第三節牽連運動為平動時點的加速度合成定理第九章點的合成運動第一節點的合成運動的概念第二節點的速度合成定理

運動是絕對的，但運動的描述則是相對的。同一物體的運動在不同的參考系中是不一樣的。對于不同的參考系，物體運動的結果不一樣。例如:車輪上的點P的運動，如果以地面作為參考系，點的軌跡是旋輪線(復雜運動)，而如果以小車作為參考系，點的軌跡則是一個圓(相對簡單運動)。前章中我們研究點和剛體的運動，都是以地面為參考系的。然而，實際問題中，為了研究問題的方便，例如，將一個復雜的運動分解為幾個較為簡單的運動或將幾個運動合成為一個復雜的運動，都需要在不同的參考系中來研究物體的運動，分析物體相對不同參考系運動之間的關系。本章提出一種運動的分解和合成的方法。研究點的合成運動,分析點的速度合成和加速度合成的規律。

應用運動的分解和合成的方法把點的復雜運動分解為某些簡單的運動,對各簡單的運動加以分析之后,再合起來就可以解決復雜的運動問題。這稱為點的合成運動(點的復合運動)。例如:車床上車刀刀尖P的運動，很顯然車刀刀尖相對于地面是直線運動，但如果相對于旋轉的工件而言，軌跡則是圓柱面上的螺旋線。第一節點的合成運動的概念下面介紹點的合成運動中的基本概念：“一點兩系三運動”一點：即動點，所研究的點。兩系：定參考系和動參考系。定參考系

—固結于地面上的坐標系，簡稱靜系。動參考系

—

固結于相對于地面運動物體上的坐標系，簡稱動系。例如行駛的汽車。三運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。絕對運動：動點相對靜系的運動。相對運動：動點相對動系的運動。例如：人在行駛的汽車里走動。牽連運動：動系相對于靜系的運動。例如：行駛的汽車相對于地面的運動。牽連運動中,牽連點的速度和加速度稱為牽連速度和牽連加速度動點在絕對運動中的軌跡、速度和加速度稱為動點的絕對軌跡、絕對速度

和絕對加速度。動點在相對運動中的軌跡、速度和加速度稱為動點的相對軌跡、相對速度和相對加速度。

特別需要強調的是，由于動參考系的運動是剛體的運動而不是一個點的運動，因此定義在任意瞬時，動參考系上與動點重合的那一點稱為牽連點，該點應該是動系上在該瞬時與動點關系最緊密的。顯然牽連點不是動系上的一個固定點。有了牽連點的概念，可以定義牽連速度和牽連加速度如下：絕對軌跡,牽連軌跡,相對軌跡;絕對速度,牽連速度,相對速度;()絕對加速度,牽連加速度,相對加速度.()若記動點相對于動坐標系的坐標為:x'=f1(t),y'=f2(t),z'=f3(t).則則在某一瞬時與動點M重合的點M‘相對于靜坐標系的速度和加速度,稱為動點M在這一瞬時的牽連速度和牽連加速度。M‘稱為牽連點。牽連運動:在某一瞬時與動點M重合而與動坐標系固結在一起的點M‘對于靜坐標系的軌跡為牽連運動的軌跡。下面通過例子來說明以上的各個概念靜坐標系與物體固結

動坐標系

與運動車廂固結以速度v1向東行駛的車廂內，地板上有一南北向的槽AB，一小球M沿槽以不變的速度u向北運動，而站在地面的人看到小球往東偏北方向運動。v=(u2+v12)1/2。例9-1

O

yxo'x'y'ABv1

uM一點兩系三運動這里：M稱為動點，車廂相對地面的運動為牽連運動（牽連速度，牽連加速度）；小球M相對車廂的運動是相對運動（相對速度，相對加速度）；小球相對于地面的運動為絕對運動（絕對速度，絕對加速度）。

O

yxo'x'y'ABv1

uM也即

動點靜系

絕對運動動點動系相對運動動系靜系牽連運動

Link1問：絕對運動是什么？相對運動是什么？牽連運動是什么？靜坐標系

與地面固結動坐標系與直管OA固結

=例9-2直管OA作定軸轉動，小球M沿OA管向外運動。veMy'x'u=vrxy例9-3說明動點、動系及絕對運動、牽連運動和相對運動。(b)M

v(a)Mvavrve動點：動系：靜系：偏心凸輪C上A1點固結于桿AB上固結在地面上動點：動系：靜系：AB桿上A點固結于偏心凸輪C上固結在地面上從以上例子可以得出，如果動點和動系選擇的恰當，則相對軌跡較為簡單，反之則較復雜。因此，動點動系的選擇是分析點的合成運動的關鍵之一。點的復合運動—速度分析例子思考：如果動點是頂桿上的A點，動系與凸輪固結，試對動點進行速度分析，畫出速度圖。本節主要研究點的絕對速度、牽連速度、相對速度三者之間的關系■速度合成定理：任一瞬時，動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和。第二節點的速度合成定理現推導點的速度合成定理。動點M沿著曲線AB運動；曲線AB固結于動坐標系上且隨同動坐標系相對靜坐標系運動?t后：(1)動曲線，動點M1的絕對軌跡。(2)在動坐標體系上觀察M點的運動，則它沿曲線運動到M2，該弧稱為相對軌跡。

(3)在瞬時與動點M重合的那點則沿運動到稱為牽連軌跡。M2（M’）由定義：方向均如圖所示。另存在以?t除兩端，并令?t→0，取lim有M2（M’）如圖所示，Oxyz為定參考系，Oxyz為動參考系。動系坐標原點O

在定系中的矢徑為rO，動系的三個單位矢量分別為i，j，k。動點M在定系中的矢徑為rM，在動系中的矢徑為r。牽連點（動系上與動點重合的點）為M，它在定系中的矢徑為rM。顯然動點的絕對速度va為相對速度是動點相對動參考系的速度，因此與絕對速度的計算類似，相對速度應是相對矢徑r對時間的相對導數，即將i，j，k視為常矢量。從而有為與絕對導數區別，相對導數用導數符號上加“”表示。動點的牽連速度為因為牽連點是動系上的點，故它的相對坐標是常數，對時間的導數為零。由（9-1），（9-2）和（9-3）得點的速度合成定理表式提供投影方程2個，可以求解兩個未知量。若要求解問題，則需分析方向√√√大小√√√Note:上面的推導過程中，動參考系并未限制作何運動，因此點的速度合成定理對任意的牽連運動都適用。刨床的急回機構如圖所示，曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接，當曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動，設曲柄長OA=r，兩間距離OO1=l，求當曲柄在水平位置時搖桿的角速度ω1。例題9-4相對運動軌跡解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O1x'y'，固連于搖桿O1B。2.運動分析。絕對運動－以O為圓心的圓周運動。相對運動－沿O1B的直線運動。牽連運動－搖桿繞O1軸的擺動。動點－滑塊A

。定系－固連于機座。應用速度合成定理3.速度分析。絕對速度va：va＝OA·ω

＝rω

，方向垂直于OA，沿鉛垂方向向上。

相對速度vr：大小未知，方向沿搖桿

O1B。牽連速度ve：ve為所要求的未知量，

方向垂直于O1B

。vavevr因為所以其中所以可得vavevr例9-5【討論】若取搖桿O1B上A點為動點，動系固連曲柄OA，則相對運動軌跡是什么曲線？【討論】若取搖桿O1B上A點為動點，動系固連曲柄OA，則相對運動軌跡是什么曲線？例9-6

凸輪頂桿機構中半徑為R的半圓形凸輪以等速度v0沿水平軌道向右運動，帶動頂桿AB沿鉛垂方向運動，如圖所示，試求φ=60o時，頂桿AB的速度。ABv0nφR【解】1.選擇動點，動系與定系。動系－Ox'y'，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－直線運動。牽連運動－水平平動。動點－AB的端點A。相對運動－沿凸輪輪廓曲線運動。定系－固連于水平軌道。3.速度分析。絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線

。牽連速度ve：ve=

v0，方向水平向右。ABnφRvaveφv0vr此瞬時桿AB的速度方向向上。應用速度合成定理討論：若取凸輪圓心O′點為動點，動系固連頂桿AB，則相對運動軌跡是什么曲線？討論：若取凸輪圓心O′點為動點，動系固連頂桿AB，則相對運動軌跡是什么曲線？例9-7

已知:凸輪半徑r,圖示時v，＝300

桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。【分析】相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點都不宜選為動點，否則相對運動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為動點。【解】取凸輪上C點為動點,動系固結于OA桿上,靜系固結于基座。絕對運動:直線運動,絕對速度:相對運動:直線運動,相對速度:牽連運動:定軸轉動,牽連速度:如圖示。根據速度合成定理做出速度平行四邊形（）M點沿直管運動，同時這直管又在圖示固定平面內繞定軸O轉動。已知r=OM和轉角φ的變化規律求M點絕對速度的表達式。Oxx'y'yφM例題9-81.選擇動點，動系與定系。動點－點M。動系－Ox′y′固連于直管。2.運動分析。絕對運動－平面曲線運動。牽連運動－直管繞O作定軸轉動。相對運動－沿動直管的直線運動。x'y'OxyφM解：定系－固連于機座。例題9-83.速度分析。絕對速度va：大小和方向未知。Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ牽連速度ve：大小，方向垂直于向直管向左上。相對速度vr：大小，方向沿直管向右上。例題9-8由點的速度合成定理M點的絕對速度va的大小角度α可由下式確定Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ例題9-8如圖所示，平底頂桿AB可沿導軌上下移，偏心圓盤繞軸O轉動，軸O位于頂桿的軸線上。圓盤半徑為R，偏心OC=e,角速度為。OC與水平線夾角用表示，求

=00時頂桿的速度。【解】取盤心C為動點，平頂桿AB為動系。則有：速度平行四邊形如圖示；圖中平行于桿AB的底平面，所以：當時，頂桿的速度例9-9如圖所示，半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度ω繞O軸轉動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時，桿AB的速度。R例題9-10動點：動系：靜系：偏心凸輪C上A1點固結于桿AB上固結在地面上動點：動系：靜系：AB桿上A點固結于偏心凸輪C上固結在地面上點的復合運動—速度分析例子思考：如果動點是頂桿上的A點，動系與凸輪固結，試對動點進行速度分析，畫出速度圖。解：1.選擇動點，動系與定系。動系－Ox′y′，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－直線運動。相對運動－以C為圓心的圓周運動。牽連運動－繞O軸的定軸轉動。動點－AB的端點A

。eOCθωBy'x'定系－固連于機座。應用速度合成定理3.速度分析。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪

圓周的切線

。牽連速度ve：ve＝OA

·

ω

，方向垂直

于OA

。eOCAθωBvevaθvr絕對速度va：va為所要求的未知量，

方向沿桿AB。前面主要講述了點的速度合成定理，不論動參考系作任何運動，它都是成立的。但點的加速度合成定理，對牽連運動是平移和牽連運動是轉動是不相同的。第三節牽連運動為平移時點的加速度合成定理為動系的正向單位矢量。同理在任意瞬時t的相對加速度由于動系作平移，在同一瞬時，動系(可視為剛體)上所有各點的速度都相同，故而動點的牽連速度必與動系原點O′的速度相同，設在圖示中的動系作平移。則根據動點的運動學理論，動點M在任意瞬時t的相對速度與其相對坐標之間有下面關系：上式是任意瞬時都成立的，故可對時間t求導，注意到動系僅作平動，均為常矢，有將(2)代入，即因為動系作平移，在同一瞬時，動系上所有各點的加速度都相同，故而動點的牽連加速度必與動系原點O′的加速度相同，即代入(6)有即將(1)、(3)代入，有即當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。一般式可寫為因為當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。即其一般式為

一般情況下

科氏加速度的計算可以用矢積表示例9-11如圖所示的曲柄滑道機構中，曲柄長OA＝100mm，當∠COA=45?時，其角速度ω＝1rad/s，加速度ε＝1rad/s2,轉向如圖。求此瞬時，導桿BC的加速度及滑塊A在滑道DB中滑塊的加速度。【解】取滑塊A為動點，動系固結于導桿BC上，定系固結于地面。動點A絕對運動是圓周運動(圓心O，半徑OA)。故絕對a有兩個分量，即動點的相對運動為沿槽DB軸的直線運動，故為水平，其大小和指向待求。指向暫設向左。牽連運動豎直方向、大小和指向待求，指向暫設向上。有在x、y軸上投影，則有將數據代入求解得A即解：取桿上的A點為動點，

動系與凸輪固連。例9-12

已知：凸輪半徑R,j=60o，

。求：此時頂桿AB的加速度。絕對速度va=?,方向AB；絕對加速度aa=?,方向AB，待求。相對速度vr

=?,方向CA;

相對加速度art=?方向CA ,方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;牽連加速度ae=a0,方向→【分析】由速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。因牽連運動為平動，故有作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線上，得n整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影關系不同n例9-13

如圖所示，已知桿以等角速度轉動，；求時CD桿的速度和加速度。【解】取CD桿上的點C為動點，AB桿為動系。對動點作速度分析和加速度分析，如圖所示。CDAB則故又有故：即：CDAB圖示一往復式送料機，曲柄OA長l，它帶動導桿BC和送料槽D作往復運動，借以運送物料。設某瞬時曲柄與鉛垂線成θ角。曲柄的角速度為ω0，角加速度為α0，方向如圖所示，試求此瞬時送料槽D的速度和加速度。DBCAOθω0α0例題9-14運動演示DBCAOθω0α0解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O′x′y′，固連于導桿BC。2.運動分析。絕對運動－以O為圓心的圓周運動。相對運動－沿導桿滑槽的鉛垂直線運動。牽連運動－導桿BC沿水平直線的平動。動點－滑塊A

。O'x'y'定系－固連于機座。例題6-11DBCAOθω0α0O'x'y'3.速度分析。絕對速度va：va=lω0，方向與OA垂直。相對速度vr：大小未知，方向沿導桿滑槽向上。牽連速度ve：所求的送料槽的速度，方向水平向右。vevaθvr應用速度合成定理求得：DBCAOθω0α0O'x'y'4.加速度分析。絕對加速度法向分量aan：aan

=lω02

，沿著AO。相對加速度ar：大小未知，方向沿O′y′

軸牽連加速度ae：大小未知，為所要求的量，

方向水平，假設向右。絕對加速度切向分量aat：aat=lα0，方向與OA垂直，指向左下方。aeaataanθarθ應用加速度合成定理投影到O′x′軸，得到于是，求得即為導桿和送料槽D的加速度aD，其中負號表示