第8章

最小二乘法與組合測量作者：劉兆平部門：機電設備系主菜單結束8-1教學目標最小二乘法是一種在數據處理和誤差估計等多學科領域得到廣泛應用的數學工具。隨著現代數學和計算機技術的發展，最小二乘法成為參數估計、數據處理、回歸分析和經驗公式擬合中必不可少的手段，并已形成統計推斷的一種準則。通過本章的學習，用戶可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在組合測量問題的數據處理中的應用

。

主菜單結束2教學重點和難點最小二乘法原理線性參數的最小二乘法非線性參數的最小二乘法組合測量主菜單結束3第一節最小二乘法原理最小二乘法的產生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。

對某量進行測量，得到一組數據,不存在系統誤差和粗大誤差，相互獨立，且服從正態分布,其標準差為

測得值落入的概率

主菜單結束4測得值

同時出現的概率為

最可信賴值滿足

權因子

最小二乘法原理

雖然是在正態分布下導出最小二乘法，實際上，按誤差或殘差平方和為最小進行統計推斷已形成一種準則。主菜單結束5第二節

線性參數的最小二乘法主菜單結束8-6組合測量基本概念如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量

測得值待解的數學模型

待求量為了獲得更可靠的結果，測量次數總要多于未知參數的數目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數關系中，確定出各被測量的最佳估計值。

主菜單結束7一、正規方程組主菜單結束8-8線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為

測量殘差方程組

含有隨機誤差矩陣形式主菜單結束9最小二乘法原理式

求導正規方程組

正規方程組解

不等權正規方程組

主菜單結束10三、標準差的估計

1、直接測量結果的標準差估計

（加權）未知量個數方程個數殘差2、待求量的標準差估計

直接測量量的標準差對角元素誤差傳播系數

3、待求量與的相關系數

元素主菜單結束11【例8-１】為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進行了等權、獨立、無系統誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯電容值，2號和3號并聯電容值。試用最小二乘法求及其標準偏差。

【解】列出測量殘差方程組

矩陣形式主菜單結束12正規方程組

主菜單結束13正規方程組解

即主菜單結束14標準差的計算代入殘差方程組，計算

主菜單結束15第三節非線性參數的最小二乘法測量殘差方程組

非線性函數取的初始似值

泰勒展開按線性參數最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止主菜單結束16【例8-2】在例8-1的基礎上，再增加一次測量串聯電容，測得。試用最小二乘法求及其標準偏差。

【解】列出非線性測量方程組

主菜單結束17

對前４個線性測量方程組，按例8-1求出解，作為初次近似解

在附近，取泰勒展開的一階近似

主菜單結束8-18寫出線性化殘差方程組

整理得正規方程組

解出

迭代主菜單結束8-196次迭代結果

表8-2迭代次數00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.267主菜單結束20第四節

組合測量問題應用舉例主菜單結束8-21【例8-3】

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標準偏差。

主菜單結束22計算步驟【解】