柱、錐、臺和球的體積學習目標1.了解祖暅原理及等體積變換的意義．2．掌握柱、錐、臺、球的體積公式并會求它們的體積．

課堂互動講練知能優化訓練1．1.7課前自主學案課前自主學案溫故夯基1．棱長為a的正方體體積V＝_____.2．長方體的長、寬、高分別為a、b、c，其體積為V＝_________.3．底面半徑為r，高為h的圓柱的體積為V＝____________.a3abcπr2h知新益能1．長方體的體積公式V長方體＝________＝_________.其中a、b、c分別是長方體的長、寬和高，S、h分別是長方體的底面面積和高．2．祖暅原理冪勢既同，則積不容異．這就是說，夾在______________的兩個幾何體，被__________________的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積________，那么這兩個幾何體的體積________．abcSh兩個平行平面間平行于這兩個平面總相等相等3．祖暅原理的應用______________、_________的兩個柱體或錐體的體積相等．4．柱、錐、臺、球的體積其中S表示面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑.等底面積等高把錐體用平行于底面的平面截開，截得的小錐體的體積與原錐體的體積之比等于截得小錐體的高度與原錐體的高度之比的立方．提示：可以．思考感悟課堂互動講練考點突破考點一柱體的體積對于不易求出的柱體，應當進行適當的變形和“割補”，使其成為易求的柱體，運用公式求之．棱柱ABC－A′B′C′的側面AA′C′C的面積為S，且這個側面到與它相對的側棱BB′之間的距離為a，求這個棱柱的體積．【分析】此題若直接求底面ABC的面積及其上的高，將是困難的，能否考慮采取補充或截割的辦法，以已知面積的側面為底來解呢？如圖，設法補上一個與原三棱柱全等的三棱柱，成為一個平行六面體，再將面AA′C′C看做底來求．例1【解】如圖，，過側側棱BB′、CC′分別作作側面面AC′、AB′的平行行平面面，DD′是交線線，再再伸展展兩底底面，，得到到平行行六面面體ABDC－A′B′D′C′.∵側面AA′C′C的面積積為S，設此此面為為底面面，則則平行行六面面體BDD′B′－ACC′A′的高為為a，【點評】當所給給幾何何體的的體積積不易易求出出時，，我們們可以以通過過“割補法法”，使之之變形形為我我們熟熟悉的的幾何何體去去解決決．跟蹤訓訓練1正三棱棱柱側側面的的一條條對角角線長長為2且與該該側面面內的的底邊邊所成成角為為45°°，求此此三棱棱柱體體積．．將臺體體的體體積與與上、、下底底面積積及高高建立立函數數關系系或者者根據據等量量建立立方程程．考點二臺體的體積例2已知正正四棱棱臺兩兩底面面邊長長分別別為20cm和10cm，側面面積是是780cm2.求正四四棱臺臺的體體積．【分析】借助于于正四四棱臺臺內直直角梯梯形，，求得得棱臺臺底面面積及及高，，從而而求解解其體體積．【解】如圖所所示，，正四四棱臺臺ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點點E1，AB的中點點E，則E1E是側面ABB1A1的高．設O1、O分別是上上、下底底面的中中心，則則四邊形形EOO1E1是直角梯梯形．【點評】在求臺體體的體積積時，關關鍵是根根據題設設條件，，分析得得出所求求問題需需要哪些些量，現現在已知知哪些量量，然后后歸納到到正棱臺臺的直角角梯形中中列式求求解，最最后代入入體積公公式求解解體積．跟蹤訓練練2棱臺的上上底面積積為16，下底面面積為64，求棱臺臺被它的的中截面面分成的的上、下下兩部分分體積之之比．關鍵是找找出球的的半徑或或者半徑徑與其它它量之間間的關系系．考點三球的體積例3球的兩個個平行截截面的面面積分別別是5π，8π，兩截面面間距離離為1，求球的的體積．【分析】應用軸截截面中的的直角三三角形來來求球的的半徑．【點評】球既是中中心對稱稱又是軸軸對稱的的幾何體體，它的的任何截截面均為為圓，過過球心的的截面都都是軸截截面，因因此球的的問題常常轉化為為圓的有有關問題題解決．不規則的的無體積積公式的的幾何體體通過割割補變換換，轉化化為能直直接用體體積公式式計算的的幾何體體．考點四不規則幾何體的體積例4如圖所示示，三棱棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，，平面EB1C1F將三棱柱柱分成體體積為V1、V2(V1>V2)的兩部分分，求V1∶V2.【點評】不規則幾幾何體的的體積可可通過對對幾何體體分割，，使每部部分都能能夠易求求得其體體積，或或者使所所求體積積等于整整體幾何何體體積積減去部部分幾何何體體積積．跟蹤訓練練3如圖所示示，已知知等腰梯梯形ABCD的上底AD＝2cm，下底BC＝10cm，底角∠ABC＝60°，現繞腰腰AB所在直線線旋轉一一周，求求所得的的旋轉體體的體積積．方法感悟1．祖暅原理理是推導導柱、錐錐、臺和和球體積積公式的的基礎和和紐帶．原理中含含有三個個條件：：條件一一是兩個個幾何體體夾在兩兩個平行行平面之之間；條條件二是是用平行行于兩個個平行平平面的任任何一平平面可截截得兩個個截面；；條件三三是兩個個截面的的面積總總相等．這三個條條件缺一一不可，，否則結結論不成成立．2．多面體與旋轉轉體的體積公公式只要求我我們了解，但但結論“等底面積、等等高的兩個棱棱錐的體積相相等”必須記熟且學學會對它的熟熟悉運用，柱柱體、錐體、、臺體的體積積關系如下：：3．在推導棱錐錐的體積公式式時，是將三三棱柱分成三三個三棱錐，，這三個三棱棱錐變換它們們的底面和頂頂點，可以得得到它們兩兩兩之間等底面面積、等高，，因此它們的的體積相等，，都等于三棱棱柱體積的三三分之一．在在這個過程中中，一是運用用了等體積轉轉換的方法，，二是運用了了割補法，這這些方法在今今后解題時要要靈活運用．．4．有有的的幾幾何何