五種利息支付方式：dd(p)/p

d(p)/pd(p)/p…………d(p)/pi(p)/p

i(p)/pi(p)/p…………i(p)/pi時間01/p2/p3/p(p-1)/p11111利息貼現

在日常生活零存整取、債務分期償還等都是在相等的時間間隔上做的一系列支付，我們稱之為年金。

第2章年金

(Annuity)

年金，是定期或不定期的時間內一系列的現金流入或流出。

年金的分類一般地，年金可以分為如下的兩大類：

1.

確定年金：只要事先約定就會確定支付的年金；

2.

或有年金：收付的發生，以某指定事件是否發生而定.比如，生存年金以被保險人生存為支付年金的先決條件.其它分類方法收付時點不同：

1.普通年金或期末付年金

2.預付年金或期初付年金時間期限不同：定期、延期、永續年金.時間間隔不同：年度、一年多次、連續年金.利率變動與否：變動利率年金和不變利率年金。標準年金確定年金的標準型：由于年金的形式多種多樣，為了便于研究，常常確定一個年金的標準型。標準年金：指付款時間間隔相等、每次付款額相等、在整個付款期內利率不變且計息轉換周期與付款周期相同的年金。

2.1

確定年金的現值(1)n年定期年金的現值..例1：某君從銀行借款20,000元，規定在今后十年內等額還清，還款時間為每年年末，若貸款復年利率為5%，求每年的還款額.例2：某君從銀行借款50000元，計劃從第7個月開始每月底等額還款，從借款時算起，期限3年還清.設復年利率為6%（不是名義利率），求每月的還款額X.分析：還款周期為月，3年為36個月，因為從第7個月開始還款，必須30個月還清.

我們先計算還款的現金流在第7個月初的現值，然后，再計算它在借款時的現值...2.2年金終值

(AccumulatedValueofAnnuity)年金終值是一項年金在全年金收付期末的價值，它等于一系列等額收付款在年金收付期末的終值之和.(1)n年定期年金的終值n-1n-2年金特點：每年年末支付1元，一共支付n次n-2等比數列{an}的前n項之和

總結:基本年金公式推導例4：某君每月初存款50元，共存了10年，設年利率為9%（不是名義利率）.問：如果按復利計算，則10年末能得多少元？2.3變額年金n

年定期遞增年金(期末收付年金):

12kn金額012kn

年份第一年末收付1元，以后每年末收付增加1元，一共收付n

次。求其現值：....期末收付時的終值期初收付n

年定期遞減年金期末收付：n

n?1

1

金額012n

年份第一年末收付n元，以后每年末收付減少1元，一共收付n

次。期末收付期初收付永續遞增年金2.2.4連續年金t變動利率年金的現值當年金每年的利率并不固定時，就是一個變動利率年金。設第t年的年實際利率為it,年金額為1，期末支付。則變動利率年金的現值計算分為兩種：

1.每次支付的現值都是以支付時的利率計算

2.每筆支付在不同的時期都以當期利率計算2.5年金例題

在日常生活零存整取、債務分期償還等都是在相等的時間間隔上做的一系列支付，我們稱之為年金。

第2章年金

(Annuity)

年金，是定期或不定期的時間內一系列的現金流入或流出。

年金的分類一般地，年金可以分為如下的兩大類：

1.

確定年金：只要事先約定就會確定支付的年金；

2.

或有年金：收付的發生，以某指定事件是否發生而定.比如，生存年金以被保險人生存為支付年金的先決條件.其它分類方法收付時點不同：

1.普通年金或期末付年金

2.預付年金或期初付年金時間期限不同：定期、延期、永續年金.時間間隔不同：年度、一年多次、連續年金.利率變動與否：變動利率年金和不變利率年金。標準年金確定年金的標準型：由于年金的形式多種多樣，為了便于研究，常常確定一個年金的標準型。標準年金：指付款時間間隔相等、每次付款額相等、在整個付款期內利率不變且計息轉換周期與付款周期相同的年金。

2.1

確定年金的現值(1)n年定期年金的現值..例1：某君從銀行借款20,000元，規定在今后十年內等額還清，還款時間為每年年末，若貸款復年利率為5%，求每年的還款額.例2：某君從銀行借款50000元，計劃從第7個月開始每月底等額還款，從借款時算起，期限3年還清.設復年利率為6%（不是名義利率），求每月的還款額X.分析：還款周期為月，3年為36個月，因為從第7個月開始還款，必須30個月還清.

我們先計算還款的現金流在第7個月初的現值，然后，再計算它在借款時的現值...2.2年金終值

(AccumulatedValueofAnnuity)年金終值是一項年金在全年金收付期末的價值，它等于一系列等額收付款在年金收付期末的終值之和.(1)n年定期年金的終值n-1n-2年金特點：每年年末支付1元，一共支付n次n-2等比數列{an}的前n項之和

總結:基本年金公式推導例4：某君每月初存款50元，共存了10年，設年利率為9%（不是名義利率）.問：如果按復利計算，則10年末能得多少元？2.3變額年金n

年定期遞增年金(期末收付年金):

12kn金額012kn

年份第一年末收付1元，以后每年末收付增加1元，一共收付n

次。求其現值：....期末收付時的終值期初收付n

年定期遞減年金期末收付：n

n?1

1

金額012n

年份第一年末收付n元，以后每年末收付減少1元，一共收付n

次。期末收付期初收付永續遞增年金2.2.4連續年金t變動利率年金的現值當年金每年的利率并不固定時，就是一個變動利率年金。設第t年的年實際利率為it,年金額為1，期末支付。則變動利率年金的現值計算分為兩種：

1.每次支付的現值都是以支付時的利率計算

2.每筆支付在不同的時期都以當期利率計算2.5年金例題........例8某公司決定用五年時間建立一筆專用基金，辦法如下：每年初存入一筆款，數量為逐年等額遞減2萬元。從第六年開始每年末提取1萬元作為獎金。假如年利率為3%，求第一年初的存款額。解：設第一年存款額為X萬元。分解與平衡（一）01234567.....XX-2X-4X-6X-8011……..分解XXXXX0-2-4-6-811……..平衡點選擇平衡關系式：收入現金流的終值=支出現金流的現值....分解與平衡（二）01234567.....XX-2X-4X-6X-8011……..分解XXXXX0-2-4-6-811……..平衡點選擇平衡關系式：收入現金流的現值=支出現金流的現值

為什么是5次方？..........2.6隨機現金流的期望現值下面，我們討論資金的期望價值.習題3、某君每月初存款100元，共存了5年，設年利率為5%，問：如果按復利計算，則5年末能得多少元？4、某單位每年末存入銀行20萬元，5年后，每年末取出一部分作為專項獎勵基金發放，共發放8年，每年發放金額相等，若年利率按3%計算，求每年能發放的最大金額。01234567AAABBBB5%7%5、如圖所示，考慮一個兩階段的年初付的變額年金：第一階段：1~3年，金額A=100元，年利率=5%；第二階段：4~7年，金額B=200元，年利率=7%。按復利計算此年金的現值及終值。6、有一項年金，第一年初支付100元，以后每年遞增100元，直至永遠，如果年利率為3%，求其現值。假如該年金規定10年后可以按新的年利率等額支付，仍為永續年金，假設新的利率為5%，在原有基金的基礎上，求10年后每年的支付額。假若，10年后改為5年定期等額年金，年利率為5%，求每年的支付額。7、有一項特殊年金，第一年末支付1000元，然后每年遞增500元，增加到最高值10萬元后，又逐年遞減，每年減少1萬元，減到5萬元后保持不變，直至永遠，年利率恒為5%，求其現值。0123…199200201202203204205…