2016年普通高等學校招生全國統一考試（I）卷理科數學一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合A=x|x-4x+3<0，B={x|2x-3>0}，則AIB=（）2{}（A）-3,-?（B）-3,?（C）1,?（D）2．設(1+i)x=1+yi，其中x,y是實數，則|x+yi|=（）（A）1（B）2（C）3（D）2??3?2???3?2??3??2??3?,3??2?3．已知等差數列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）（A）100（B）99（C）98（D）974．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發車，小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）（A）1123（B）（C）（D）3234x2y2-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的5．已知方程2m+n3m2-n取值范圍是（）（A）(-1,3)（B）-1,3（C）(0,3)（D）0,36．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條()()28π，則它的表面積是（）3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π互相垂直的半徑。若該幾何體的體積是7．函數y=2x-e在[-2,2]的圖像大致為（）2|x|8．若a>b>1，0<c<1，則（）cc（A）a<b（B）ab<ba（C）alogbc<blogac（D）logac<logbccc9．執行右面的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x,y的值滿足（）（A）y=2x（B）y=3x（C）y=4x（D）y=5x10．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點，交C的準線于D,E兩點。已知|AB|=42，|DE|=25，則C的焦點到準線的距離為（）（A）2（B）4（C）6（D）811．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1A1=n，則m,n所成角的正弦值為（）（A）1323（B）（C）（D）3232??12．已知函數f(x)=sin(ωx+?)ω>0,|?|≤π?2??，x=-π4為f(x)的零點，x=π4為?π5π?y=f(x)圖像的對稱軸，且f(x)在,?單調，則ω的最大值為（）?1836?（A）11（B）9（C）7（D）5二．填空題：本題共4小題，每小題5分。rrrr2r2r213．設向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|=|a|+|b|，則m=。14．2x+(（用數字填寫答案）x的展開式中，x3的系數是。)515．設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2Λan的最大值為。16．某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元.該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元。三．解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2(acosB+bcosA)cosC=c。⑴求C；⑵若c=7，?ABC的面積為周長。18．（本小題滿分12分）如圖，在以33，求?ABC的2A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是600。⑴證明：平面ABEF⊥平面EFDC；⑵求二面角E-BC-A的余弦值。19．（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰。機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元。在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元。現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖。以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數。⑴求X的分布列；⑵若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；⑶以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？20．（本小題滿分12分）設圓x+y+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x22軸不重合，l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E。⑴證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；⑵設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。21．（本小題滿分12分）已知f(x)=(x-2)e+a(x-1)有兩個零點。⑴求a的取值x2范圍；⑵設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2。請考生在第（22）、（23）、（24）題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．（本小題滿分10分）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，?AOB是等腰三角形，∠AOB=120。以O為圓心，1OA為半徑作圓。⑴證明：直線AB與⊙O相切；⑵點C,D在⊙O上，且A,B,C,D四點2共圓，證明：AB//CD。23．（本小題滿分10分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在直角坐標系xOy中，曲線C1?x=acost的參數方程為?錯誤!未找到引用源。（t為參數，a>0）。在以坐標原點為極點，y=1+asint?x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ。⑴說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；⑵直線C3的極坐標方程為θ=α，其中α滿足tanα=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a。24．（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|。⑴在答題卡第（24）題圖中畫出y=f(x)的圖像；⑵求不等式|f(x)|>1的解集。2016年普通高等學校招生全國統一考試（I）卷理科數學解答一．DBCBAADCCBAB二．13．-2；14．10；15．64；16．21600017．解：⑴由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，1π2cosCsin(A+B)=sinC。故2sinCcosC=sinC，可得cosC=，所以C=；32⑵由已知，133πabsinC=，又C=，故ab=6。由已知及余弦定理得，223a2+b2-2abcosC=7，故a2+b2=13，從而(a+b)2=25。故?ABC的周長為5+7。18．解：⑴由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC。又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC；⑵過D作DG⊥EF，垂足為G，由⑴知uuur以G為坐標原點，GF的方DG⊥平面ABEF。uuur向為x軸正方向，|GF|為單位長，建立如圖所示空間直角坐標系G-xyz。由⑴知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE=60，則0|DF|=2，|DG|=3，可得A(1,4,0)，B(-3,4,0)，E(-3,0,0)，D0,0,3。由已知，()AB//EF，所以AB//平面EFDC。又平面ABCDI平面EFDC=DC，故AB//CD，CD//EF。由BE//AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C-BE-F的平uuuruuur0面角，∠CEF=60，從而C-2,0,3。所以EC=1,0,3，EB=(0,4,0)，()()ruuuruuuruuurr??n?EC=0AC=-3,-4,3，AB=(-4,0,0)。設n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，則?ruuu，r??n?EB=0uruuururr??x+3z=0?m?AC=0即?，所以可取n=3,0,-3。設m是平面ABCD的法向量，則?u，ruuur??4y=0?m?AB=0rururrurn?m219r=-同理可取m=0,3,4。則cosn,m=ru，所以二面角E-BC-A的余弦19|n||m|()()()值為-219。1919．解：⑴由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別是0.2,0.4,0.2,0.2，從而P(X=16)=0.2?0.2=0.04，P(X=17)=2?0.2?0.4=0.16，P(X=18)=2?0.2?0.2+0.4?0.4=0.24，P(X=19)=2?0.2?0.2+2?0.4?0.2=0.24，P(X=20)=2?0.2?0.4+0.2?0.2=0.2，P(X=21)=2?0.2?0.2=0.08，P(X=22)=0.2?0.2=0.04。因此X的分布列如下表所示；171819X16P0.040.160.240.242021220.20.080.04⑵由⑴知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值為19；⑶記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）。當n=19時，EY=19?200?0.68+(19?200+500)?0.2+(19?200+2?500)?0.08+(19?200+3?500)?0.04=4040，當n=20時，EY=20?200?0.88+(20?200+500)?0.08+(20?200+2?500)?0.04=4080。可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，所以應選n=19。20．解：⑴因|AD|=|AC|，EB//AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|。又圓A的方程為(x+1)+y2=16，故|AD|=4，所2以|EA|+|EB|=4。由題設得A(-1,0)，B(1,0)，|AB|=2，由橢圓定義可得點E的軌跡方x2y2+=1(y≠0)；程為：43?y=k(x-1)?M(x1,y1)，N(x2,y2)，⑵當l與x軸不垂直時，設l：y=k(x-1)(k≠0)，由?x2y2=1?+3?48k24k2-12得(4k+3)x-8kx+4k-12=0，故x1+x2=，x1x2=，所以224k+34k+3222212k2+11()B1,0|MN|=1+k|x1-x2|=(x-1)，點y=-。過點且與垂直的直線：lm4k2+3k2()44k23，故|PQ|242，從而四邊形MPNQA到直線m的距離為422k1k1k122面積S11|MN||PQ|1212。可知當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的24k3取值范圍是12,83。當l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12。綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍是12,83。21．解：⑴由題f'xx1e2ax1x1e2a。①若a0，則xxfxx2ex，fx只有一個零點；②若a0，則當x1時，f'x0；當x1時，f'x0。所以fx在,1單調遞減，在1,單調遞增。又f1e，f2a，取b滿足b0且blnaa223，則fbb2ab1abb0，故fx存222在兩個零點；③若a0，由f'x0得x1或xln2a。如果ae2，則ln2a1，故當x1時，f'x0，因此fx在1,單調遞增。當x1時，fx0，故fx不存在兩個零點。如果ae2，則ln2a1，故當1xln2a時，f'x0；當xln2a時，f'x0。因此fx在1,ln2a單調遞減，在ln2a,單調遞增。又當x1時，fx0，故fx不存在兩個零點。綜上，a的取值范圍是0,；⑵不妨設x1x2，由⑴知x1,1，x21,，2x2,1，fx在,1單調遞減，所以x1x22等價于fx1f2x2，即f2x20。由于f2x2x2e2x2ax21，而x22ex2ax210，故f2x2x2e2x2x22ex2。22設gxxe2xx2ex，則gxx1e2xex。所以當x1時，gx0，故gxg10，從而gx2f2x20，所以x1x22。22．解：⑴設E是AB的中點，連OE。因OAOB，AOB120，故OEAB，∠AOE=600。在Rt?AOE中，OE=1AO，即O到直線2AB的