第4章時變電磁場在時變的情況下，電場和磁場相互激勵，在空間形成電磁波，時變電磁場的能量以電磁波的形式進行傳播。電磁場的波動方程描述了電磁場的波動性，本章首先對電磁場的波動方程進行討論。在時變電磁場的情況下，也可以引入輔助位函數來描述電磁場，使一些復雜問題的分析求解過程得以簡化。本章對時變電磁場的位函數及其微分方程進行了討論。電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理，本章將討論電磁場的能流和表征電磁場能量守恒關系的坡印廷定理。本章在最后討論了隨時間按正弦函數變化的時變電磁場，這種時變電磁場稱為時諧電磁場或正弦電磁場。4.1波動方程由麥克斯韋方程可以建立電磁場的波動方程，揭示了時變電磁場的運動規律，即電磁場的波動性。下面建立無源空間中電磁場的波動方程。在無源空間中，電流密度和電荷密度處處為零，即和滿足的麥克斯韋方程為、。在線性、各向同性的均勻媒質中，（4.1.1）（4.1.2）（4.1.3）（4.1.4）對式（4.1.2）兩邊取旋度，有將式（4.1.1）代入上式，得到利用矢量恒等式和式（4.1.4），可得到（4.1.5）此式即為無源區域中電場強度矢量滿足的波動方程。同理可得到無源區域中磁場強度矢量滿足的波動方程為（4.1.6）無源區域中的或可以通過求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波動方程得到。在直角坐標系中，波動方程可以分解為三個標量方程，每個方程中只含有一個場分量。例如，式（4.1.5）可以分解為（4.1.7）（4.1.8）（4.1.9）在其它坐標系中分解得到的三個標量方程都具有復雜的形式。波動方程的解是在空間中沿一個特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問題都可歸結為在給定的邊界條件和初始條件下求波動方程的解。當然，除最簡單的情況外，求解波動方程常常是很復雜的。4.2電磁場的位函數在靜態場中引入了標量電位來描述電場，引入了矢量磁位和標量磁位來描述磁場，使對電場和磁場的分析得到很大程度的簡化。對于時變電磁場，也可以引入位函數來描述，使一些問題的分析得到簡化。4.2.1矢量位和標量位由于磁場的散度恒定于零，即（4.2.1）式中的矢量函數稱為電磁場的矢量位，單位是將式（4.2.1）代入方程，因此可以將磁場表示為一個矢量函數的旋度，即。，有即這表明是無旋的，可以用一個標量函數的梯度來表示，即（4.2.2）式中的標量函數稱為電磁場的標量位，單位是。由式（4.2.2）可將電場強度矢量用矢量位和標量位表示為（4.2.3）由式（4.2.1）和式（4.2.3）定義的矢量位和標量位并不是惟一的，也就是說，對于同樣的和，除了可用一組和來表示外，還存在另外的和，使得為任意標量函數，令和。實際上，設（4.2.4）則有由于為任意標量函數，所以由式（4.2.4）定義的和有無窮多組。出現這種現象的原因在于確定一個矢量場需要同時規定該矢量場的散度和旋度，而式（4.2.1）只規定了矢量位的旋度，沒有規定矢量位的散度。因此，通過適當地規定矢量位的散度，不僅可以得到惟一的和，而且還可以使問題的求解得以簡化。在電磁場工程中，通常規定矢量位的散度為（4.2.5）此式稱為洛侖茲條件。4.2.2達朗貝爾方程在線性、各向同性的均勻媒質中，將利用矢量恒等式和代入方程，則有，可得到（4.2.6）同樣，將代入，可得到（4.2.7）和得一組耦合微分方程，可通過適當地規定矢量位的散度來加以式（4.2.6）和式（4.2.7）是關于簡化。利用洛侖茲條件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到（4.2.8）（4.2.9）式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛侖茲條件下，矢量位和標量位所滿足的微分方程，稱為達朗貝爾方程。由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛侖茲條件使矢量位和標量位分離在兩個獨立的方程中，且矢量位僅與電流密度有關，而標量位僅與電荷密度有關，這對方程的求解是有利的。如果不采用洛侖茲條件，而選擇另外的，得到的和的方程將不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最終由和求出的和是相同的。4.3電磁能量守恒定律電場和磁場都具有能量，在線性、各向同性的媒質中，電場能量密度分別為與磁場能量密度能量密度(4.3.1)(4.3.2)在時變電磁場中，電磁場能量密度等于電場能量密度(4.3.3)與磁場能量密度之和，即當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁