)，然后利用相關的數列知識解決問題．在建模過程中，首先要分析研究實際問題的對象的結構特點，其次要找出所含元素的數量關系，從而確定為何種數學模型．解模的過程就是運算的過程，首先判斷是等差數列還是等比數列，確定首項、公差(比)、項數是什么，能分清an，Sn，然后選用適當的方法求解．最后的程序是還原，即把數學問題的解客觀化，針對實際問題的約束條件合理修正，使其成為實際問題的解．1．某學校高一、高二、高三共計2460名學生，三個年級的學生人數剛好成等差數列，則該校高二年級的人數是(

)A．800

B．820C．840 D．8603．若a，b，c成等比數列，則函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點的個數為(

)A．0 B．1C．2 D．不能確定解析：由題意b2＝ac(ac>0)，∴Δ＝b2－4ac＝－3b2<0.答案：A4．已已知知數數列列{an}中，，a1＝2，點點(an－1，an)(n>1且n∈N)滿足足y＝2x－1，則則a1＋a2＋…＋a10＝________.5．在在數數列列{an}中，，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則S100＝________.解析：由已知，，得a1＝1，a2＝2，a3－a1＝0，a4－a2＝2，……熱點之一一等差、等等比數列列的綜合合問題1．等差數列列與等比比數列相相結合的的綜合問問題是高高考考查查的重點點，特別別是等差差、等比比數列的的通項公公式，前前n項和公式式以及等等差中項項、等比比中項問問題是歷歷年命題題的熱點點．2.利用等比比數列前前n項和公式式時注意意公比q的取值．．同時對對兩種數數列的性性質，要要熟悉它它們的推推導過程程，利用用好性質質，可降降低題目目的難度度，解題題時有時時還需利利用條件件聯立方方程求解解．[例1]已知數列列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)設bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明{bn}是等比數數列；(2)求數列{an}的通項公公式；(3)若a3是a6與a9的等差中中項，求求q的值，并并證明：：對任意意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中中項．[思路探究究]又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數列列．(2)解：由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－an－1＝qn－2(n≥2)．即時訓練設{an}是公比大于于1的等比數列列，Sn為數列{an}的前n項和，已知知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數數列．(1)求數列{an}的通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數列{bn}的前n項和Tn.[例2]假設某市2008年新建住房房400萬平方米，，其中有250萬平方米是是廉低價房房．預計在在今后的若若干年內，，該市每年年新建住房房面積平均均比上一年年增長8%.另外，每年年新建住房房中，廉低低價房的面面積均比上上一年增加加50萬平方米．．那么，到到哪一年底底，(1)該市歷年所所建廉低價價房的累計計面積(以2008年為累計的的第一年)將首次不少少于4750萬平方米？？(2)當年建造的的廉低價房房的面積占占該年建造造住房面積積的比例首首次大于85%?(2)設新建住房房面積形成成數列{bn}，由題意可可知{bn}是等比數列列，其中b1＝400，q＝1.08.則bn＝400×1.08n－1.由題意可知知an>0.85bn，有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85.由計算器解解得滿足上上述不等式式的最小正正整數n＝6.∴到2013年底，當年年建造的廉廉低價房的的面積占該該年建造住住房面積的的比例首次次大于85%.即時訓練某企業進行技技術改造，有有兩種方案，，甲方案：一一次性貸款10萬元，第一年年便可獲利1萬元，以后每每年比前一年年增加30%的利潤；乙方方案：每年貸貸款1萬元，第一年年可獲利1萬元，以后每每年比前一年年獲利增加5000元；兩種方案案的使用期都都是10年，到期一次次性歸還本息息．若銀行兩兩種形式的貸貸款都按年息息5%的復利計算，，試比較兩種種方案中，哪哪種獲利更多多？(取1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665)熱點之三數列與函數、、不等式、解解析幾何的綜綜合應用數列與其他知知識的綜合問問題主要指的的是幾何方法法或函數的解解析式構造數數列，用函數數或方程的方方法研究數列列問題，函數數與數列的綜綜合問題主要要有以下兩類類：一是已知函數數的條件，利利用函數的性性質圖象研究究數列問題，，如恒成立，，最值問題等等．二是已知知數列條件，，利用數列的的范圍、公式式、求和方法法等知識對式式子化簡變形形，從而解決決函數問題．．即時訓練已知曲線C：y＝x2(x>0)，過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點B1，再過點B1作y軸的平行線交交曲線C于點A2，再過點A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2，再過點B2作y軸的平行線交交曲線C于點A3，…，依次作下去去，記點An的橫坐標為an(n∈N*)．(1)求數列{an}的通項公式；；(2)設數列{an}的前n項和為Sn，求證：anSn≤1.從近幾年的高高考試題看，，數列的綜合合應用成為命命題的熱點，，在選擇題、、填空題、解解答題中都有有可能出現．．主要是等差差、等比數列列綜合題，或或可轉化為等等差、等比數數列的綜合問問題，或者與與數列有關的的應用題.2009年廣東卷第21題．考查直線線與曲線相切切的充要條件件，構造函數數證明不等式式等知識，考考查運用所學學知識綜合分分析、解決問問題的能力，，是高考在知知識交匯點命命題的典型代代表．1．(2010·上海高考)已知數列{an}的前n項