直線與平面垂直的性質(zhì)一、知識梳理1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線______。2.直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上__________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。3.兩個平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)__________到另一個平面的距離相等，把它叫做兩個平行平面間的距離。二、重要題型知識點一：直線與平面垂直的性質(zhì)1.已知m,n表示兩條不同的直線,α表示平面.下列說法正確的是()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m⊥α,n?α,則m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥α,m⊥n,則n⊥α2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.知識點二：平行、垂直關(guān)系的綜合問題3．給出下列命題：①a⊥α，b?α?a⊥b；②a⊥α，a∥b?b⊥α；③a⊥α，b∥α?a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b?α，c?α?a⊥α；⑤a∥α，a⊥b?b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a?b∥α.其中真命題的個數(shù)是()A．3B．4C．5D．64.如圖，在三棱錐A-BCD中，點E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點，AB=AD，AE⊥BC.求證：(1)EF∥平面ACD.(2)AE⊥CD.三、鞏固練習1．在△ABC所在的平面α外有一點P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心2．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l3.（多選題）如圖,直線PA垂直于圓O所在的平面,△ABC內(nèi)接于圓O,且AB為圓O的直徑,點M為線段PB的中點.以下結(jié)論成立的是()⊥PC⊥平面ABCC.點B到平面PAC的距離等于線段BC的長D.三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半4.（多選題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個動點,則下列結(jié)論中正確的是()⊥BE∥平面ABCDC.三棱錐E-ABC的體積為定值⊥BC15．邊長為a的正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，將△AED，△BEF和△DCF分別沿DE，EF和DF折起使A，B，C重合于一點A′，則三棱錐A′－EFD的體積為________．6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,則四個側(cè)面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中,有個直角三角形.

7．(一題兩空)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________，直線PC與平面ABC所成的角為________．8.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F分別是SD,SC的中點.求證:(1)BC⊥平面SAB;(2)EF⊥SD.9.已知四棱錐P-ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝eq\r(2)，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直線CD與平面PAB所成角的大小為eq\f(π,4)，M是線段AB的中點．(1)求證：CD⊥平面PDM；(2)求點M到平面PCD的距離．（2）直線與平面垂直的性質(zhì)答案一、知識梳理1.平行.2.任意一點.3.任意一點二、重要題型.A中,兩條直線也可以相交或異面,故A錯誤;B中,描述的是線面垂直的性質(zhì),故B正確;C中,還會出現(xiàn)n?α的情況,故C錯誤;D中,還會出現(xiàn)n∥α,n與α相交或n在α內(nèi)的情況,故D錯誤.2.證明：因為AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.因為a⊥α，所以a垂直于平面α內(nèi)的任意直線，所以①正確．若兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，則另一條直線也與這個平面垂直，所以②正確．由線面垂直，線線、線面平行的性質(zhì)知，若a⊥α，b∥α，則a⊥b，所以③正確．由線面垂直的判定定理可知，④不正確．當a∥α，a⊥b時，b可能與α平行、垂直、斜交或b在α內(nèi)，所以⑤不正確．當a⊥α，b⊥a時，b可能與α平行，b也可能在α內(nèi)，故⑥不正確．4.證明：(1)因為點E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點，所以EF∥CD，又因EF?平面ACD，CD?平面ACD，從而EF∥平面ACD.(2)因為點E是BD的中點，且AB=AD，所以AE⊥BD，又因為AE⊥BC，BC?平面BCD，BD?平面BCD，BC∩BD=B，故AE⊥平面BCD，因為CD?平面BCD，所以AE⊥CD.三、鞏固練習設(shè)P在平面α內(nèi)的射影為O，易證△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO.由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D..因為PA⊥圓O所在的平面,BC?圓O所在的平面,所以PA⊥BC,而BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而PC?平面PAC,所以BC⊥PC,故A正確;因為點M為線段PB的中點,點O為線段AB的中點,所以O(shè)M∥PA,所以O(shè)M⊥平面ABC,故B正確;因為BC⊥平面PAC,所以點B到平面PAC的距離等于線段BC的長,故C正確;三棱錐M-PAC和三棱錐P-ABC均可以平面PAC為底面,此時M到底面的距離是B到底面距離的一半,故三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半,故D正確..對于A.因為在正方體中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BB1D1D.因為BE?平面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正確.對于B.因為B1D1∥平面ABCD,所以B1E∥平面ABCD成立,即B正確.對于C.三棱錐E-ABC的底面△ABC的面積為定值,錐體的高BB1為定值,所以錐體體積為定值,即C正確.對于D.因為D1C1⊥BC1,所以B1E⊥BC1錯誤.\f(a3,24)以等腰直角三角形A′EF為底，DA′為高，易求三棱錐的體積．因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,所以△PAB,△PAD為直角三角形,因為BC⊥PA,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC為直角三角形,同理,△PDC為直角三角形,所以四個側(cè)面三角形均為直角三角形.\r(2)eq\f(π,4)作PD，PE分別垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC．連接CO，OD，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，∴CD⊥平面PDO，OD?平面PDO，∴CD⊥OD．∵PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2，∴sin∠PCE＝sin∠PCD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠PCB＝∠PCA＝60°.∴PO⊥CO，CO為∠ACB平分線，∴∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝1，OC＝eq\r(2).又PC＝2，∴PO＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴sin∠PCO＝eq\f(\r(2),2)，∴∠PCO＝eq\f(π,4).8.證明：(1)因為四棱錐S-ABCD的底面是矩形,所以AB⊥BC.因為SA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以SA⊥BC.又因為SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.(2)因為SA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以CD⊥SA.又因為CD⊥AD,SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD.因為E,F分別是SD,SC的中點,所以EF∥CD,所以EF⊥平面SAD.又因為SD?平面SAD,所以EF⊥SD.9.解：(1)證明：∵AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，∴AD⊥PM.∵PA＝PB＝eq\r(2)，M是線段AB的中點，∴PM⊥AB，又AD∩AB＝A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，∴PM⊥CD．取CB上點E，使得CE＝eq\f(1,3)CB，連接AE，∴AD∥CE且AD＝CE，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴CD∥AE，∴直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小，又AD⊥平面PAB，BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB為直線AE與平面PAB所成的角，∴∠EAB＝eq\f(π,4)，∴BE＝AB．∵PA＝PB＝eq\r(2)，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2eq\r(2)，∴DM＝eq\r(2)，CM＝eq\r(10)，∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.∵