（一）算符定義（二）算符的一般特性§1算符的運算規(guī)則

第三章力學量的算符贛南師范學院物理系由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子不同，它需要用波函數(shù)來描寫。量子力學中微觀粒子力學量（如坐標、動量、角動量、能量等）的性質(zhì)也不同與經(jīng)典粒子的力學量。經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學量都有確定值，微觀粒子由于波粒二象性，坐標和動量不能同時有確定值。這種差別的存在使得我們不得不用和經(jīng)典力學不同的方式，即用算符的形式來表示粒子的力學量。代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號

?u=v表示

?

把函數(shù)u

變成

v，?就是這種變換的算符。

1）du/dx=v，

d/dx

就是算符，其作用是對函數(shù)u微商，故稱為微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它對u作用是使u變成v。

由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：

（一）算符定義（7）逆算符

（8）算符函數(shù)

（9）復共軛算符

（10）轉(zhuǎn)置算符

（11）厄密共軛算符

（12）厄密算符

（1）線性算符

（2）算符相等

（3）算符之和

（4）算符之積

（5）對易關系

（6）對易括號

（二）算符的一般特性（1）線性算符

?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2

其中c1,c2是任意復常數(shù)，ψ1,ψ2是任意兩個波函數(shù)。

滿足如下運算規(guī)律的算符?稱為線性算符

例如：開方算符、取復共軛算符就不是線性算符。注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。（2）算符相等

若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ的運算結果都相同，即?ψ=

?ψ，則算符?和算符?相等記為?=?。（3）算符之和若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ

則?+?=ê

稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。?－?=?+（－?）。很易證明線性算符之和仍為線性算符。（4）算符之積

若?(?ψ)=(??)ψ=êψ

則??=ê，其中ψ是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運算規(guī)則的唯一不同之處。（5）對易關系若??≠??，則稱?與?不對易。顯然二者結果不相等，所以:

對易關系但是坐標算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互對易。量子力學中最基本的對易關系。寫成通式:注意：當?與?對易，?與ê對易，不能推知?與ê對易與否。例如：若算符滿足

??=－??，則稱?和?

反對易。（6）對易括號

為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經(jīng)典力學的關系，人們定義了對易括號：

[?,?]≡??－??這樣一來，坐標和動量的對易關系可改寫成如下形式：

不難證明對易括號滿足如下對易關系：1)[?,?]=－[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

同樣可以定義反對易括號：

[?,?]＋＝??＋??

（7）逆算符

1.定義:設?ψ=φ,能夠唯一的解出ψ,則可定義算符?之逆?-1

為:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.

2.性質(zhì)I:若算符?之逆?-1存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因為ψ是任意函數(shù),所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質(zhì)II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1

課堂練習：證明性質(zhì)II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1

??-1=?

?-1

=I

I＝??

?-1?-1I＝（??

）?-1?-1(??)-1=?-1?-1證明：例如:設給定一函數(shù)F(x),其各階導數(shù)均存在,其冪級數(shù)展開收斂

則可定義算符?的函數(shù)F(?)為:

（8）算符函數(shù)（9）復共軛算符算符?的復共軛算符?*就是把?表達式中的所有量換成復共軛.例如:坐標表象中

（10）轉(zhuǎn)置算符利用波函數(shù)標準條件:當|x|→∞時ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函數(shù),所以同理可證:(11)厄密共軛算符

由此可得：:轉(zhuǎn)置算符的定義

厄密共軛算符亦可寫成：

算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:

(??)+=?+?+

(???...)+=...?+?+?+

(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性