1.5.1曲邊梯形的面積這些圖形的面積該怎樣計算？說教學設想

1.曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Ox

y

a

b

y=f(x)一.

求曲邊梯形的面積x=ax=b

①、只有一邊是曲線

②、其他三邊是特殊直線

y=f(x)bax

yO

A1AA1.用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得AA1+A2用兩個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2AA1+A2+A3+A4用四個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2A3A4

y=f(x)bax

yOAA1+A2++An將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——以直代曲,無限逼近

2．曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積即求下的面積——分成很窄的小曲邊梯形，然后用矩形面積代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面積代替在不很窄時怎么辦？——以直代曲

例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

解:把底邊[0,1]分成n等份,然后在每個分點作底邊的垂線,這樣曲邊三角形被分成n個窄條,用矩形來近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來,得到一個近似值:因此,我們有理由相信,這個曲邊三角形的面積為:1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限用黃色部分的面積來代替曲邊梯形的面積，當曲邊梯形分割的越細，藍色部分面積就越小，就越接近曲邊梯形的面積.1、分割將曲邊梯形分割為等高的小曲邊梯形分割梯形分割x軸分割定義域“等分”“等分”“等分”區間長度：2、近似代替第i個小曲邊梯形…3、求和4、取極限第i個小曲邊梯形第i個小直邊“梯形”思考2、近似代替…3、求和4、取極限從小于曲邊梯形的面積來無限逼近從大于曲邊梯形的面積來無限逼近第i個小曲邊梯形求曲邊梯形的面積；其中曲邊為函數y=x2練習小結:求由連續曲線y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法有理由相信，分點越來越密時，即分割越來越細時，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。（1）分割

（2）求面積的和

把這些矩形面積相加作為整個曲邊形面積S的近似值。

（3）取極限

小結汽車行駛的路程引入思考結論一、定積分的定義如果當n∞時，S的無限接近某個常數，這個常數為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.定積分的定義：定積分的相關名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數，

f(x)dx—叫做被積表達式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區間。被積函數被積表達式積分變量積分下限積分上限按定積分的定義，有

(1)由連續曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為

(2)設物體運動的速度v=v(t)，則此物體在時間區間[a,b]內運動的距離s為定積分的定義：1x

yOf(x)=x2Ov

t12

說明：

(1)定積分是一個數值,

它只與被積函數及積分區間有關，而與積分變量的記法無關，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(2)定積分的幾何意義：Ox

yab

yf(x)

x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當f(x)0時，由yf(x)、xa、xb

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，x

yO=-．ab

yf(x)

y-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負值。

定積分的幾何意義：=-Sab

yf(x)Ox

y探究:根據定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab

yf(x)Ox

y三:定積分的基本性質性質1.性質2.三:定積分的基本性質定積分關于積分區間具有可加性性質3.Ox

yab

yf(x)Ｃ

性質3

不論a，b，c的相對位置如何都有ab

y=f(x)cOx

y例1：利用定積分的定義,計算的值.

例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1

利用定積分的幾何意義，判