第四章彎曲內力§4–1彎曲的概念和實例§4–2剪力和彎矩§4–3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4–4載荷集度、剪力和彎矩間的關系§4–5平面曲桿的內力圖第四章彎曲應力一、彎曲的概念受力特點：桿件受垂直于軸線的外力（包括外力偶）的作用。梁：以彎曲變形為主要變形的構件通常稱為梁。§4–1彎曲的概念和實例變形特點：軸線變成了曲線。F工程實例工程實例縱向對稱面軸線C二、平面彎曲的概念梁的橫截面有一對稱軸，外載荷作用在縱向對稱面內，桿發生彎曲變形后，軸線仍然在縱向對稱面內，是一條平面曲線。F1F2非對稱彎曲若梁不具有縱向對稱面，或者，梁雖具有縱向對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種彎曲則統稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算。C

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構件本身的簡化§4–2受彎桿件的簡化取梁的軸線來代替梁FalABFalAB(1)固定鉸支座

2個約束，1個自由度。(2)可動鉸支座

1個約束，2個自由度。2.支座簡化(3)固定端FxFyM3個約束，0個自由度。固定鉸可動鉸固定鉸可動鉸固定端3.梁的三種基本形式(1)簡支梁(2)外伸梁(3)懸臂梁FABqFFABF4.載荷的簡化MqFAB作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學方程不能求出支反力或不能求出全部支反力。FABqFABFFABqABF已知：F，a，l。解：(1)求支座反力§4–2剪力和彎矩求：距A端x處截面上內力。FABFAyFAxFBFalABbxFBFAFAyC（2）求內力——截面法剪力FS彎矩MFSMMFS取左段：ABFFBxmmFAy剪力和彎矩的正負號規定FsFs剪力彎矩順時針為正下凸為正內力的正負規定(以截面左右來定）（1）剪力FS:

左上右下為正;反之為負。+左上右下為正FSFS+FSFSFSFS（2）彎矩M：使梁變成上凹下凸的為正彎矩；反之為負彎矩。MM(+)左順右逆為正可以裝水為正MMMM(+)MM(–)（2）彎矩M：使梁變成上凹下凸的為正彎矩；反之為負彎矩。MM(+)左順右逆為正可以裝水為正MMMM(+)MM(–)MM切面法切→取→代→平（靜力平衡方程)∑Y=0Fs+∑Y方向的外力=0Fs=Y方向的外力代數和Fs簡易法求剪力Fs10kN6m4kN4kN9kN10kN4kN9kN4kNFs外力對切面產生順時針轉動取正所有外力在剪力方向投影的代數和即為此處剪力順Fs=9-4=5kNFs=10+4-9=5kN切面法切→取→代→平（靜力平衡方程)∑M=0M+∑外力矩=0M=外力矩代數和簡易法求彎矩M9kN10kN4kN9kN4kN向上的外力產生正彎矩向下的外力產生負彎矩上MM10kN4kN4kN1221左:M=9×2-4×1=14kN.m右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m切面法求離左邊4m處的內力左:∑MO=0M=-1×4+6=2kN.m外力偶左順為正簡易法求彎矩M（碰到集中外力偶）左順右逆MM左:M=-1×2=-2kN.m右:M=1×4-6=-2kN.m6kN.m3m3m簡易法求得4m處的Fs=－1kN6kN.m1kN右:M=1×2=2kN.m1kN求離左邊2m處的內力???Ⅱ.剪力方程和彎矩方程·

剪力圖和彎矩圖

分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規律。顯示這種變化規律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應力

例題4-1圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應力(a)距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據截面右側梁段上的荷載有解：1.列剪力方程和彎矩方程當求懸臂梁橫截面上的內力(剪力和彎矩)時，若取包含自由端截面的一側梁段來計算，則可不求出約束力。第四章彎曲應力FS(x)2.

作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c。按照習慣，正值的剪力值繪于x軸上方，正的彎矩值繪于x軸的下方(即繪于梁彎曲時受拉的一側)。第四章彎曲應力(b)(c)梁橫截面上最大剪力值？最大彎矩值？位置？第四章彎曲應力(b)(c)(a)

求梁的指定截面內力注簡易法意義大要求熟準快Fs順；M上、左順

例題4-2圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束力第四章彎曲應力(a)2.

列剪力方程和彎矩方程FS(x)第四章彎曲應力由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為(正值，負值)，發生在兩個支座各自的內側橫截面上；最大彎矩其值為發生在跨中橫截面上。3.作剪力圖和彎矩圖第四章彎曲應力簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計算情況，初學者對于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計算公式應牢記在心！第四章彎曲應力

例題4-3圖a所示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應力F(a)解：1.

求約束力2.列剪力方程和彎矩方程此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內任意橫截面同一側梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章彎曲應力FAC段梁FS(x)CB段梁第四章彎曲應力FFxFS(x)3.作剪力圖和彎矩圖如圖b及圖c。由圖可見，在b>a的情況下，AC段梁在0<x<a的范圍內任一橫截面上的剪力值最大，；集中荷載作用處(x=a)橫截面上的彎矩值最大，。第四章彎曲應力(b)(c)4.

討論由剪力圖可見，在梁上的集中力(包括集中荷載和約束力)作用處剪力圖有突變，這是由于集中力實際上是將作用在梁上很短長度x范圍內的分布力加以簡化所致。若將分布力看作在x范圍內是均勻的(圖a),則剪力圖在x范圍內是連續變化的斜直線(圖b)。從而也就可知，要問集中力作用處梁的橫截面上的剪力值是沒有意義的。第四章彎曲應力

例題4-4圖a所示簡支梁在C點受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應力解：1.

求約束力2.列剪力方程和彎矩方程

此簡支梁的兩支座之間無集中荷載作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意橫截面同一側的集中力相同，從而可知兩段梁的剪力方程相同，即第四章彎曲應力xxFS(x)FS(x)至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：CB段梁：第四章彎曲應力xxFS(x)FS(x)3.作剪力圖和彎矩圖第四章彎曲應力如圖可見，兩支座之間所有橫截面上剪力相同，均為。在b>a的情況下，C截面右側(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大，為（負值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在梁上很短長度范圍內的分布力矩的簡化。第四章彎曲應力思考1：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。試問：(a)此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？(b)荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。第四章彎曲應力思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問：

(a)如果分別在中間鉸左側和右側作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？

(b)如果分別在中間鉸左側和右側作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？第四章彎曲應力C思考3：根據對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。(a)結構對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為反對稱；(b)結構對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。第四章彎曲應力一、剪力、彎矩與分布荷載間的關系取一微段dx，

進行平衡分析。q(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)FS(x)M(x)dxA剪力的導數等于該點處荷載集度的大小。

§4–5載荷集度、剪力和彎矩間的關系dxx彎矩圖的導數等于該點處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關系。忽略高階微量q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)FS(x)M(x)dxA1、若q=0，則FS=常數，M是斜直線；2、若q=常數，則FS是斜直線，M為二次拋物線；3、M的極值發生在FS=0的截面上。二、剪力、彎矩與外力間的關系外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS圖特征M圖特征CMe水平直線xFSFS>0FSFS<0x斜直線增函數xFSxFS降函數xFSCFS1FS2FS1–FS2=F向下突變xFSC無變化斜直線曲線有折角向下突變CFxM增函數xM降函數xMxM

MxM1M2

Mx4、將微分關系轉為積分關系Fs、M圖簡易畫法1、q=0區Fs圖M圖V+V-2、q=c區Fs圖q↓q↑M圖q↓q↑3、Fs=0M圖拋物線頂點或是水平線Fs、M圖簡易畫法4、集中力處Fs圖跳變PM圖不跳變5、利用q、v圖的面積求特定點的F、MP集中力偶處mFs圖不變M圖跳變mF2=F1+SqSqq向下為負M2=M1+SFsSFs同Fs正負號簡易作圖法:利用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作圖的方法。[例]用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。解:

特殊點:端點、分區點（外力變化點）和駐點等。aaqaqACBFSxqa2qa–xM根據及FS圖和M圖的特征作圖。aaqaqACB–簡易法畫Fs、M圖qlql/2ql/2⊕⊙Fs(kN)M(kN.m)ql2/8pp/2FsMPl/4簡易法畫Fs、M圖Pba/lMPb/lFsFCA=Pb/lFCB=Pa/lPabBCAPa/lCPPb/lPa/l簡易法畫Fs、M圖mm/lFsMml⊙m/lmmm/l簡易法畫Fs、M圖ma/lMmabBCAm/lFs⊙mb/lma/lCmmb/lMCA=ma/lMCB=mb/l簡易法畫Fs、M圖舉例A20kNDCB2m4kN/m求出RB=20kNRD=8kNFA=0kNFs(kN)FB=-8kN8128MA=0KN.mMB=SFs=-8KN.mMD=0KN.mM(KN.m)816⊕⊙⊙簡易法畫Fs、M圖舉例求出RA=6kNRC=18kNFs(kN)18MA=MC=0MBA=SFs=12kN.mMBC=24kN.mM(KN.m)612⊕⊙A12kNmCB6kN/mB點;Fs=0處？？12B122424MO=24+SV=2727疊加法簡介+疊加法簡介+mAmAmBmBql2/8區段疊加法6CBADB66481.56×2×4/6=83×2×2/8=1.5CBAD246kN23kN/m一、平面剛架1.平面剛架§4–6平面剛架和曲桿的內力圖F1F2alABC特點：剛架各桿的內力有：FN、FS、M。同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互