第八節函數與方程

【教材·知識梳理】1.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y=f(x)(x∈D)，把使_______的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點.(2)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是_________的一條曲線，并且有_____________，那么，函數y=f(x)在區間_______內有零點，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0連續不斷f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)=02.二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)

與x軸的交點___________________無交點零點個數______(x1,0),(x2,0)(x1,0)210【常用結論】有關函數零點的結論(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.(2)連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點. (

)(2)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點. (

)(3)函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點(函數圖象連續不斷),則f(a)·f(b)<0.(

)(4)若f(x)在區間[a,b]上連續不斷,且f(a)·f(b)>0,則f(x)在(a,b)內沒有零點.(

)提示:(1)×.函數的零點是函數圖象與x軸交點的橫坐標.(2)√.當b2-4ac<0時,拋物線與x軸無交點,故沒有零點.(3)×.函數圖象若沒有穿過x軸,則f(a)·f(b)>0.(4)×.若在區間[a,b]內有多個零點,f(a)·f(b)>0也可以.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽略零點存在性定理考點一、T1,42忽略指數函數的底數考點一、T33忽略x的取值范圍考點二、T24忽略周期性的作用考點二、T35忽略新元的范圍考點三、角度2【教材·基礎自測】1.(必修1P75習題2-4AT3改編)下列函數圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求圖中函數零點的是 (

)【解析】選A.根據二分法的概念可知A不能用二分法求零點.2.(必修1P75習題2-4BT2改編)函數f(x)=lnx-的零點所在的大致區間是(

)

A.(1,2) B.(2,3)C.和(3,4) D.(4,+∞)【解析】選B.因為f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,且函數f(x)的圖象連續不斷,f(x)為增函數,所以f(x)的零點在區間(2,3)內.3.(必修1P72練習BT1改編)函數f(x)=的零點個數為________.

【解析】作函數的圖象如圖所示,由圖象知函數f(x)有1個零點.答案:1【解題新思維】利用“三個二次”之間的關系解題

【結論】二次函數零點分布情況設二次函數y=ax2+bx+c(a>0)對應方程ax2+bx+c=0的根為x1,x2,其零點分布情況如下:【典例】若函數f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的兩個零點分別在區間(-1,0)和區間(1,2)內,則m的取值范圍是________.

【解析】依題意,結合函數f(x)的圖象(圖略)分析可知,m需滿足答案:

【遷移應用】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是

(

)