第第頁共19頁VZBAQ+ZBQA+ZB=180°,???5ZB=180°,???ZB=36°.(2019?重慶)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于點D.若ZC=42°，求ZBAD的度數；若點E在邊AB上,EF〃AC交AD的延長線于點F.求證：AE=FE.【答案】見解析。【解析】(1)VAB=AC,AD丄BC于點D,?.ZBAD=ZCAD,ZADC=90°,又ZC=42°,.\ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°；(2)VAB=AC,AD丄BC于點D,.°.ZBAD=ZCAD,???EF〃AC,.*.ZF=ZCAD,.°.ZBAD=ZF,?AE=FE.(2019?南岸區)如圖，直線AB〃CD,ZACD的平分線CE交AB于點F,ZAFE的平分線交CA延長線于點G.證明：AC=AF；若ZFCD=30°，求ZG的大小.答案】見解析。【解析】(1)證明：TZACD的平分線CE交AB于點F,.??ZACF=ZDCF,?.?AB〃CD,.\ZAFC=ZDCF,.\ZACF=ZAFC,.??AC=AF；(2)解：???ZFCD=30°,AB〃CD,.\ZACD=ZGAF=60°,ZAFC=30°,VZAFE的平分線交CA延長線于點G.???仙G』GFE#/AFE#X150°=75°,???ZG=180°-ZGAF-ZAFG=180°-60°-75°=45°.(2019?攀枝花)如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證:點D在BE的垂直平分線上；ZBEC=3ZABE.【答案】見解析。【解析】(1)連接DE,CD是AB邊上的高，?ZADC=ZBDC=90°,BE是AC邊上的中線，???AE=CE,.?.DE=CE,?BD=CE，.BD=DE，.點D在BE的垂直平分線上；°.°DE=AE,.°.ZA=ZADE,VZADE=ZDBE+ZDEB,BD=DE,.°.ZDBE=ZDEB,.°.ZA=ZADE=2ZABE,VZBEC=ZA+ZABE,.ZBEC=3ZABE.(2019?湖北十堰)如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的OO交BC于點D,點E為C延長線上1r1一點，且/CDE電ZBAC.(1)求證：DE是OO的切線；ACDE(2ACDE(2)若AB=3BD，CE=2,求OO的半徑.【答案】見解析。【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形相似的判定和性質解題的關鍵是作出輔助線構造直角三角形或等腰三角形.(1)如圖，連接OD，AD，VAC是直徑，.??ZADC=90°,:.AD丄BC,VAB=AC，.??ZCAD=ZBAD氣ZBAC,VZCDE^-ZBAC.AZCDE=ZCAD,VOA=OD,AZCAD=ZADO,VZADO+ZODC=90°,：?/ODC+/CDE=90°:.ZODE=90°又TOD是OO的半徑:?DE是OO的切線；(2)解:?:AB=AC,AD丄BC,:.BD=CD,?:AB=3BD,:.AC=3DC,設DC=x,則AC=3x,???AD=［扎~2x,?:ZCDE=ZCAD,ZDEC=ZAED,：?△CDEs^dae,CE_DCDE即2__x_DE…麗頁=麗丘=「=s7kzDE=4一：2,x=^"?AC=3x=14,OCDE?OCDE?OO的半徑為7.(2019甘肅武威)如圖，在△ABC中，AB=AC，ZBAC=120°，點D在BC邊上,OD經過點A和點B且與BC邊相交于點E.求證：AC是OD的切線；若CE=2；3,求OD的半徑.【答案】見解析。【解析】連接AD,根據等腰三角形的性質得到ZB=ZC=30°,ZBAD=ZB=30°，求得ZADC=60°,根據三角形的內角和得到ZDAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是OD的切線；連接AE,推出△ADE是等邊三角形，得到AE=DE,ZAED=60。，求得ZEAC=ZAED-ZC=30。，得到AE=CE=2】乜，于是得到結論.(1)證明：連接AD，VAB=AC，ZBAC=120°，AZB=ZC=30°，VAD=BD，AZBAD=ZB=30°，AZADC=60°，.\ZDAC=180°-60°-30°=90°，AAC是OD的切線；(2)解：連接AE，VAD=DE，ZADE=60°，A^ADE是等邊三角形，AAE=DE，ZAED=60°，AZEAC=ZAED-ZC=30°，.??ZEAC=ZC,???AE=CE=2l'3，AQD的半徑AD=2;319?(2019?湖南衡陽)如圖，在等邊△ABC中,AB=6cm，動點P從點A出發以lcm/s的速度沿AB勻速運動.動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動.設運動時間為以t(s).過點P作PE丄AC于E,連接PQ交AC邊于D.以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．當t為何值時，ABP。為直角三角形；是否存在某一時刻t,使點F在ZABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；求DE的長；取線段BC的中點M,連接PM,將ABPM沿直線PM翻折，得MPM,連接AB',當t為何值時,AB，的值最小？并求出最小值.【答案】見解析。【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，翻折變換，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．("?「△ABC是等邊三角形，AZB=60°,???當BQ=2BP時，ZBPQ=90°,.°.6+t=2(6-t),?.t=3,:?t=3時，ABP。是直角三角形.(2)存在．理由：如圖1中，連接BF交AC于M.?:BF平分ZABC,BA=BC,；.BF丄AC,AM=CM=3cm,?:EF//BQ,.??ZEFM=ZFBC=*ZABC=30°,:.EF=2EM,.：t=2?(3-寺t),解得t=3.(3)如圖2中，作PKHBC交AC于K.?.?△ABC是等邊三角形，?：ZB=ZA=60°,?:PK//BC,AZAPK=ZB=60°,AZA=ZAPK=ZAKP=60°,:.△APK是等邊三角形，:.PA=PK,:PE丄AK,：?AE=EK,:AP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQ,ZPDK=ZQDC,:、△PK