《等式性質與不等式性質（第二課時）》教學設計教學目標1．通過梳理等式基本性質及其本質屬性，類比等式的基本性質的研究方法探索不等式的基本性質，體會類比思想及分類討論思想在解決問題中的應用，發展學生邏輯推理素養．2．運用不等式的基本性質發現并證明一些常用的不等式性質，運用不等式的性質證明一些簡單的命題，發展學生邏輯推理素養．教學重難點教學重點：不等式的基本性質，等式與不等式的共性與差異．教學難點：類比等式的性質研究不等式的基本性質，等式與不等式的共性與差異．課前準備PPT課件．教學過程一、創設情境，明確目標問題1：上節課我們知道了現實世界的大小關系包括相等關系和不等關系兩類，學會從現實問題中抽象出不等式，知道解不等式要用不等式的性質，今天我們來學習不等式的性質．因為不等式和等式一樣，都是大小關系的刻畫，所以我們可以從等式性質及其研究方法出發，通過類比研究不等式性質．首先梳理一下，等式都有哪些性質？師生活動：學生自主思考，教師通過提問，對等式性質不斷完善．在提問過程中，讓學生明白每一個性質反映出不等式的特性．學生容易回答出等式的性質3至5，對于性質1和2需要教師借助問題引導：“等式自身還有哪些特性？”預設的答案：性質1：如果a=b，那么b=a；性質2：如果a=b，b=c，那么a=c；性質3：如果a=b，那么a±c=b±c；性質4：如果a=b，那么ac=bc；性質5：如果a=b，c≠0那么．設計意圖：從上節課所學的內容出發，引入本節課，有助于學生從整體上認識本節課的內容，同時通過等式和不等式的聯系，明確不等式性質的研究是類比等式來研究的，確定研究方法．追問：觀察等式的5條基本性質，哪些性質具有共性？是什么？師生活動：學生先觀察，如果學生不能發現就由教師來講解．性質3，4，5具有共性，它們都是在等式的兩邊進行了運算，是從運算的角度提出的，性質3可以看作同一種運算，即加法運算，性質4和5可以看作是乘法運算．性質1是等式的對稱性，性質2是等式的傳遞性，是等式自身的特征．教師總結：可見，等式的基本性質有“相等關系自身的特性”和“相等關系對運算保持不變”兩種．這兩個方面反映了式大小關系的本質屬性．設計意圖：通過學生回憶、分析等式的基本性質，并對性質分類、歸納和深入分析，梳理等式的基本性質的研究角度和方法，為研究不等式的基本性質明確方向．二、合作探究，體會類比問題2：類比等式的性質，你能猜想不等式的性質嗎？寫出你的猜想．師生活動：學生獨立思考，之后展示交流．如果學生有困難，教師可以提示從不等式的“自身”和“運算”兩個視角研究不等式的基本性質．預設的答案：性質1：如果a＞b，那么b＜a；性質2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；性質3：如果a＞b，那么a+c＞b+c；性質4：如果a＞b，那么ac＞bc；性質5：如果a＞b，c≠0，那么．設計意圖：由學生自主發現研究問題的方法，用類比的方法來猜想出不等式的性質．追問1：類比得到的結論一定正確嗎？如何論證或者反駁？師生活動：教師引導學生從第一個性質開始，逐一進行分析，在對不等式性質1-3的分析中，教師引導學生從實數的大小關系的基本事實及實數的其他性質進行證明，首先將條件用實數大小關系表示出來，再利用大小關系進行證明．由于學生對代數證明比較生疏，所以教師可以示范其中之一，然后學生模仿完成．注意訂正學生在此處證明中容易出現循環論證的錯誤．實數的其他性質有：（1）兩個實數大小關系的基本事實；（2）正數大于0，也大于一切負數；負數小于0，也小于一切正數；（3）正數的相反數是負數，負數的相反數是正數；（4）兩個正數的和是正數，兩個負數的和是負數；（5）同號兩數相乘，其積為正數；異號兩數相乘，其積為負數．但是，不需要一下子提供給學生，在需要的時候指明即可．預設的答案：性質1證明：∵a＞b，∴a-b＞0，又由于正數的相反數是負數，∴-(a-b)＜0，即b-a＜0∴b＜a性質2證明：∵a＞b，b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0根據兩個正數的和還是正數，得(a-b)+(b-c)＞0，∴a-c＞0，∴a＞c．性質3證明：∵a＞b，∴a-b＞0，∴(a+c)-(b+c)=a-b＞0∴a+c＞b+c追問2：從不同角度表達不等式的性質，可以加深理解，用文字語言怎樣表達性質3？師生活動：教師引導學生先獨立思考，再進行交流．并不斷對學生的語言表述進一步規范．預設的答案：不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向．追問3：兩個實數大小關系還可以形象地在數軸上表達出來，你能從幾何意義的角度對這個性質進行解釋嗎？師生活動：教師展示課件，把數軸上的兩個點A與B同時沿相同方向移動相等的距離，得到另外兩個點A1和B1，A與B和A1與B1的左右位置不變，學生直觀感受不等式的幾何意義，并體會向左或向右移動時，對應的實數c的正負．設計意圖：為了幫助學生理解和掌握不等式的本質，用文字語言、圖形語言等多種形式來表達重點的不等式的性質，有助于對問題的深入理解．追問4：在等式中，如果a+b=c，那么a=c-b，你會利用性質3得到不等式中的移項的結論嗎？設計意圖：從等式的角度出發，提出問題，學生可以類比得到不等式中的移項結論，同時也是性質3的一個簡單應用．進一步提高學生數學思維的邏輯性．師生活動：學生類比得到結論：如果a+b＞c，那么a＞c-b，教師引導學生從性質3出發來證明這個結論，并從文字語言角度進行表述．問題3：上述的性質4和5正確嗎？為什么？如果不正確，應該怎樣修正？師生活動：學生發現兩個結論不正確，并通過舉例進行反駁．教師引導學生思考，需要加上什么條件，才能使結論正確，并利用作差比較來分析，發現ac-bc=(a-b)c，由于a-b＞0，所以(a-b)c的正負由c的正負決定，從而需要分析討論．得到性質4的準確表述：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．追問1：用文字語言怎樣表述此性質？師生活動：先由學生表述：“不等式兩邊同乘一個正數，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個負數，所得不等式與原不等式反向”．教師總結此性質反映了“不等式在乘法運算中的規律性”．同時教師強調可以把“乘法”“除法”合并為“乘法”，高中數學對運算的認識更趨于一般性，乘法是基本運算，此性質仍為基本性質．設計意圖：讓學生體會類比得到的結論不一定正確，并進行修正和證明，一方面讓學生經歷類比的探究過程，了解類比得到的猜想不一定正確，并學會用舉反例的辦法進行反駁；另一方面使學生體會數學證明的邏輯性和嚴謹性，感受到“猜想需要證明，證明要有依據”．問題4：上面通過類比，從不等式的“自身”和“運算”兩個視角，得到了不等式的四條基本性質．不等式與等式基本性質的共性與差異有哪些？師生活動：引導學生從共性和不同兩個方面去總結．兩者都具有“自身特性”和“運算中的不變性、規律性”．教師強調由于不等號具有方向性，所以“自反性”和“兩邊同乘負數時，不等號變號”是不等式表現出的特性．設計意圖：通過總結兩者共性和差異，進一步明確加深對不等式性質的理解，尤其是性質4的理解．問題5：利用不等式的基本性質，你還能得到哪些不等式性質？比如在性質3中，不等式的兩邊同加同一個實數．如果兩邊同加不同的實數，即不等式的兩邊分別加上不相等的兩個數，能得到什么不等關系？試試用不等式的性質證明你的猜想．師生活動：學生猜想“大數加大數，大于小數加小數”，教師引導學生將其用數學符號表示，即“如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d”．然后讓學生獨立證明，小組交流證明過程，說出每一步的依據．預設的答案：證明：∵a＞b，c＞d，∴a-b＞0，c-d＞0．∴(a-b)+(c-d)＞0，即(a+c)-(b+d)＞0．∴a+c＞b+d．設計意圖：利用不等式的基本性質，推出其他常用的不等式性質，為以后的推理作準備．追問1：你能用不等式性質證明嗎？師生活動：教師引導學生從性質2和3出發，思考如何尋找一個實數，利用性質2將a+c和b+d聯結，聯想到實數b+c．要求學生寫出證明過程．教師總結這種方法是不等式性質的應用，它的證明為為綜合運用不等式的基本性質證明不等關系提供了范例．同時強調這個結論是今后進行邏輯推理的一個重要的理論基礎，總結為性質5．預設答案：證明：由性質3，得a+c＞b+c，c+b＞d+b；由性質2，得a+c＞b+d．問題6：在基本性質4中，不等式的兩邊同乘同一個實數．如果同乘不同的實數，能得到什么結論？預設方案：學生猜想“大數乘大數，大于小數乘小數”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．追問1：你認為上述結論是否正確？為什么？如何修正？師生活動：先由學生回答，教師引導學生回到不等式基本性質4中來分析，或者學生可以舉反例來說明．在修正時，引導學生與性質4進行對比，發現對于正數乘法是具有“保號性”的．師生共同修改為“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”，由學生課后進行證明．教師指出此為不等式性質6．追問2：如果性質6中a=c，b=d，能得到什么結論？師生活動：學生可以得出“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，并能推廣到“如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）”．教師指出這是不等式的性質7，它是性質6的特例．教師指出以“不等式在運算中的不變性、規律性”為研究抓手，還能推導出很多不等關系，鼓勵同學們多發現、提出和證明一些結論．設計意圖：讓學生經歷“猜想—證明—修正—再證明—得出性質—理解”的研究數學問題的過程，加深學生對類比學習的理解；在探究過程中讓學生充分認識到“運算中的不變性、規律性”在研究不等式性質中的作用，加深學生對不等式性質的認識，從而發展學生邏輯推理的核心素養．三、知識應用，加深理解例1：已知a＞b＞0，c＜0，求證：．師生活動：師生共同分析問題中的條件和結論，發現條件和結論之間的聯系不太明顯，因此先從結論出發，尋求使式子成立的條件，并和已知條件相結合尋找思路．在分析問題后，要求學生自主寫出證明過程，并展示學生作答情況，對不規范的地方給予糾正．預設的答案：證明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，，于是，即．又由c＜0，得．設計意圖：本題是不等式基本性質的應用，體現“分析法”尋找證明思路和“綜合法”的表達方式，隱含了“夾逼法”，即分別從已知和結論兩個方向進行化簡，找到化簡之后的式子的聯系，從而證明．有助于提高學生分析解決問題的能力，提升學生的數學應用意識．四、課堂小結，布置作業問題8：本節課我們重點學習了不等式的基本性質和不等式的常用性質，你是怎樣研究不等式的基本性質的？在探究不等式性質時經歷什么過程？預設方案：學生能回答，先梳理等式的基本性質及蘊含的思想方法，從不等式的自身性質和運算的角度猜想并證明不等式的基本性質，由不等式的基本性質推理不等式的一些常用性質．經歷的過程：經歷“前備經驗—歸納特點—類比猜想—推理證明（修正）—理解表達—探究個性—應用反思”的過程．設計意圖：從知識和思想方法的角度進行課堂小結，有助于學生在學會知識的同時，又學會思想方法，這樣可將知識與思想方法共同納入到認知結構中．作業：習題2．1第5，7，8，11，12題五、目標檢測設計1．用不等號“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a-