流體力學流體的宏觀平衡流體力學流體的運動規律流體靜力學流體動力學第二章流體靜力學流體靜力學絕對靜止相對靜止靜止流體處于平衡時的力學規律

基礎知識作用在流體上的力，不可壓縮流體以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標系靜止時，稱流體處于絕對靜止狀態；當流體相對于非慣性參考坐標系靜止時，稱流體處于相對靜止狀態。研究流體靜壓強在空間的分布規律研究流體與固體間的相互作用及其

工程應用流體靜力學研究的是流體平衡的規律在研究流體平衡時，通常將地球選作慣性坐標系流體處于靜止或相對靜止狀態，兩者都表現不出黏性作用，即切向應力都等于零。所以，流體靜力學中所得的結論，無論對實際流體還是理想流體都是適用的。注第2章流體靜力學§2.1

流體靜壓強及其特性§2.2

流體靜壓強的計算§2.3

壓強的測量§2.4

作用于平面上的液體總壓力§2.5

作用于曲面上的液體壓力§2.6

習題§2.1

流體靜壓強及其特性1.

流體靜壓強當流體處于靜止或相對靜止狀態時，作用在流體上的力只有法向應力，沒有切向應力。此時的法向應力就是作用面內法線方向的靜壓強。用符號p表示，單位為Pa。面積ΔA上的平均流體靜壓強P：A

點上的流體靜壓強P：§2.1

流體靜壓強及其特性流體靜壓力：作用在某一面積上的總壓力；流體靜壓強：作用在某一面積上的平均壓強或某一點的壓強。流體靜壓力與流體靜壓強的區別：§2.1

流體靜壓強及其特性2.

流體靜壓強的特性特性一：流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的內法線方向這一特性可由反證法給予證明：假設在靜止流體中，流體靜壓強方向不與作用面相垂直，而與作用面的切線方向成α角，如圖2-1所示?！?.1

流體靜壓強及其特性αpnptp切向壓強靜壓強法向壓強圖2-1§2.1

流體靜壓強及其特性

那么靜壓強p可以分解成兩個分力即切向壓強pt和法向壓強pn。由于切向壓強是一個剪切力，由第一章可知，流體具有流動性，受任何微小剪切力作用都將連續變形，也就是說流體要流動，這與我們假設是靜止流體相矛盾。流體要保持靜止狀態，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面內法線方向的壓強。又因為流體處于靜止時不能承受拉應力，拉應力的存在也會破壞流體的平衡，所以流體靜壓強的方向必然是沿著作用面的內法線方向。由于流體內部的表面力只存在著壓力，因此流體靜力學的根本問題是研究流體靜壓強的問題。§2.1

流體靜壓強及其特性特性二：靜止流體中任意一點流體壓強的大小與作用面的方向無關，即任一點上各方向的流體靜壓強都相同。為了證明這一特性，我們在靜止流體中圍繞任意一點A取一微元四面體的流體微團ABCD，設直角坐標原點與A重合。微元四面體正交的三個邊長分別為dx，dy和dz，如圖2-2所示。因為微元四面體處于靜止狀態，所以作用在§2.1

流體靜壓強及其特性pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上的流體靜壓強作用在BCD面上的靜壓強作用在ABD和上的靜壓強圖2－2微元四面體受力分析§2.1

流體靜壓強及其特性

其上的力是平衡的現在來分析作用于微元四面體ABCD上各力的平衡關系。由于靜止流體中沒有切應力，所以作用在微元四面體四個表面上的表面力只有垂直于各個表面的壓強。因為所取微元四面體的各三角形面積都是無限小的，所以可以認為在無限小表面上的壓強是均勻分布的。設作用在ACD、ABD、ABC和BCD四個面上的流體靜壓強分別為px、py、pz和pn，pn與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ，則作用在各面上流體的總壓力分別為：§2.1

流體靜壓強及其特性

除壓強外，還有作用在微元四面體流體微團上的質量力，該質量力分布在流體微團全部體積中。設流體微團的平均密度為ρ，而微元四面體的體積為dV=dxdydz/6，則微元四面體流體微團的質量為dm=ρdxdydz/6。假定作用在流流體上的單位質量力為f，它在各坐標軸上的分量分別為fx、fy、fz，則作用在微元四面體上的總質量力為：它在三個坐標軸上的分量為：§2.1

流體靜壓強及其特性

由于流體的微元四面體處于平衡狀態，故作用在其上的一切力在任意軸上投影的總和等于零。對于直角坐標系，則

、

、。在軸方向上力的平衡方程為：

把px，pn

和Fx的各式代入得：§2.1

流體靜壓強及其特性

因為則上式變成或由于等式左側第三項為無窮小，可以略去，故得：同理可得所以（2-1）

因為n的方向完全可以任意選擇，從而證明了在靜止流體中任一點上來自各個方向的流體靜壓強都相等。但是，靜止流體中深度不同的點處流體的靜壓強是不一樣的，而流體又是連續介質，所以流體靜壓強僅是空間點坐標的連續函數，即（2-2）§2.1

流體靜壓強及其特性證明：采用微元體分析法在靜止流體中，在O點附近取出各邊長分別為dx、dy、dz的微小四面體OABC。相應坐標軸為x、y、z。②受力分析①取微單元體表面力：只有法向應力，即靜壓強。微元面積上的靜壓強可近似認為是均勻分布的。以px、py、pz和

pn分別代表流體作用在OBC、OAC、OAB和ABC（n的方向是任意的）上的平均壓強，則各面上的總壓力為：§2.1

流體靜壓強及其特性P9OBC面：OAC面：OAB面：ABC面：質量力：設單位質量力為X、Y、Z，則微元體總質量力的分力為：四面體的體積為§2.1

流體靜壓強及其特性③列力的平衡方程x方向：∵∴上式變為：當dx、dy、dz→0時，四面體縮小為O點，上式中的質量力和前二項表面力相比為高階微量，可以忽略不計，則：同理可證：，∴由于pn的方向是任意取的，所以上式表明：靜止流體中同一點處各個方向的靜壓力均相等，與作用面方位無關。證畢！§2.1

流體靜壓強及其特性因此，可以把同一點各個方向的靜壓力都直接寫成p，只是流體中不同點處的靜壓力是不同的，與該點所處的位置有關。在連續介質中，一點的靜壓力p將是點坐標的連續函數，即：其全微分形式為：3、靜壓力特性的適用范圍（1）適用于流體內部在進行靜壓力測定時，根據特性二，只需確定探頭的位置即可，不用考慮方向。（2）適用于流體與固體的交界面在進行容器器壁的受力分析時，根據特性一，流體靜壓力垂直于器壁，并指向壁面?！?.1

流體靜壓強及其特性§2.1

流體靜壓強及其特性說明：1.靜止流體中不同點的壓強一般是不等的，一點的各向靜壓強大小相等。2.運動流體是理想流體時，由于μ=0，不會產生切應力，所以理想流體動壓強呈靜水壓強分布特性。等壓面

液體中由壓強相等的各點所構成的面（可以是平面或曲面）稱為等壓面，靜止液體的自由表面就是等壓面。等壓面微分方程

等壓面有兩個特性：（1）等壓面就是等勢面；（2）等壓面與質量力正交?！?.1

流體靜壓強及其特性注意：(1)靜止液體質量力僅為重力時，等壓面必定是水平面；(2)平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面；(3)不同液體的交界面也是等壓面?！?.1

流體靜壓強及其特性§2.2

流體靜壓強的計算1.

重力作用下流體靜壓強的基本方程

在靜止液體中，任意取出一傾斜放置的微小圓柱體，微小圓柱體長為△?，端面積為dA，并垂直于柱軸線。周圍的液體對圓柱體有側面壓力及兩端面壓力。側面壓力與軸向正交，沿軸向沒有分力；軸的兩端面的壓力為P1和P2。

靜止液體受的質量力只有重力，重力與軸線夾角為，可以分解為平行于軸向的G·cos和垂直于軸向的G·sin

兩個分力。傾斜微小圓柱體軸向力的平衡，就是兩端壓力P1、P2及重力的軸向分力G·cos三個力作用下的平衡。即

§2.2流體靜壓強的計算微小圓柱體斷面積dA極小，斷面上各點壓強的變化可以忽略不計，可以認為斷面各點壓強相等,設圓柱上端面的壓強p1,下端面的壓強p2，端面壓力為P1＝p1dA，P2＝p2dA，重力G=γ△?dA，代入上式，得:消去dA，并由于△?G·cos=△h，整理得壓強關系式：傾斜微小圓柱體的端面是任意選取的。因此，可以得出普遍關系式：即靜止液體中任兩點的壓強差等于兩點間的深度差乘以容重。壓強隨深度不斷增加，而深度增加的方向就是靜止液體的質量力——重力作用的方向。所以，壓強增加的方向就是質量力的作用方向。

§2.2流體靜壓強的計算用壓強關系式求靜止液體內某一點的壓強，設液面壓強為po，液體容重為γ，該點在液面下深度為h，則：流體靜力學基本方程式§2.2流體靜壓強的計算結論：

1）在重力作用下的靜止液體中，靜壓強隨深度按線性規律變化，即隨深度的增加，靜壓強值成正比增大2）在靜止液體中，任意一點的靜壓強由兩部分組成：

一部分是自由液面上的壓強p0；另一部分是該點到自由液面的單位面積上的液柱重量γh。3）在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數)的各點的靜壓強相等，即任一水平面都是等壓面。

4）兩種容重不同互不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態，兩種液體之間形成分界面。這種分界面即是水平面又是等壓面5）對于氣體，由于氣體的容重很小，在高差不大的情況下，氣柱產生的壓強很小，因而可以忽略γh的影響，認為氣體中各空間位置點的壓強是相等的。§2.2流體靜壓強的計算帕斯卡定律在平衡狀態下的不可壓縮流體中，作用在其邊界面上的壓力，將等值、均勻地傳遞到流體的所有各點。施于在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強，將以同一數值沿各個方向傳遞到流體中的所有流體質點。水壓機、增壓機缸等液壓傳動裝置的工作原理和設計都是以此原理為基礎的§2.2流體靜壓強的計算設水箱水面的壓強為po，水中1、2點到任選基準面o—o的高度為Zl及Z2，壓強為p1及p2，將式中的深度改為高度差后得：液體靜力學基本方程式的另一種形式P0P1P2Z1Z2圖2-5推導靜力學基本方程式用圖§2.2流體靜壓強的計算這就是液體靜力學基本方程式的另一種形式，也是我們常用的水靜壓強分布規律的一種形式。式中c為積分常數，由邊界條件確定。這就是重力作用下的液體平衡方程，通常稱為流體靜力學基本方程。該方程的適用范圍是:重力作用下的平衡狀態均質不可壓縮流體。結論：在同一種液體中，無論哪一點(Z+P/γ)總是一個常數。§2.2流體靜壓強的計算

為了進一步理解流體靜力學基本方程式，現在來討論流體靜力學基本方程的物理意義和幾何意義

1.物理意義從物理學可知，把質量為m的物體從基準面提升z高度后，該物體就具有位能mgz，則單位重量物體所具有的位能為z(mgz/mg=z)。所以式中z的物理意義表示為單位重量流體對某一基準面的位勢能。p/γ表示單位重量流體的壓強勢能，這可說明如下：如圖2-6所示，容器離基準面z處開一個小孔，接一個頂端封閉的玻璃管(稱為測壓管)，并把其內空氣抽出，形成完全真空(p=0)，在開孔處流體靜壓強p的作用下，流體進入測壓管，上升的高度h=p/γ稱為單位重量流體的壓強勢能。位勢能和壓強勢能之和稱為單位重量流體的總勢能?！?.2流體靜壓強的計算圖2-6閉口測壓管液柱上升高度§2.2流體靜壓強的計算所以式表示在重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是相等的。這就是靜止液體中的能量守恒定律?！?.2流體靜壓強的計算

2.幾何意義單位重量流體所具有的能量也可以用液柱高度來表示，并稱為水頭。z具有長度單位，是流體質點離基準面的高度，所以z的幾何意義表示為單位重量流體的位置高度或位置水頭。p/γ也是長度單位，它的幾何意義表示為單位重量流體的壓強水頭。位置水頭和壓強水頭之和稱為靜水頭。所以式也表示在重力作用下靜止流體中各點的靜水頭都相等。在實際工程中，常需計算有自由液面的靜止液體中任意一點的靜壓強?！?.2流體靜壓強的計算2.

壓強的表示方法及度量單位壓強的表示方法36壓力的大小可以從不同的基準算起，因而有不同的表示方法。①絕對壓力p絕：是以物理真空為零點而計量的壓力。故壓力永為正值。

③真空壓力（真空度）：絕對壓力小于當地大氣壓而產生真空的程度。②相對壓力（表壓力）：以當地大氣壓為零點而計量的壓力。

若自由液面壓力，則若自由液面壓力，則若以液柱高度表示就稱為真空高度，即注意：真空度是正值?！數卮髿鈮?，用氣壓表測量。§2.2流體靜壓強的計算2.

壓強的表示方法及度量單位三種壓力表示方法之間的相互關系：例題：已知，∴壓強的表示方法§2.2流體靜壓強的計算2.

壓強的表示方法及度量單位①應力單位：③液柱高單位②工程大氣壓單位Pa，即N/m21at（工程大氣壓）

=

1kgf/cm2=9.8×104Pa常以水柱高、水銀柱高表示壓強的大小。1atm

（標準大氣壓）＝

760mmHg＝13.6×9800×0.76N/m2

＝

101292.8Pa

＝

1.0336kgf/cm2例：一個工程大氣壓相當于汞柱高：一個工程大氣壓相當于水柱高：壓強的量度單位§2.2流體靜壓強的計算3.

靜止液體的壓強分布圖作用：形象直觀地表示物體表面的靜止液體的壓強分布情況方法：將表面壓強用箭頭表示，箭頭與物體表面垂直，長度與壓強大小成比例，箭頭的方向代表壓強的作用方向，箭頭落在物體表面，就構成了壓強分布圖。注意：由于物體的壁面兩邊都受到大氣壓力作用，相互抵消，因此一般只需畫出相對壓強的分布。§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計1）測壓管結構測壓管是一種最簡單的液柱式測壓計。為了減少毛細現象所造成的誤差，采用一根內徑為10mm左右的直玻璃管。測量時，將測壓管的下端與裝有液體的容器連接，上端開口與大氣相通，如右圖所示?！?.3壓強的測量1、液柱式測壓計1）測壓管

測量原理圖在壓強作用下，液體在玻璃管中上升高度，設被測液體的密度為，大氣壓強為pa，M點的絕對強為M點的計示壓強為于是，用測得的液柱高度h，可得到容器中液體的計示壓強及絕對壓強。

測壓管只適用于測量較小的壓強，一般不超過9800Pa，相當于1mH2O。如果被測壓強較高，則需加長測壓管的長度，使用就很不方便。此外，測壓管中的工作介質就是被測容器中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的壓強?！?.3壓強的測量1、液柱式測壓計1）測壓管注意的問題在管道中流動的流體的靜壓強也可用測壓管和其它液柱式測壓計測量。但是，為了減小測量誤差，在測壓管與管道連接處需要采取下列措施：

(1)測壓管必須與管道內壁垂直；

(2)測壓管管端與管道內壁平齊，不能伸出而影響流體的流動；

(3)測壓管管端的邊緣一定要很光滑，不能有尖緣和毛刺等；壓強計環形裝置

(4)為了減小由于連接的不完善而導致較大的誤差，可采用如上圖所示的連接裝置。在連接處同一截面管壁上開若干個等距離小孔，外面罩上一圓環形通道，然后與測壓管相接。這樣，可以測得這一截面靜壓強的平均值?！?.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管結構這種測壓計是一個裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管。測量時，管的一端與被測容器相接，另一端與大氣相通，如圖所示。U形管內裝有密度ρ2大于被測流體密度ρ1的液體工作介質，如酒精、水、四氯化碳和水銀等。它是根據被測流體的性質、被測壓強的大小和測量精度等來選擇的。如果被測壓強較大時，可用水銀，被測壓強較小時，可用水或酒精。但一定要注意，工作介質不能與被測流體相互摻混。U形管測壓計§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管U形管測壓計的測量范圍比測壓管大，但一般亦不超過2.94×105Pa。U形管測壓計可以用來測量液體或氣體的壓強；可以測量容器中高于大氣壓強的流體壓強，也可以測量容器低于大氣壓強的流體壓強，即可以作為真空計來測量容器中的真空。§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管測量原理下面分別介紹用U形管測壓計測量p>pa和p<pa兩種情況的測壓原理。

(1)被測容器中的流體壓強高于大氣壓強（即p>pa）：如圖(a)所示。U形管在沒有接到測點M以前，左右兩管內的液面高度相等。U形管接到測點上后，在測點M的壓強作用下，左管的液面下降，右管的液面上升，直到平衡為止。這時，被測流體與管內工作介質的分界面1-2是一個水平面，故為等壓面?！?.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管所以U形管左、右兩管中的點1和點2的靜壓強相等，即p1=p2，可得：

p1=p+ρ1gh1

p2=pa+ρ2gh2

所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M點的絕對壓強為p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

M點的計示壓強為pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1于是，可以根據測得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2計算出被測點的絕對壓強和計示壓強值。§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管Paρ1Mp12h1h2ρ等壓面P>Pa§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管

(2)被測容器中的流體壓強小于大氣壓強(即p<pa)：如圖b所示。在大氣壓強作用下，U形管右管內的液面下降，左管內的液面上升，直到平衡為止。這時兩管工作介質的液面高度差為h2。過右管工作介質的分界面作水平面1-2，它是等壓面。列等壓面方程

p+ρ1gh1+ρ2gh2=paM點的絕對壓強為

p=p-ρ1gh1-ρ2gh2

M點的真空或負壓強為

pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計2）U形測壓管如果U形管測壓計用來測量氣體壓強時，因為氣體的密度很小，上式中的ρ1gh1項可以忽略不計。若被測流體的壓強較高時，用一個U形管則過長，可以采用串聯的U形管組成多U形管測壓計。通常采用雙U形管或三U形管測壓計。

三U形管測壓計§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計3）U形壓差計(1)結構

U形管差壓計用來測量兩個容器或同一容器（如管道流體中不同位置兩點的壓強差。測量時，把U形管兩端分別與兩個容器的測點A和B連接，如圖所示。U形管中應注入較兩個容器中的流體密度大且不相混淆的流體作為工作介質（即ρ>ρA，ρ>ρB）。U形管差壓計§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計3）U形壓差計(2)測量原理若ρA>ρB

，U形管內液體向右管上升，平衡后，1-2是等壓面，即p1=p2

：

因p1=p2

，故

則§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計3）U形壓差計

若兩個容器內是同一流體，即ρA=ρB=ρ1，則上式可寫成若兩個容器內是同一氣體，由于氣體的密度很小，U形管內的氣柱重量可忽略不計，上式可簡化為

測量較小的液體壓差，可以用倒置式U形差壓計，例如用下圖所示裝置測量管道內節流閥前后的壓差p1-p2?！?.3壓強的測量1、液柱式測壓計3）U形壓差計得由上式可知，當ρ1和ρ2很接近時，即使壓差（p1-p2)很小，仍可得到較大的h值，從而有利于測量。U形管內液體上部的工作介質可以用空氣或別的氣體代替，通過頂部的閥門將空氣注入，逐漸增加液面上的壓強，直到兩管中液面達到某個合適的位置為止，這時ρ與ρ1相比可忽略不計，但在較高的p1和p2時，相應的空氣壓強也較高，就不能略去ρ。

設ρ<ρ1，當液體處于平衡狀態時，水平面0-0是等壓面，其上的壓強為p0，則有§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計4）傾斜微壓計在未測壓時，傾斜微壓計的兩端通大氣，杯中液面和傾斜管中的液面在同一平面1-2上。當測量容器或管道中某處的壓強時，杯端上部測壓口與被測氣體容器或管道的測點相連接，在被測氣體壓強p的作用下，杯中液面下降h1的高度至0—0位置，而傾斜玻璃管中液面上升了L長度，其上升高度

1．結構在測量氣體的微小壓強和壓差時，為了提高測量精度，常采用微壓計。傾斜微壓計是由一個大截面的杯子連接一個可調節傾斜角度的細玻璃管構成，其中盛有密度為ρ的液體，如圖所示。0ph1h2ΘpasLAρ120§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計4）傾斜微壓計2．測量原理根據流體平衡方程式，被測氣體的絕對壓強為其計示壓強為

如果用傾斜微壓計測量兩容器或管道兩點的壓強差時，將壓強大的p1連接杯端測壓口，壓強小的p2連接傾斜玻璃管出口端，則測得的壓強差為§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計4）傾斜微壓計

由于杯內液體下降量等于傾斜管中液體的上升量，設A和s分別為杯子和玻璃管的橫截面積，則或又于是上式可寫成式中k—傾斜微壓計常數,§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計4）傾斜微壓計

當A、s和ρ一定時，k僅是傾斜角Θ的函數。改變Θ的大小，可得到不同的k值，即將被測壓強差的L值放大了不同的倍數。傾斜微壓計的放大倍數由于s/A很小，可以略去不計，則當Θ=300時，，即把壓強差的液柱讀數放大了兩倍；當Θ=100時，（倍）?？梢?，傾斜微壓計可使讀數更精確。但若Θ過?。ㄈ缧∮?0）時，傾斜玻璃管內的液體將產生較大的波動，位置不易確定。對于每一種傾斜微壓計，其常數值一般有0.2、0.3、0.4、0.6和0.8五個數據以供選用?！?.3

重力場中流體的平衡F2F1hped1d2aa例題1兩圓筒用管子連接，內充水銀。第一個圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計示壓強pe=9810Pa；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計活塞質量，求平衡狀態時兩活塞的高度差h。（已知水銀密度=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面產生的壓強分別為：

圖中a-a為等壓面，第一圓筒上部是計示壓強，第二圓筒上部的大氣壓強不必計入，故有：§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【例2】如圖所示測量裝置，活塞直徑d=35㎜，油的相對密度d油=0.92，水銀的相對密度dHg=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當活塞重為15Ｎ時，h=700㎜，試計算Ｕ形管測壓計的液面高差Δh值。

§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【解】重物使活塞單位面積上承受的壓強為（Pa）

列等壓面１—１的平衡方程

解得Δh為：（㎝）§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【例3】如圖所示為雙杯雙液微壓計，杯內和Ｕ形管內分別裝有密度ρ1=l000kg/m3和密度ρ2=13600kg/m3的兩種不同液體，大截面杯的直徑Ｄ＝100mm，Ｕ形管的直徑d=10mm，測得h=30mm，計算兩杯內的壓強差為多少?

§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【解】列1-2截面上的等壓面方程由于兩邊密度為ρ1的液體容量相等，所以D2h2=d2h，代入上式得

=3709.6(pa)§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【例4】用雙Ｕ形管測壓計測量兩點的壓強差，如圖所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000㎏/m3，ρ2=800㎏/m3，ρ3=13598㎏/m3，試確定Ａ和Ｂ兩點的壓強差。

h1h2h3h4h511223344BBA1123§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計解根據等壓面條件，圖中1—1，2—2，3—3均為等壓面?？蓱昧黧w靜力學基本方程式逐步推算。p1=p2+ρ1gh1p2=p1-ρ3gh2p3=p2+ρ2gh3p4=p3-ρ3gh4

pB=p4-ρ1g(h5-h4)逐個將式子代入下一個式子，則

pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4)所以pA-pB=ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4+ρ3gh2-ρ2gh3-ρ1gh1=9.806×1000×（0.5-0.3）+133400×0.3-7850×0.2+133400×0.25-9.806×1000×0.6=67876（Pa）§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【例5】已知密閉水箱中的液面高度h4=60mm，測壓管中的液面高度h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介質高度，如圖所示。試求Ｕ形管中左端工作介質高度h3為多少？§2.3壓強的測量1、液柱式測壓計【解】列1-1截面等壓面方程，則

（a）列2-2截面等壓面方程，則（b）把式（a）代入式（b）中

=0.1365(m)=136.5(mm)§2.3壓強的測量二、金屬測壓計三、壓力傳感器壓電式壓力傳感器壓阻式壓力傳感器應變式壓力傳感器§2.4作用于平面上的液體總壓力

許多工程設備，例如閘門、插板、水箱、油罐、壓力容器的設備等，在設計時都會遇到液體作用在固體壁面上總壓力的計算問題。由于靜止液體中不存在切向應力，所以全部力都垂直于淹沒物體的表面。靜止液體作用在平面上的總壓力分為靜止液體作用在斜面、水平面和垂直面上的總壓力三種，斜面是最普通的一種情況，水平面和垂直面是斜面的特殊情況。下面介紹靜止液體作用在斜面上的總壓力問題。§2.4作用于平面上的液體總壓力假設有一塊任意形狀的平面MN與水平成Θ角放置在靜止液體中，如圖所示，圖中右邊是平面ＭＮ在垂直面上的投影圖。hchchhpFycyp靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力§2.4作用于平面上的液體總壓力一、總壓力的大小假設h為傾斜平面上任一點到自由液面的深度，y為相應的在OY軸上的距離。在深度h內選取一微元面積，認為其上的壓強是均勻分布的，這樣，該微元面積就相當于淹沒在靜止液體中的一條水平帶。如果x表示任一深度處這條微元面積的寬度，則它的面積dA=xdy，由靜止液體產生的壓強p=ρgh，而h=ysinΘ，則作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為

dF=pdA=ρghdA=ρgysinΘdA

上式中沒有考慮大氣壓強的作用，因為平面的四周都受有大氣壓強的作用，互相抵消，該式為僅由液體產生的總壓力。§2.4作用于平面上的液體總壓力

積分上式，即可得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力為（2-37）式中是整個淹沒平面面積A對OX軸的面積矩，yc為平面A的形心C到OX軸的距離，稱為形心y坐標。如果用hc表示形心的垂直深度，稱為形心淹深，那么，則

F=ρghcA

（2-38）因此靜止液體作用在任一淹沒平面上的總壓力等于液體的密度、重力加速度、平面面積和形心淹深的乘積。如果保持平面形心的淹深不變，改變平面的傾斜角度，則靜止液體作用在該平面的總壓力值不變，即靜止液體作用于淹沒平面上的總壓力與平面的傾斜角度無關。作用在靜止§2.4作用于平面上的液體總壓力

液體中任一淹沒平面上液體的總壓力也相當于以平面面積為底，平面形心淹深為高的柱體的液重。二、總壓力的作用點淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，即總壓力作用線與平面的交點，稱為壓力中心。由合力矩定理可知，總壓力對OX軸之矩等于各微元面積上的總壓力對OX軸之矩的代數和。在圖2-21中，作用在微元面積上的總壓力對OX軸的力矩為如果用yp表示OY軸上點O到壓力中心的距離，則按合力矩定理有§2.4作用于平面上的液體總壓力

式中為平面面積對OX的慣性矩。上式除以式(2-37)，得（2-39）根據慣性矩的平行移軸公式式中ICX—是面積對于通過它形心且平行于OX軸的軸線的慣性矩。因此，式(2-39)可以寫成（2-40）從這個方程式可以看到，壓力中心的位置與Θ角無關，即平面面積可以繞與OX軸平行且通過壓力中心的軸旋轉。由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方，隨淹§2.4作用于平面上的液體總壓力

沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。按照上述方法同理可求得壓力中心的x坐標（2-41）式中XC—平面形心x的坐標；

Ixy—平面面積對OXY坐標的兩軸的慣性矩；

Icxy—平面面積對于通過形心而平行于坐標系兩軸的慣性矩。通常，實際工程中遇到的平面多數是對稱的，因此壓力中心的位置是在平面對稱的中心線上，此時不必求xp的坐標值，只需求得yp坐標值即可。表2-2給出幾種常用截面的幾何性質?！?.4作用于平面上的液體總壓力截面幾何圖形面積A型心yc慣性距Icx

bh

1/2h1/12bh31/2bh2/3h1/36bh31/2h(a+b)§2.4作用于平面上的液體總壓力§2.4作用于平面上的液體總壓力

上述計算公式和方法同樣適用于靜止液體作用在垂直平面上的總壓力問題。下面介紹靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置的，壓強分布是均勻分布的，那么僅有液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：

F=ρghA

（2-42）總壓力的作用點是水平面面積的形心?？梢姡瑑H由液體產生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關。圖2-21中四個容器裝有同一種液體，根據式（2-42），液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關，這一現象稱為靜水奇象。換句話說，液體作用在容器上的總壓力不要和容器所盛液體的重量相混淆。工程上可以利用這一現象對容器底部進行嚴密性檢查?！?.4作用于平面上的液體總壓力圖2-21靜水奇象§2.4作用于平面上的液體總壓力【例2-6】圖2-22表示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點的位置。

【解】淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2

每米寬水閘左邊的總壓力為

由式(2-40)確定的作用點F1位置

§2.4作用于平面上的液體總壓力圖2-22§2.4作用于平面上的液體總壓力

其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以即F1的作用點位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為（Ｎ）同理F2作用點的位置在離底1/3h2=2/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為

F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假設凈總壓力的作用點離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即

(m)§2.5作用于曲面上的液體總壓力

電廠中有許多承受液體總壓力的曲面，主要是圓柱體曲面，如鍋爐汽包、除氧器水箱、油罐和弧形閥門等。由于靜止液體作用在曲面上各點的壓強方向都垂直于曲面各點的切線方向，各點壓強大小的連線不是直線，所以計算作用在曲面上靜止液體的總壓力的方法與平面不同。一、總壓力的大小和方向

圖2-23所示為一圓柱形開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強的情況。設曲面的寬度為b，在A處取一微小弧段ds，則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體產生的總壓力為§2.5作用于曲面上的液體總壓力CDBAxHhdFdFxdFzdsΘ圖2-23作用在圓柱體曲面上的總壓力§2.5作用于曲面上的液體總壓力

這一總壓力在OX軸與OZ軸方向的分力為：（2-43）（2-44）

1．水平分力由圖2-23可知，，代入到式(2-43)，則因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為（2-45）式中為曲面面積在垂直平面（OYZ坐標面）上的投影面積AX對OY軸的面積矩，它等于投影面積的形心到OY軸的距離與投影面積的乘積，即?！?.5作用于曲面上的液體總壓力

該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH，其形心hc=H/2，則（2-46）由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的水平分力等于作用在這一曲面的垂直投影面上的總壓力。F作用線的位置位于自由液面下2/3H處。

2．垂直分力由圖2-23可知，代入到式（2-44），則因此靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OZ軸方向的分力，即垂直分力為（2-47）§2.5作用于曲面上的液體總壓力

式中是曲面AB與自由液面間的柱體體積，在圖2-23上就是面積OAB乘以曲面的寬度b，這個體積稱為壓力體。由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，Fx的作用線通過壓力體的重心。

3．總壓力的大小和方向求得了靜止液體作用在曲面上水平分力Fx和垂直分力Fz后，就可確定靜止液體作用在曲面上的總壓力，即（2-48）總壓力與垂線間夾角的正切為（2-49）§2.5作用于曲面上的液體總壓力

二、總壓力的作用點總壓力的作用線通過Ｏ點Fx和Fz與作用線的交點?？倝毫ψ饔镁€與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用點，即壓力中心。三、壓力體的概念圖

壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。它的計算式是一個純數學體積計算式。作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內液體的重量，并且與壓力體內是否充滿液體無關。為了說明這一點，作圖2-24，它表示由兩個形狀、尺寸和淹深完全相同的曲面ab和a’b’所構成的容器，容器內盛有某種液體。曲面ab的壓力體是過曲面的a和b兩點引垂線到液面所得ab§2.5作用于曲面上的液體總壓力hdd’c’m’mcFzF’z圖2-24壓力體§2.5作用于曲面上的液體總壓力cd與容器的寬度構成的。而曲面a’b’的壓力體是過a’和b’兩點引垂線到液面延長面所得a’b’c’d’與容器寬度構成的。由于ab曲面和a’b’曲面的形狀、尺寸和淹深完全相同，所以這兩個壓力體的體積相等，因而靜止液體作用在曲面ab和a’b’曲面上總壓力的垂直分力的大小是相等的。作用在ab曲面上的垂直分力Fz與作用在a’b’曲面上的垂直分力F’z只是數值上相同，而方向是不同的。因為流體在ab曲面的上方，故Fz的方向向下；液體在a’b’曲面的下方，故F’z的方向向上。通常稱充滿液體的壓力體為實壓力體或正壓力體，如abcd；不充滿液體的壓力體稱為虛壓力體或負壓力體，如a’b’c’d’。四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序

(1)將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力Fz?！?.5作用于曲面上的液體總壓力(2)水平分力的計算，。

(3)確定壓力體的體積。

(4)垂直分力的計算，方向由虛、實壓力體確定。

(5)總壓力的計算，。

(6)總壓力方向的確定，。

(7)作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點即是?！?.5作用于曲面上的液體總壓力【例2-7】求圖2-25所示流體施加到水平放置的單位長度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側的流體是一種計示壓強為35kPa被密封的箱內的氣體；（b）如果圓柱體左側的流體是水，水面與圓柱體最高部分平齊，水箱開口通大氣。

【解】（a）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Az=[4-2(1-cos300)]×1

則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為

Ax=2sin300×1§2.5作用于曲面上的液體總壓力

則氣體作用在單位長度圓柱體上的垂直分力為

Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)

§2.5作用于曲面上的液體總壓力圖2-25§2.5作用于曲面上的液體總壓力【例2-8】圖2-26所示為一水箱，左端為一半球形端蓋，右端為一平板端蓋。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，試求兩端蓋所受的總壓力及方向。

【解】（1）右端蓋是一圓平面，面積為

A右=πR2

其上作用的總壓力有

F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）方向垂直于端蓋水平向右（2）左端蓋是一半球面，分解為水平方向分力Fx左和§2.5作用于曲面上的液體總壓力

垂直方向分力Fz左。

Fx左=ρg(h+R)Ax=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）方向水平向左垂直方向分力由壓力體來求，將半球面分成AB、BE兩部分，AB部分壓力體為ABCDEOA，即圖中左斜線部分，記為VABCDEOA，它為實壓力體，方向向下；BE部分壓力體為BCDEB，即圖中右斜線部分，記為VBCDEB

，它為虛壓力體，方向向上。因此總壓力體為它們的代數和。

Vp=VABCDEOA-VBCDEB=VABEOA§2.5作用于曲面上的液體總壓力Vp正好為半球的體積，所以

Vp=1/2×4/3×πR3Fz左=ρgVp=ρg2/3πR3=103×9.806×2/3×3.14×0.153=69.3(N)

方向垂直向下總作用力為（N）合力通過球心與水平方向夾角為§2.5作用于曲面上的液體總壓力圖2-26§2.6浮體與潛體的穩定性

一、浮力的原理如圖2-27所示，有一物體沉沒在靜止的液體中，它受到的靜水總壓力P可以分解成水平分力px、py和垂直分力pz。先確定水平分力。對于浸沒于液體中的物體，可以找到一個母線平行于x軸的水平外切柱面與物體相切的封閉曲線BCFD，該曲線將物體分成左右兩部分，作用于物體上沿著x方向的水平分力px就是這兩部分的外部曲面上的水平分力Px1與Px2之和，它們的大小各為相應曲面在垂直于軸的垂直投影面上的水壓力。而這兩部分在此垂直面上§2.6浮體與潛體的穩定性Pz1JKABCDEFPx2PzPx1Pz2圖2-27浮力原理§2.6浮體與潛體的穩定性

的投影面完全重合，故Px1與Px2大小相等，方向相反，因此Px=0。同理可得作用于物體上沿著y方向的水平分力Py=0。也就是浸沒于液體中的物體在各水平方向的總壓力為零。再確定垂直分力。作該物體的垂直外切柱面，與物體相切得封閉曲線ACED，將物體分成上下兩部分，由式（2-47）知，液體作用在上部分表面上的總壓力的垂直分力Pz1等于壓力體ABEKJ的液體重量，方向垂直向下，即

Pz1=ρgVABEKJ

液體作用在下部分表面上的總壓力的垂直分力Pz2等于壓力體AFEKJ的液體重量，方向垂直向上，即

Pz2=-ρgVAFEKJ§2.6浮體與潛體的穩定性

液體作用于整個物體上的總壓力的垂直分力Pz是上下兩部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即

Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB

負號表示方向向上。上面的分析結果同樣適用于漂浮在液面上的物體。此時，壓力體的形狀應為物體在自由液面以下部分的外表面與自由液面的延展面所包圍的空間的形狀，體積仍然為物體所排開的液體體積。綜上所述，液體作用在沉沒或漂浮物體上的總壓力的方向垂直向上，大小等于物體所排開液體的重量，該力又稱為浮力，作用線通過壓力體的幾何中心，又稱浮心，這就是著名的阿基米德原理。從上面的分析可以看出：浮力的存在就是物體表面上作用的液體壓強不平衡的結果?！?.6浮體與潛體的穩定性

一切浸沒于液體中或漂浮于液面上的物體都受到兩個力作用：一個是垂直向上的浮力，其作用線通過浮心；另一個是垂直向下的重力G，其作用線通過物體的重心。對浸沒于液體中的均質物體，浮心與重心重合，但對于浸沒于液體中的非均質物體或漂浮于液面上的物體重心與浮心是不重合的。根據重力G與浮力Pz的大小，物體在液體中將有三種不同的存在方式：

1．重力G大于浮力Pz

，物體將下沉到底，稱為沉體；

2．重力G等于浮力Pz

，物體可以潛沒于液體中，稱為潛體；

3．重力G小于浮力Pz

，物體會上浮，直到部分物體露出液面，使留在液面以下部分物體所排開的液體重量恰好§2.6浮體與潛體的穩定性

等于物體的重力為止，稱為浮體。阿基米德原理對于沉體、潛體和浮體都是正確的。二、浮體與潛體的穩定性上面提到的重力與浮力相等，物體既不上浮也不下沉，這是浮體和潛體維持平衡的必要條件。如果要求浮體和潛體在液體中不發生轉動，還必須滿足重力和浮力對任何一點的力矩的代數和為零，即重心C和浮心B在同一條鉛直線上。但這種平衡的穩定性（也就是遇到外界干擾，浮體和潛體傾斜后，恢復到原來的平衡狀態的能力）取決于重心C和浮心B在同一條鉛直線上的相對位置。對于潛體，如圖2-28（a）所示，重心C位于浮心B之下。若由于某種原因，潛體發生傾斜，使B、C兩點不在同一條鉛直線上，則重力G與浮力P將形成一個使潛體恢§2.6浮體與潛體的穩定性

恢復到原來平衡狀態的恢復力偶（或叫扶正力偶），以反抗使其繼續傾倒的趨勢。一旦去掉外界干擾，潛體將自動恢復原有平衡狀態。這種情況下的潛體平衡稱為穩定平衡。反之，如圖2-28（b）所示，重心C位于浮心B之上。潛體如有傾斜，使B、C兩點不復在同一條鉛直線上，則重力G與浮力P所形成的力偶，是一種傾覆力偶，將促使潛體繼續翻轉直到倒轉一個方位，達到上述C點位于B點之下的穩定平衡狀態為止。這種重心C位于浮心B之上、易于失穩的潛體平衡稱為不穩定平衡。第三種情況是重心C與浮心B重合，如圖2-28（c）所示。此時，無論潛體取何種方位，都處于平衡狀態。這種情況下的平衡稱為隨遇平衡?！?.6浮體與潛體的穩定性

對于浮體來說，如果重心高于浮心，它的平衡還是有穩定的可能，這是因為浮體傾斜后，浸沒在液體中的那部分形狀改變了，浮心的位置也隨之移動，而潛體的浮心并不因為傾斜而有所變化?！?.6浮體與潛體的穩定性圖2-28潛體穩定性§2.6浮體與潛體的穩定性§2.5

流體對壁面的作用力1.

靜止流體作用在平面上的總壓力流體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點上的平行力系的合力。通常情況下要研究的工程設備都處于大氣環境中，壁面兩側都受到大氣壓強的作用，因此只需按靜止流體的計示壓強去計算總壓力。xypaohhChDdFpdFxxCxDdACDA總壓力的大小和方向

在平面上取一微元面積dA，其中心的淹沒深度為h，到oy軸的距離為x，流體作用在該微元面積上的微元總壓力為：

在平面上積分上式，可得流體作用在平面上的總壓力：§2.5

流體對壁面的作用力上式中，為平面對oy軸的面積矩，xc為平面形心的x坐標，故：流體作用在平面上的總壓力等于以該平面為底、平面形心的淹沒深度為高的柱體內流體的重量，并垂直指向平面。四個容器底面上的總壓力相等§2.5

流體對壁面的作用力總壓力的作用點總壓力Fp對oy軸的力矩等于各微元總壓力對oy軸的力矩的代數和，即：式中，為面積A對oy軸的慣性矩，故有：

根據慣性矩平行移軸定理Iy=Icy+xc2A(Icy為面積A對通過其形心并平行于oy軸的坐標軸的慣性矩），代入上式，得：§2.5

流體對壁面的作用力同理可求得壓力中心的y坐標：若通過形心的坐標系中有任何一軸是平面的對稱軸，則Icxy=0，yD=yc，壓力