第3章非穩態導熱

是指溫度場隨時間變化的導熱過程。

絕大多數非穩態導熱過程都是由邊界條件的變化引起。

根據溫度場隨時間的變化規律不同，非穩態導熱分為:周期性非穩態導熱

在周期性變化邊界條件下發生的導熱過程.

如內燃機氣缸的氣體溫度隨熱力循環發生周期性變化，汽缸壁的導熱就是周期性非穩態導熱。

非周期性非穩態導熱

通常是在瞬間變化的邊界條件下發生的導熱過程.

例如熱處理工件的加熱或冷卻等。了解和掌握非穩態導熱過程中溫度場的變化規律；換熱量的計算方法.

對解決諸如熱處理工藝中加熱或冷卻過程的優化控制等工程實際問題具有重要意義

.主要介紹:一維非周期性非穩態導熱的解析解法及求解結果;求解非穩態導熱問題的集總參數法。

1.一維非穩態導熱問題的解析解第三類邊界條件下大平壁、長圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見的一維非穩態導熱問題，下面重點討論大平壁。

1)無限大平壁冷卻或加熱問題的分析解簡介

厚度無限大平壁；材料熱導率、熱擴散率為常數；無內熱源；初始溫度與兩側的流體相同，為。突然將兩側流體溫度降低為，并保持不變；假設平壁表面與流體間對流換熱的表面傳熱系數h為常數。

考慮到溫度場的對稱性，選取坐標系如圖，x坐標原點位于平壁中心，因此僅需討論半個平壁的導熱問題。很顯然，這是一個一維的非穩態導熱問題，其導熱微分方程式為:

初始條件：邊界條件：

（對稱性）

以上導熱微分方程式及單值性條件組成了該非穩態導熱問題的數學模型。

引進過余溫度:

于是導熱微分方程式和單值性條件變為:

初始條件：

邊界條件：

再引進無量綱溫度:

無量綱坐標:

可將上式及單值性條件無量綱化為:

即初始條件：邊界條件：

通過量綱分析可以發現， 參數組均為無量綱數，稱為特征數，習慣上也稱為準則數，具有特定的物理意義。

傅里葉數

分子為從非穩態導熱過程開始到時刻的時間，分母也具有時間的量綱，可理解為溫度變化波及到面積所需要的時間。所以Fo為兩個時間之比，是非穩態導熱過程的無量綱時間。

畢渥數為物體內部的導熱熱阻與邊界處的對流換熱熱阻之比。

由前式和單值性條件可知，是

三個參數的函數，可表示為：確定上式所表達的函數關系，是求解該非穩態導熱問題的主要任務。

采用分離變量方法可求得解析解，這里只給出求解結果：

解的函數形式為無窮級數，式中 是超越方程

的根，有無窮多個，是畢渥數的函數。無論Bi取任何值，超越方程式的根都是正的遞增數列，所以從函數形式可以看出，上式是一個快速收斂的無窮級數。由上式可以看出，無量綱過余溫度確實是三個無量綱參數Bi、Fo、的函數，與前面由無量綱導熱微分方程式分析得出的結果相一致。

2)關于解析解的討論

(1)傅里葉數Fo對溫度分布的影響計算結果表明，當傅里葉數Fo0.2時，取級數的第一項來近似整個級數產生的誤差很小，對工程計算已足夠精確。

將上式左、右兩邊取對數：式中：

為超越方程的第一個根，只與Bi有關，即只取決于：第三類邊界條件；平壁的物性；幾何尺寸；所以當平壁及其邊界條件給定之后，m為一常數，與時間、地點無關。而式右邊的第二項只與Bi、 有關，與時間無關。于是上式可改為： 上式說明，當 ，即

時，平壁內所有各點過余溫度的對數都隨時間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等，如圖所示。

正規狀況階段在此之前的非穩態導熱階段稱為非正規狀況階段。

在正規狀況階段，各點的溫度都按前式的規律變化，這是非穩態導熱正規狀況階段的特點之一。

將前式兩邊對時間求導，可得：

由上式可見，m的物理意義是過余溫度對時間的相對變化率，單位是，稱為冷卻率（或加熱率）。

當Fo0.2，物體的非穩態導熱進入正規狀況階段后，所有各點的冷卻率或加熱率m都相同，且不隨時間而變化，m的數值取決于物體的物性參數、幾何形狀與尺寸大小以及表面傳熱系數，這是非穩態導熱正規狀況階段的特點之二。

如果用

表示平壁中心的過余溫度，則由原式可得：

由原式與上式之比可得：從上式可見，當Fo0.2，非穩態導熱進入正規狀況階段以后，雖然都隨時間而變化，但它們的比值與時間無關，只取決于畢渥數與幾何位置，這是正規狀況階段的另一重要特點。

認識正規狀況階段的溫度變化規律對工程計算具有重要的實際意義，因為工程技術中的非穩態導熱過程絕大部分時間都處于正規狀況階段

。有關文獻已證明，當Fo0.2時，其它形狀物體的非穩態導熱也進入正規狀況階段，表現出上述特點，具有前面幾式所表示的溫度變化規律，只是m的數值不同而已。

非穩態導熱的正規狀況

對無限大平板當取級數的首項，板中心溫度，誤差小于1%

與時間無關3正規熱狀況的實用計算方法－線算圖法諾謨圖三個變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，F0>0.2時，取其級數首項即可先畫(2)再

繪制其線算圖(3)于是，平板中任一點的溫度為同理，非穩態換熱過程所交換的熱量也可以繪制出。無限大平壁與周圍流體之間交換的熱量

在平壁內x處平行于壁面取一厚度為dx的微元薄層，在時間內，單位面積微元薄層放出的熱量等于其熱力學能的變化，即:

單位面積平壁所放出的熱量為:

令 為單位面積平壁從溫度冷卻到穩態所放出的熱量，于是：

上式也同樣被繪制成線算圖。

將?式代入上式，得:

4分析解應用范圍的推廣和討論（1）分析解應用范圍的三點推廣。

①對物體冷卻也可適用。

②對一側絕熱、另一側為第三類邊界條件的平板也可適用。

③當對流換熱系數趨于無窮大時，固體的表面溫度就趨近于流體的溫度，因而Bi→∞時就是物體表面溫度突然變化后保持不變的第一類邊界條件的解。（2）Fo及Bi對溫度場的影響

①隨著Fo（τ）數的增加，物體中各點的過余溫度減少。

②Bi數的影響可以從兩個方面說明：

在相同的Fo數條件下，Bi數越大，θm/θ0的值越小。Bi數越大，意味著表面上的換熱條件越強，導致物體中心溫度越迅速接近周圍介質的溫度。在極限情況下，Bi→∞，這相當于在過程開始瞬間物體表面就達到了周圍介質的溫度，物體中心溫度的變化當然也最迅速。相當于壁溫保持恒定的第一類邊界條件。

另一方面，Bi數的大小還決定物體中溫度的扯平程度。當Bi＜0.1時，截面上的過余溫度差值已小于5％，可忽略內阻，用集總參數法。

由此可見：介質溫度恒定的第三類邊界條件下的分析解，在Bi→∞時轉化為第一類邊界條件下的解，而在Bi→0時與集總參數法的解相同。

對于:溫度僅沿半徑方向變化的圓柱體（如可近似按無限長圓柱處理的長圓柱或兩端絕熱的圓柱體）；球體在第三類邊界條件下的一維非穩態導熱問題；

分別在柱坐標系和球坐標系下進行分析，可求得溫度分布的分析解，也是快速收斂的無窮級數，并且是Bi、Fo和的函數：式中R為圓柱或球體的半徑，為圓柱或球體的初始過余溫度。當時，無限長圓柱和球體的非穩態導熱過程也都進入正規狀況階段，分析解可近似取無窮級數的第一項，近似結果也被繪制成了線算圖。

3.集總參數法

當 時，物體內部的導熱熱阻遠小于其表面的對流換熱熱阻，可以忽略，物體內部各點的溫度在任一時刻都趨于均勻，物體的溫度只是時間的函數，與坐標無關。對于這種情況下的非穩態導熱問題，只須求出溫度隨時間的變化規律以及在溫度變化過程中物體放出或吸收的熱量。

這種忽略物體內部導熱熱阻的簡化分析方法稱為集總參數法。

一個任意形狀的物體，如圖所示：體積為V，表面面積為A；密度、比熱容c及熱導率為常數；無內熱源，初始溫度為；突然將該物體放入溫度恒定為的流體之中，物體表面和流體之間對流換熱的表面傳熱系數h為常數；需要確定該物體在冷卻過程中溫度隨時間的變化規律以及放出的熱量。

假設該問題滿足的條件，根據能量守恒，單位時間物體熱力學能的變化量應該等于物體表面與流體之間的對流換熱量，即

引進過余溫度 ，上式可改寫為

（*）初始條件為通過分離變量，(*)式可改寫為：

將上式積分可得

:式中:令 具有長度的量綱，稱為物體的特征長度

得

注意，式中畢渥數與傅里葉數的下角標V表示以為特征長度：

對于厚度為的無限大平壁，對于半徑為R的圓柱，對于半徑為R的圓球，

前面介紹的分析解及諾謨圖中：厚度為的無限大平壁的特征長度為，與集總參數法分析結果中的相同，但圓柱和圓球的特征長度都為半徑R，即與、不同。

分析結果表明，對于形狀如平板、柱體或球這樣的物體，只要滿足：物體內各點過余溫度之間的偏差小于5%，就可以使用集總參數法計算。M是與物體形狀有關的無量綱數。對于無限大平板，對于無限長圓柱，對于球，

當時，物體的過余溫度按指數函數規律下降，隨著溫差的減小，下降的速度越來越緩慢。式中指數部分中的具有時間的量綱，令稱為時間常數，單位是s。當 時:

即物體的過余溫度達到初始過余溫度的36.8%。

這說明，時間常數反映物體對周圍環境溫度變化響應的快慢，時間常數越小，物體的溫度變化越快，越迅速地接近周圍流體的溫度。

由式 可見，

影響時間常數的主要因素是：物體的熱容量；物體表面的對流換熱條件。

物體的熱容量愈小，表面的對流換熱愈強，物體的時間常數愈小。利用熱電偶測量流體溫度，時間常數越小，熱電偶越能迅速地反映被測流體的溫度變化，所以，熱電偶端部的接點總是做得很小。

如果幾種不同形狀的物體用同一種材料制作;和周圍流體之間的表面傳熱系數也都相同;都滿足的條件.

單位體積的表面面積越大的物體，時間常數越小.

在初始溫度相同的情況下放在溫度相同的流體中被冷卻（或加熱）的速度越快。

用同一種材料制成的體積相同的圓球、長度等于直徑的圓柱與正方體，三者的表面面積之比為：

A圓球

:A圓柱

:A正方體

=1:1.146:1.242正方體的表面面積最大，時間常數最小

直徑為2R的球體、長度等于直徑2R的圓柱體與邊長為2R的正方體相比，三者單位體積的表面積相同，時間常數相同，在相同條件下的冷卻（或加熱）速度也相同。

時間內物體和周圍環境之間交換的熱量

令，表示物體溫度從變化到周圍流體溫度所放出或吸收的總熱量，上式可改寫成無量綱形式：

既適用于物體被加熱的情況，也適用于物體被冷卻的情況。

作業：一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為

kg/m3，比熱容為

J/(kg?K)，導熱系數為43.2W/(m?K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面傳熱系數為

W/(m2?K)。試求加熱40分鐘時距離鋼板中心50mm處的溫度。導熱問題的數值解法基礎分析解法的主要優點是求解過程所依據的數學分析比較嚴謹,物理概念和邏輯推理比較清晰,求解結果以函數的形式表示,能清楚地顯示各種因素對溫度分布的影響。但是只有少數幾何形狀和邊界條件都比較簡單的導熱問題才能精確地分析求解，對于工程上絕大多數稍復雜些的導熱問題，分析解法無能為力。數值解法的基本思想是:用導熱問題所涉及的空間和時間區域內有限個離散點(稱為節點)的溫度近似值來代替物體內實際連續的溫度分布，將連續溫度分布函數的求解問題轉化為各節點溫度值的求解問題，將導熱微分方程的求解問題轉化為節點溫度代數方程的求解問題。因此，求解域的離散化、節點溫度代數方程組的建立與求解是數值解法的主要內容。數值解法求解導熱問題的基本步驟如下：(1) 對實際導熱問題的幾何、物理性質進行分析，做必要的、合理的簡化，建立符合實際的物理模型；(2) 根據物理模型建立完整的數學模型，即給出導熱微分方程（即導熱控制方程）和單值性條件；(3) 求解域離散化：將導熱問題所涉及的空間和時間區域按一定的要求劃分成有限個子區域，將子區域的頂點作為需要確定其溫度值的空間點或時間點（即節點）,每個節點就代表以它為中心的子區域，節點溫度就代表子區域的溫度；(4) 建立節點溫度代數方程組；(5) 求解節點溫度代數方程組，得到所有節點的溫度值；(6) 對計算結果進行分析，若計算結果不符合實際情況，則檢查上述計算步驟，修正不合理之處，重復進行計算，直到結果滿意為止。有限差分法有限差分法的基本原理就是用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導數），例如，進而將導熱偏微分方程轉化為節點溫度差分代數方程。

以二維方程為例，中間和邊界處差分代數方程的建立節點溫度差分方程組的求解方法簡單迭代法：設節點溫度差分方程的形式為：其中