拋物線的幾何性質(zhì)

我們根據(jù)拋物線的標準方程y2=2px(p>0)

來研究它的一些幾何性質(zhì).1．范圍：

因為p>0，由方程可知，這條拋物線上任意一點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸，它的開口向右。2．對稱性：

以－y代替y，方程不變，因此這條拋物線是以x軸為對稱軸的對稱圖形，拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。3．頂點：

拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點，在方程中，當x=0時，y=0，因此這條拋物線的頂點坐標就是坐標原點(0，0).

4．離心率：

拋物線上的點與焦點和準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示，按照拋物線的定義，e=1.例1．已知拋物線以x軸為軸，頂點是坐標原點，且開口向右，又拋物線經(jīng)過點M(4，2)，求它的標準方程。解：根據(jù)已知條件，設拋物線的方程為y2=2px(p>0).

因此所求的拋物線的方程是y2=3x.

因為點M(4，2)在拋物線上，所以(2)2=2p·4，即2p=3，例2．汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處，已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(即截得拋物線的頂點)距離是多少？解：取反射鏡的軸即拋物線的軸為x軸，拋物線的頂點為坐標原點，建立直角坐標系xOy，

因為燈口直徑|AB|=24，燈深|OP|=10，所以點A的坐標是(10，12)，設拋物線的方程是y2=2px(p>0).

因為點A(10，12)在拋物線上，得122=2p×10，所以p=7.2，

拋物線的焦點F的坐標為(3.6，0)，因此燈泡與反射鏡的頂點的距離是3.6cm.

在平面直角坐標系上，頂點在原點、軸與坐標軸重合的拋物線有四種位置情況，因此拋物線的方程相應的有四種形式，它們都叫做拋物線的標準方程，它們的推導過程類同。

設拋物線的焦點到準線的距離為p(p>0)，上述拋物線的方程的四種形式列表如下：

例4．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上，求這個正三角形的邊長。

解：設正三角形OAB的頂點在拋物線上，且坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，

則y12=2px1，y22=2px2，

又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22，即(x1+x2)(x1－x2)=y22－y12=2p(x2－x1)，所以(x1－x2)(x1+x2+2p)=0，由于x1+x2+2p>0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即線段AB關于x軸對稱所以x軸垂直于AB，∠AOx=30°，所以因為x1=所以y1=2p，|AB|=2y1=4p，所以這個正三角形的邊長為課堂練習1．拋物線y=－x2的焦點坐標是（

）

（A）(0，)（B）(0，－)

（C）(，0)（D）(－

，0)B2．已知拋物線的焦點坐標是(0，－3)，則拋物線的標準方程為（

）

（A）x2=－12y

（B）x2=12y

（C）y2=－12x

（D）y2=12xA3．已知拋物線的準線方程為x=－7，則拋物線的標準方程為（

）

（A）x2=－28y

（B）y2=28x

（C）y2=－28x

（D）x2=28yB4．焦點在直線3x－4y－12=0上的拋物線的標準方程為（

）

（A）x2=16y或y2=12x

（B）y2=16x或x2=12y

（C）y2=16x或x2=－12y

（D）x2=16y或y2=－12xC5．拋物線y=ax2（a<0）的焦點坐標是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）B6．拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其上有一點A(4，m)，其到準線的距離為6，則m=

.±47．已知x2+y2－6x－7=0與拋物線y2=2px(p>0)的準線相切，則p=

.2例．過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A,B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．設