第5章假設(shè)檢驗本章教學(xué)目標了解和掌握統(tǒng)計推斷中的另一個基本問題：參假設(shè)檢驗及其在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用；掌握運用Excel的“數(shù)據(jù)分析”及其統(tǒng)計函數(shù)功能求解假設(shè)檢驗問題。

1本章主要內(nèi)容§5.1案例介紹§5.2假設(shè)檢驗的基本原理§5.3單個正態(tài)總體均值的檢驗§5.4單個正態(tài)總體方差的檢驗§5.5兩個獨立正態(tài)總體均值的檢驗§5.6成對樣本試驗的均值檢驗§5.7兩個正態(tài)總體方差的檢驗§5.5總體比例的檢驗本章重點：假設(shè)檢驗中不可避免的兩類錯誤及其應(yīng)用

Excel“數(shù)據(jù)分析”功能的使用及其運行輸出結(jié)果分析。難點：假設(shè)檢驗中不可避免的兩類錯誤及其應(yīng)用。

2§5.1案例介紹【案例1】新工藝是否有效？某廠生產(chǎn)的一種鋼絲的平均抗拉強度為10560(kg/cm2)。現(xiàn)采用新工藝生產(chǎn)了一種新鋼絲，隨機抽取10根，測得抗拉強度為：

10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670求得新鋼絲的平均抗拉強度為10631.4(kg/cm2)。是否就可以作出新鋼絲的平均抗拉強度高于原鋼絲，即新工藝有效的結(jié)論?

3某臺加工缸套外徑的機床，正常狀態(tài)下所加工缸套外徑的標準差應(yīng)不超過0.02mm。檢驗人員從加工的缸套中隨機抽取9個，測得外徑的樣本標準差為S=0.03mm。問：該機床的加工精度是否符合要求?【案例2】機床加工精度是否符合要求?4新車的平均首次故障里程數(shù)是汽車的一個主要可靠性指標。現(xiàn)測得甲、乙兩種品牌轎車的首次故障里程數(shù)數(shù)據(jù)如下：甲品牌X1：1200,1400,1580,1700,1900乙品牌X2：1100,1300,1800,1800,2000,2400

其中【案例3】兩種轎車的質(zhì)量有無差異？問：能否據(jù)此判定乙品牌轎車的平均首次故障里程高于甲品牌?

=1733=1556,5為分析甲、乙兩種安眠藥的效果，某醫(yī)院將20個失眠病人分成兩組，每組10人，兩組病人分別服用甲、乙兩種安眠藥作對比試驗。試驗結(jié)果如下：兩種安眠藥延長睡眠時間對比試驗(小時)(1)哪種安眠藥的療效好？(2)如果將試驗方法改為對同一組10個病人，每人分別服用甲、乙兩種安眠藥作對比試驗，試驗結(jié)果仍如上表，此時結(jié)論如何？

【案例4】哪種安眠藥的療效好？6【案例5】某一系列電視劇是否獲得成功如果能夠證明某一系列電視劇在播出的頭13周其觀眾的收視率超過了25％，則可以斷定它獲得了成功。假定由400個家庭組成的樣本中，有112個家庭在頭13周看過了某系列電視劇。現(xiàn)在要判斷這部電視劇是否獲得了成功。7【案例6】女企業(yè)家對成功的理解是否不同對女企業(yè)家進行了一項研究來看她們對成功的理解。給她們提供了幾個備選答案，如快樂/自我實現(xiàn)，銷售/利潤，成就/挑戰(zhàn)。根據(jù)她們業(yè)務(wù)的總銷售額將其分為幾組。銷售額在10萬~50萬元的在一組，少于10萬元的在另一組。要研究的問題是：把銷售/利潤作為成功定義的比率，前一組是否高于后一組？8§5.2假設(shè)檢驗的原理一、實際推斷原理假設(shè)檢驗的理論是小概率原理，又稱為實際推斷原理，其具體內(nèi)容是：小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的。二、假設(shè)檢驗推理的思想方法假設(shè)檢驗推理的思想方法是某種帶有概率性質(zhì)的反證法。9三、基本原理和步驟例1：統(tǒng)計資料表明，某電子元件的壽命X～N(0,

2)，其中0已知，

2未知。現(xiàn)采用了新工藝生產(chǎn)，測得新工藝生產(chǎn)的n個元件壽命為x1,x2,···,xn。問：新工藝生產(chǎn)的元件期望壽命是否比原工藝的元件期望壽命0有顯著提高?此問題要推斷的是：是否>0?這可用假設(shè)檢驗的方法解決，步驟如下：

.§5.2假設(shè)檢驗的原理101.提出一個希望推翻的假設(shè),本例中

H0：

=02.按希望出現(xiàn)的結(jié)果提出一個與原假設(shè)對立的假設(shè)，稱為備擇假設(shè)，記為H1。

本例中

H1：

>03.構(gòu)造一個能用來檢驗原假設(shè)H0的統(tǒng)計量～t(n-1)

本例中，要檢驗的是總體均值，當H0為真時，估計,故應(yīng)使用來構(gòu)造檢驗

的統(tǒng)計量。統(tǒng)計量稱為原假設(shè),記為H0114.給定一個小概率，稱為顯著性水平顯著性水平

是當H0為真時，拒絕H0的概率(即犯“棄真”錯誤的概率)。也即當檢驗結(jié)果拒絕H0時，不犯錯誤的概率為1-，從而可以有1-

的可信度接受備擇假設(shè)H1。5.確定要拒絕H0時統(tǒng)計量的取值范圍，稱為拒絕域，拒絕域的邊界點稱為臨界值。本例中，由于H1：>0而當H0為真時，有

P{t≤t(n-1)

}=1-可知當統(tǒng)計量t>t(n-1)時，就可以有1-

的把握判定H0不真

(犯錯誤的概率僅為

)，故此時應(yīng)拒絕H0。從而拒絕域為t>t(n-1)，臨界值為t(n-1)。

(右邊檢驗)，126.計算統(tǒng)計量t

的值，

t(n-1)0f(x)x右邊檢驗的拒絕域本例中，若計算結(jié)果為t>t(n-1)，并作出檢驗結(jié)論則拒絕H0，接受H1，即在水平

下，認為

顯著高于0。若t<t(n-1)，就不能拒絕H0，即認為并不顯著高于0。當拒絕H0時，說明在給定的水平

下，和0間存在顯著差異。這就是稱

為顯著性水平的原因。

13設(shè)t

為檢驗原假設(shè)H0所用的統(tǒng)計量，t(n-1)為檢驗的臨界值，由顯著性水平

的定義(右邊檢驗)

P{t>t(n-1)|H0為真}=可知檢驗中可能出現(xiàn)以下兩類判斷錯誤：二.檢驗中可能犯的兩類錯誤第一類錯誤——當H0為真時拒絕H0的錯誤，即“棄真”錯誤，犯此類錯誤的概率為。第二類錯誤——當H0不真時接受H0的錯誤，即“取偽”錯誤，記犯該類錯誤的概率為，即P｛t≤t(n-1)｜H0不真｝=由于H0不真時與H0為真時，統(tǒng)計量t的分布是不同的，故β≠1-。

14H0:無辜法官判決假設(shè)檢驗實際情況實際情況判決無辜有罪決策H0真H0假無辜CorrectError沒有拒絕H01-aTypeIIError(b)有罪ErrorCorrect拒絕H0TypeIError(a)Power(1-b)ResultPossibilities結(jié)果的各種可能性RelationshipBetweena&ba&b

間的聯(lián)系ab兩個錯誤有反向的關(guān)系兩類錯誤的關(guān)系由圖可知，減少會增大，反之也然。在樣本容量n不變時，不可能同時減小犯兩類錯誤的概率。應(yīng)著重控制犯哪類錯誤的概率，這應(yīng)由問題的實際背景決定。當?shù)谝活愬e誤造成的損失大時，就應(yīng)控制犯第一類錯誤的概率

(通常取0.05，0.01等)；反之，當?shù)诙愬e誤造成的損失大時，就應(yīng)控制犯第二類錯誤的概率。要同時減小須犯兩類錯誤的概率，必須增大樣本容量n。

x0H0：μ=μ0t(n-1)H1：μ=μ1β17～t(n-1)

/2/2t/2(n-1)-

t/2(n-1)0f(x)x1-§5.3單個總體均值的檢驗

設(shè)X～N(

,

2)，

2未知，X1,X2,···,Xn

為總體X的樣本，給定水平，原假設(shè)為H0：=0(0為某一給定值)當H0為真時，統(tǒng)計量1.H1：≠0(雙邊檢驗)當H0為真時，由

P{-t/2(n-1)≤t≤t/2(n-1)}=1-可得：若|t|>t/2(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則接受H0。

18當

H0為真時，由

P{t≤t(n-1)}=1-可得：若

t>t

(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則就認為并不顯著高于0

。3.

H1：

<0(左邊檢驗)

由P{t≥-t(n-1)

}=1-可得：若

t<-t(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則就認為并不顯著小于0

。

-t(n-1)f(x)x左邊檢驗的拒絕域1-2.H1：>0

(右邊檢驗)19案例1.檢驗新工藝的效果某廠生產(chǎn)的一種鋼絲抗拉強度服從均值為10560(kg/cm2)的正態(tài)分布，現(xiàn)采用新工藝生產(chǎn)了一種新鋼絲，隨機抽取10根測得抗拉強度為：

10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670問在顯著性水平=0.05下，新鋼絲的平均抗拉強度比原鋼絲是否有顯著提高?

20案例1解答：說明新工藝對提高鋼絲繩的抗拉強度是有顯著效果的。

本案例為右邊檢驗問題，設(shè)新鋼絲的平均抗拉強度為，

2未知，故使用t檢驗。由題意，H0：=0，H1：>0由所給樣本數(shù)據(jù)，可求得：S=81，n=10，=0.05，t0.05(9)=1.8331∵t=2.7875故拒絕H0，即在水平=0.05下，

顯著高于0。

>t(n-1)=

t0.05(9)=1.833121在案例1中，若取

=0.01，問結(jié)論如何?【解】∵t0.01(9)=2.8214，

t=2.7875<t0.01(9)=2.8214故不能拒絕H0。即在水平=0.01下，新鋼絲平均抗拉強度并無顯著提高。通常，在

=0.05下拒絕H0，則稱檢驗結(jié)果為一般顯著的；若在=0.01下拒絕H0，則稱檢驗結(jié)果為高度顯著的；若在=0.001下拒絕H0，則稱檢驗結(jié)果為極高度顯著的。

22課堂練習(xí)3一臺自動包裝奶粉的包裝機，其額定標準為每袋凈重0.5kg。某天開工時，隨機抽取了10袋產(chǎn)品，稱得其凈重為：0.497，0.506，0.509，0.508，0.4970.510，0.506，0.495，0.502，0.507(1)在水平

=0.20下，檢驗該天包裝機的重量設(shè)定是否正確?（，S=0.00554）

(2)在本題的檢驗問題中，為什么要將

取得較大？23§5.4大樣本單個總體比例的檢驗設(shè)總體成數(shù)為P，則當nP

和n

(1-P)都大于5時，樣本成數(shù)p

近似服從均值為P，方差為P

(1-P)/n的正態(tài)分布。從而當原假設(shè)H0：P=P0

為真時，統(tǒng)計量與前面分析完全類似地，可得如下檢驗方法：P≠P0

P>P0

P<P0

24【案例5】某一系列電視劇是否獲得成功

如果能夠證明某一系列電視劇在播出的頭13周其觀眾的收視率超過了25％，則可以斷定它獲得了成功。假定由400個家庭組成的樣本中，有112個家庭在頭13周看過了某系列電視劇。在=0.01

的顯著性水平下，檢驗這部。

系列電視劇是否獲得了成功。解：由題意，H0：P=P0=25%，H1：P>25%，

樣本比例p=112/400=0.2825設(shè)H0：

2=02(02為某一給定值)則當H0為真時，統(tǒng)計量

與前面分析完全類似地，可得如下檢驗方法：§5.5.單個總體方差的檢驗

2≠02

2>02

2<02

(

2檢驗)26f(x)x0/2/21-雙邊檢驗f(x)x01-左邊檢驗f(x)x01-右邊檢驗卡方檢驗的拒絕域27某臺加工缸套外徑的機床，正常狀態(tài)下所加工缸套外徑的標準差應(yīng)不超過0.02mm，現(xiàn)從所生產(chǎn)的缸套中隨機抽取了9個，測得外徑的樣本標準差為S=0.03mm。問：在水平=0.05下，該機床加工精度是否符合要求?

解：由題意，0=0.02，

H0：

2=02，H1：

2>02

∵故拒絕H0，即該機床加工精度已顯著下降。應(yīng)立即停工檢修，否則廢品率會大大增加。

【案例2】機床加工精度問題28課堂練習(xí)4一臺奶粉自動包裝的包裝精度指標為

標準差

=0.005(kg)

某天開工時，隨機抽檢了10袋產(chǎn)品，測得其樣本標準差為

S=0.00554(kg)(1)在水平=0.25下，檢驗該天包裝機的包裝精度是否符合要求。

(2)在本檢驗問題中，為什么要將

取得較大？29統(tǒng)計意義上的顯著和實際的顯著

有時，由于非常大的樣本容量，你很有可能會得出統(tǒng)計意義上的顯著性但實際中的顯著性卻很小。比如，假設(shè)在全國性的關(guān)于高檔次的商業(yè)電視市場推廣活動之前，你知道人們對你的品牌認知度是0.3。在活動結(jié)束之后，根據(jù)對20,000人的調(diào)查顯示有6,168人認識你的品牌。單邊檢驗希望能證明現(xiàn)在的認知比例是大于0.3,而p-值結(jié)果為0.0047，正確的統(tǒng)計結(jié)論是品牌名字消費者的比例現(xiàn)在取得了顯著性改變，而在實際上這個增長重要嗎？總體比例現(xiàn)在的估計值在6,168/2,0000＝0.3084，或是30.84%。這個增長量只比假設(shè)檢驗值30%多了1%。在市場推廣活動中的高額費用產(chǎn)生的結(jié)果是否對品牌認知度有意義呢？現(xiàn)實中的低于1％的市場認知度的微小增長與高成本的市場活動費用相比，你應(yīng)該認為這次市場活動是不成功的。如果品牌知名度提高了20％,你就能得出活動是非常成功的。30§5.6.兩個總體均值的檢驗設(shè)總體X1～N(1,12)，

X2～N(2,22)，且X1和X2相互獨立。和S12,S22分別是它們的樣本的均值和樣本方差，樣本容量分別為

n1和n2。原假設(shè)為H0：1=2

31可以證明，當H0為真時，統(tǒng)計量其中：完全類似地，可以得到如下檢驗方法：～

t(n1+n2-2)稱為合并方差。1.12=22=

2，

但

2未知(t

檢驗

)32測得甲,乙兩種品牌轎車的首次故障里程數(shù)數(shù)據(jù)如下：甲品牌X1：1200,1400,1580,1700,1900乙品牌X2：1100,1300,1800,1800,2000,2400設(shè)X1和X2的方差相同。問在水平

＝0.05下，(1)兩種轎車的平均首次故障里程數(shù)之間有無顯著差異?(2)乙品牌轎車的平均首次故障里程是否比甲品牌有顯著提高?

【案例3】轎車質(zhì)量差異的檢驗33解：⑴雙邊檢驗問題S12=269.62，S22=471.9212=22=2未知，n1=5，H0：1=2H1：1≠2。由所給數(shù)據(jù)，可求得∵|t|=0.74<t/2(n1+n2-2)=t0.025(9)故兩種轎車的平均首次故障里程間無顯著差異，即兩種轎車的該項質(zhì)量指標是處于同一水平的。

n2=6，

=2.262234(2)左邊檢驗

∵t=-0.74>-t(n1+n2-2)=-t0.05(9)=-1.833故乙品牌轎車平均首次故障里程并不顯著高于甲品牌。顯然，對給定的水平，若單邊檢驗不顯著，則雙邊檢驗肯定不顯著。但反之卻不然，即若雙邊檢驗不顯著，單邊檢驗則有可能是顯著的。

H1：1＜235用Excel檢驗兩總體均值可用Excel的【工具】→“數(shù)據(jù)分析”→“

t檢驗：雙樣本等方差假設(shè)”，檢驗12=22=2，但2未知時兩個總體的均值。

在Excel的輸出結(jié)果中：

“P(T<=t)單尾”

t(統(tǒng)計量)0f(t)“P(T<=t)單尾”的值(概率)—單邊檢驗達到的臨界顯著性水平；

“P(T<=t)雙尾”—雙邊檢驗達到的臨界顯著性水平。

由圖可知：P(T<=t)雙尾=2×P(T<=t)單尾

“P(T<=t)單尾”和“P(T<=t)雙尾”統(tǒng)稱為“p

值”。36“P(T<=t)單尾”與“P(T<=t)雙尾”的使用從而，若“P(T<=t)單尾”或“P(T<=t)雙尾”>0.05，則結(jié)果為不顯著；“P(T<=t)單尾”或“P(T<=t)雙尾”<0.05，則一般顯著；“P(T<=t)單尾”或“P(T<=t)雙尾”<0.01，則高度顯著；“P(T<=t)單尾”或“P(T<=t)雙尾”<0.001，則極高度顯著。本例中：∵

“P(T<=t)單尾”=0.2387>0.05；

“P(T<=t)雙尾”=0.4773>0.05，故無論單邊還是雙邊檢驗結(jié)果都不顯著。

tt“P(T<=t)單尾”由圖可知：

t>t

等價于“P(T<=t)單尾”<

t>t/2

等價于“P(T<=t)雙尾”<37此時，可用Excel

的【工具】→“數(shù)據(jù)分析”→“t

檢驗：雙樣本異方差假設(shè)”檢驗12≠22且都未知時兩個正態(tài)總體的均值。2.12≠22且未知38為分析甲、乙兩種安眠藥的效果，某醫(yī)院將20個失眠病人分成兩組，每組10人，兩組病人分別服用甲、乙兩種安眠藥作對比試驗。試驗結(jié)果如下：兩種安眠藥延長睡眠時間對比試驗(小時)(1)兩種安眠藥的療效有無顯著差異？(2)如果將試驗方法改為對同一組10個病人，每人分別服用甲、乙兩種安眠藥作對比試驗，試驗結(jié)果仍如上表，此時兩種安眠藥的療效間有無差異？【案例5】哪種安眠藥的療效好？39

(1)設(shè)服用甲、乙兩種安眠藥的延長睡眠時間分別為X1,X2，

故不能拒絕H0，兩種安眠藥的療效間無顯著差異。

用Excel求解本案例S22=1.7892S12=2.0022，案例5解答X1～N(1,

2)，X2～N(2,

2)，

n1=n2=10。

由試驗方法知X1,X2獨立。

H0：1=2，H1：1≠2由表中所給數(shù)據(jù)，可求得：40故兩種安眠藥療效間的差異是高度顯著的！

=4.0621§5.7.成對樣本試驗

由于此時X1,X2為同一組病人分別服用兩種安眠藥的療效，因此X1,X2不獨立，屬于成對樣本試驗。對于這類“成對樣本試驗”的均值檢驗，應(yīng)當化為單個正態(tài)總體的均值檢驗。方法如下：設(shè)X=X1-X2(服用甲、乙兩種安眠藥延長睡眠時間之差)，則X～N(,

2)。H0：=0，H1：≠0由表中所給數(shù)據(jù)，可求得S=1.23，n=10

>t

0.005(9)=3.2498

—案例5⑵解答41可用Excel的【工具】→“數(shù)據(jù)分析”→“t檢驗：平均值的成對二樣本分析”進行成對樣本試驗的均值檢驗。用Excel求解∵本例中“P(T<=t)雙尾”=0.0028<0.01，故兩種安眠藥的療效間存在高度顯著差異。

42§5.8.兩總體方差的檢驗1.F

分布設(shè)X～2(n1)，Y～

2(n2)，且X和Y相互獨立，則隨機變量服從自由度為(n1,n2)的F分布，記為F～F(n1,n2)n1為第一(分子的)自由度，

n2為第二(分母的)自由度。

43F分布密度函數(shù)的圖形xf(x)0n1=20,n2=10n1=20,n2=25n1=20,n2=100

44F分布的右側(cè)分位點F(n1,n2)

F分布的右側(cè)

分位點為滿足

P{F>F(n1,n2)}=

的數(shù)值F(n1,n2)。F(n1,n2)f(x)x0F

(n1,n2)有以下性質(zhì)：

F1-

(n1,n2)=1/F(n2,n1)利用上式可求得F分布表中未給出的

值的百分位點。如F0.95(10,15)=1/F0.05(15,10)

45可用Excel的統(tǒng)計函數(shù)FINV返回F(n1，n2)。語法規(guī)則如下：格式：FINV(,n1,n2

)功能:返回F(n1,n2)的值。用Excel

求F(n1,n2)462.兩總體方差的檢驗(F檢驗)原假設(shè)為H0：12=22。完全類似地，可以得到如下檢驗方法：～F(n1-1,n2-1)當H0為真時，統(tǒng)計量

47【例2】在＝0.20下，檢驗【案例3】中兩個正態(tài)總體的方差是否存在顯著差異。

解：由題意，H0：12=22，H1：12≠22，n1=5，n2=6由例5的計算結(jié)果，S12=269.62，S22=471.92=0.326

F/2(n1-1,n2-1)

=F0.1(4,5)=3.52F1-/2(n1-1,n2-1)

=F1-0.1(4,5)=1/F0.1(5,4)=1/4.05=0.247∵F=0.326<

F1-0.1(4,5)=0.247<F0.1(4,5)=3.52故在水平

=0.20下，12與22間無顯著差異。可知案例4中關(guān)于12=22的假定是合理的。思考題：本例中為什么要將取得較大？

48可用Excel的【工具】→“數(shù)據(jù)分析”→“F檢驗：雙樣本方差”檢驗兩個正態(tài)總體是否是同方差的。在

Excel的輸出結(jié)果中

“P(F<=f)單尾”與“P(T<=t)單尾”的含義是相同的，即p

值。用Excel求解

∵本例中“P(F<=f)單尾”的值為0.1503，故其雙邊檢驗所達到的顯著性水平為

2×0.1503=0.3006>0.20故在在水平＝0.20下，12與22間無顯著差異。

49§5.9.大樣本兩個總體比例的檢驗設(shè)P1,P2分別是兩個獨立總體的總體比例，原假設(shè)為

H0：P1=P2設(shè)p1,p2分別是它們的樣本比例，n1,n2分別是它們的樣本容量。則在大樣本的條件下，統(tǒng)計量由此，可以得到如下檢驗方法：

50【案例6】女企業(yè)家對成功的理解是否不同對女企業(yè)家進行了一項研究來看她們對成功的理解。給她們提供了幾個備選答案，如快樂/自我實現(xiàn)，銷售/利潤，成就/挑戰(zhàn)。根據(jù)她們業(yè)務(wù)的總銷售額將其分為幾組。銷售額在100萬~500萬元的為一組，少于100萬元的為另一組，要研究的問題是：把銷售/利潤作為成功定義的比率，前一組是否高于后一組？假定我們以總銷售額對女企業(yè)家進行定位。我們采訪了100名總銷售額低于100萬元的女企業(yè)家，她們中有24個將銷