《函數的基本性質（第一課時）》教學設計教學目標1．能在用自然語言、圖象語言描述函數單調性的基礎上，用符號語言刻畫函數的單調性，提升直觀想象素養和數學抽象素養．2．對簡單函數，能根據解析式求出函數的單調區間；能根據單調性的定義證明簡單函數的單調性；提升數學邏輯推理素養．能將函數單調性的證明轉化為程序化的運算問題，提升數學運算素養．3．體會函數圖象是研究函數性質的一種重要工具，能從函數的圖象中發現函數的性質，并在這個過程中能進行直觀與抽象的轉化．教學重難點教學重點：函數單調性的概念、判斷及證明．教學難點：“函數值隨自變量的增大而增大（減小）”轉化為符號化的不等式語言．課前準備用軟件制作動畫；PPT課件．教學過程整體概覽問題1：閱讀課本第76頁節引言的內容，回答下列問題：（1）為什么要研究函數的性質？（2）什么叫函數的性質？（3）函數的性質主要有哪些？（4）如何發現函數的性質？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，老師指導學生概括節引言的內容．預設的答案：（1）通過研究函數的變化規律來把握客觀世界中事物的變化規律；（2）變化中的不變性就是性質，變化中的規律性也是性質；（3）比如隨著自變量的增大函數值是增大還是減小，有沒有最大值或最小值，函數圖象的對稱性等；（4）先畫出函數圖象，通過觀察和分析圖象的特征，可以發現函數的一些性質．設計意圖：明確研究對象，初步構建研究框架．二、問題導入問題2：觀察圖1、圖2、圖3中的函數圖象，你能說說圖1與圖2（或圖3）的區別嗎？圖圖1圖2圖3師生活動：學生讀圖并比較，指出圖1的圖象是一直上升，而圖2，3有升有降．老師指出：在敘述函數圖象特征時要按照一定的標準，即應沿x軸正方向，從左向右觀察圖象的變化趨勢．預設的答案：圖1的特點是：從左至右始終保持上升；圖2與圖3的特點是：從左至右有升也有降．設計意圖：直接引出課題，形成對單調性的直觀感受．引語：當下很重要，趨勢更重要．這節課我們就來一起學習反映函數變化趨勢的性質—函數的單調性．（板書：函數的單調性）三、新知探究1．定性刻畫函數的單調性問題3：你能用函數的觀點敘述圖象從左至右上升（下降）嗎？師生活動：學生根據初中學習經驗和對圖象的觀察分析，能描述“y隨著x的增大而增大（減小）”．老師在“如何觀察”上加強啟發和引導．比如：“從左到右”其實就是自變量x不斷增大，“上升（下降）”就是函數值y不斷增大（減小）．預設的答案：用函數的觀點看，就是函數值隨著自變量的增大而增大（減小）．教師點撥：函數值隨著自變量的增大而增大（減小）的性質叫做函數的單調性．設計意圖：將圖形語言轉化為函數語言，為后續定量刻畫做準備．2．定量刻畫函數的單調性問題4：如何用符號語言準確刻畫函數值隨自變量的增大而增大（減小）呢？師生活動：這是一個高度抽象的問題，學生可能一下子無從下手，老師要為學生搭好思維的“腳手架”，從具體問題入手，一步步解決抽象問題．追問1：你能說說函數f(x)＝x2的單調性嗎？（畫出它的圖象，如圖4，由圖可知：當圖4x＜0時，y隨著x的增大而減小，就說f(x)＝x2在區間(－∞，0]上是單調遞減的；當x＞0時，y隨著x的增大而增大，就說f(x)＝x2在區間[0，＋∞)圖4追問2：如何用數量關系精確刻畫“在區間[0，＋∞)上，f(x)＝x2的函數值隨自變量的增大而增大”？（借助軟件，在y軸右側任意改變A，B的位置，只要點A的橫坐標大于點B的橫坐標，就會有點A的縱坐標大于點B的縱坐標．將圖象上的規律用函數的解析式表示出來，就可以得到函數f(x)＝x2在區間[0，＋∞)上滿足：若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＜f(x2)．）追問3：雖然上述改變A，B的位置是隨意的，但我們不能窮舉所有的點，為了確保結論f(x1)＜f(x2)的正確性，你能嘗試著給出它的證明嗎？（?x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根據不等式的性質7就可以得到f(x1)＜f(x2)．）追問4：你能類似地描述f(x)＝x2在區間(－∞，0]上是減函數并證明嗎？（若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＞f(x2)．證明：?x1，x2∈(－∞，0]且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根據不等式的性質4和性質7就可以得到f(x1)＞f(x2)．）追問5：函數f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎樣的單調性？（f(x)＝|x|在區間(－∞，0]上單調遞減，在區間[0，＋∞)上單調遞增；f(x)＝－x2在區間(－∞，0]上單調遞增，在區間[0，＋∞)上是單調遞減．）預設的答案：如果?x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增（如圖5）．如果?x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減（如圖6）．圖圖5圖6教師點撥：如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．當函數f(x)在它的定義域上單調遞增（減）時，我們稱它為增（減）函數．設計意圖：在實例感知的基礎上，借助函數圖象，抽象出單調性的概念．從特殊到一般，從具體到抽象，從圖象到符號，提升學生的直觀想象和數學抽象核心素養．3．辨析概念問題5：（1）設A是區間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，我們能說函數f(x)在區間D上單調遞增嗎？你能舉例說明嗎？（2）函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎？師生活動：學生先獨立思考舉例，之后展示交流，老師指導總結．預設的答案：（1）不能，比如函數f(x)＝x2，當A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]時，符合?x1，x2∈A，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，但f(x)在區間D上不是單調遞增的．（2）f(x)＝x在整個定義域上單調遞增；f(x)＝(x－1)2在區間(－∞，1]上單調遞減，在區間[1，＋∞)上單調遞增．設計意圖：問題（1）加深單調性的概念中關鍵詞“?x1，x2∈D”的理解．問題（2）幫助學生理解單調性是函數的一種“局部性質”，完善對單調性概念的理解．4．單調性的簡單應用例1根據定義，研究函數f(x)＝kx＋b(k≠0)的單調性．師生活動：學生結合初中的學習經驗，可以利用函數圖象得到該函數的單調性．老師引導學生尋找求解的依據——定義，根據定義將問題轉化為考察當x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)還是f(x1)＞f(x2)．進一步只需考察f(x1)－f(x2)與0的大小關系．預設的答案：解：函數f(x)＝kx＋b(k≠0)的定義域是R．?x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(kx＋b)－(kx＋b)＝k(x1－x2)．由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以①當k＞0時，k(x1－x2)＜0．于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．這時，f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函數．②當k＜0時，k(x1－x2)＞0．于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．這時，f(x)＝kx＋b(k≠0)是減函數．設計意圖：明確單調性的判定可以由函數圖象獲得，但是證明必須借助定義完成．掌握應用定義證明單調性的程序，進一步加深對概念的認識，在證明過程中提升學生的邏輯推理素養和數學運算素養．例2物理學中得玻意耳定律p＝eq\f(k,V)（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大．試對此用函數的單調性證明．師生活動：學生先將物理問題轉化為數學問題，即證明函數p＝eq\f(k,V)（k為正常數）在區間(0，＋∞)上單調遞減．預設的答案：證明：任取V1，V2∈(0，＋∞)，且V1＜V2，則p1－p2＝eq\f(k,V1)－eq\f(k,V2)＝eq\f(k(V2－V1),V1V2)，由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2＞0，由V1＜V2，得V2－V1＞0，又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，所以函數p＝eq\f(k,V)（k為正常數）在區間(0，＋∞)上單調遞減．也就是說，當體積V減小時，壓強p將增大．追問：你能總結用定義證明函數f(x)在區間D上的單調性的步驟嗎？（第一步：在區間D上任取兩個自變量的值x1，x2∈D，并規定x1＜x2，簡記為“設元”；第二步：計算f(x1)－f(x2)，將f(x1)－f(x2)分解為若干可以直接確定符號的式子，簡記為“作差、變形”；第三步：確定f(x1)－f(x2)的符號．若f(x1)－f(x2)＜0，則函數在區間D上單調遞增；若f(x1)－f(x2)＞0，則函數在區間D上單調遞減．簡記為“斷號、定論”．）設計意圖：體會函數模型可以用來刻畫現實世界中的現象，從而借助函數性質就可以把握事物的變化規律．通過證明進一步熟悉使用定義證明單調性的程序，并通過追問讓學生總結出證明單調性的基本步驟，提升學生的數學抽象素養．例3根據定義證明函數y＝x＋eq\f(1,x)在區間(1，＋∞)上的單調遞增．師生活動：學生根據例1、例2的經驗獨立完成，然后展示交流，老師針對書寫規范、變形技巧做重點的糾正和講解．預設的答案：證明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，有y1－y2＝(x1＋eq\f(1,x1))－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)－eq\f(x1－x2,x1x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(1,x1x2))＝(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1＞1，x2＞1，所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))＜0，即y1＜y2．所以，函數y＝x＋eq\f(1,x)在區間(1，＋∞)上的單調遞增．追問：你能用單調性定義探究y＝x＋eq\f(1,x)在整個定義域內的單調性嗎？（y＝x＋eq\f(1,x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．當x1，x2∈(0，＋∞)時，在y1－y2＝(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))中，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以當x1，x2∈(0，1)時，x1x2－1＜0，則y1－y2＞0，即y1＞y2，所以y＝x＋eq\f(1,x)在區間(0，1)上單調遞減．同理可得，函數y＝x＋eq\f(1,x)在區間(－∞，－1)上單調遞增，在區間(－1，0)上單調遞減．）設計意圖：通過例3掌握用定義證明單調性的步驟，培養學生數學表達的嚴謹性和書寫過程的規范性．通過追問體會除了可以用定義法證明單調性外還可以用定義去探索單調區間，感受定義的力量．四、歸納小結，布置作業問題6：回憶本節課的內容，請你回答以下幾個問題：（1）什么是函數的單調性？用定義證明單調性的步驟是怎樣的？（2）你能總結研究單調性的過程和方法嗎？師生活動：學生敘述單調遞增、單調遞減、增函數、減函數等概念．交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．預設的答案：（1）略．（2）先畫函數圖象并觀察圖象上點的坐標變化趨勢，得到單調性定性的敘述；再用數學符號準確表示，得到單調性的定量刻畫；最后應用概念作判定與證明，在應用中掌握概念的本質．設計意圖：通過梳理本節課的內容，不僅讓學生明確本節課的內容，還能讓學生對研究函數性質有初步的方法論認識．作業布置：教科書習題第1，2，3，6，8，9題．五、目標檢測設計1．請根據右圖描繪某裝配線的生產效率與生產線上工人數量間的關系．設計意圖：考查單調性的定義．2．根據定義證明函數f(x)＝3x＋2是增函數．設計意圖：考查增函數的定義．3．證明函數f(x)＝－eq\f(2,x)在區間(－∞，0)上單調遞增．設計意圖：考查用定義證明單調性．4．畫出反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象．（1）這個函數的定義域I是什么？（2）它在定義域I上的單調性是怎樣的？證明你的結論．設計意圖：考查單調性的判定與證明．參考答案：1．在一定范圍內，生產效率隨著工人數的增加而提高，當工人數達到某個數量時，生產效率達到最大值，而超過這個數量時，生產效率又隨著工人數的增加而降低．2．任取x1，x2∈R，當x1＜x2時，因為f(x1)－f(x2)＝3(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)＝3x＋2在R上是增函數．3．任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)，因為x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數f(x)＝－eq\f(2,x)在區間(－∞，0)上單調遞增．4．圖象略．（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)．（2）當k＞0時，y＝eq\f(k,x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調遞減；當k＜0時，y＝eq\f(k,x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調遞增．證明如下：當k＞0時，任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則f(x1)－f(