報班地址：天明路校區——鄭州市農業路與天明路怡豐新都匯8號樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數學第14頁（共15頁）報班地址：龍子湖校區——鄭東新區龍子湖北路與博學路交叉口向南200米學府廣場B座13樓電話：0371—5581962015638117707150361028972007年河南省普通高等學校選拔優秀專科生進入本科階段學習考試高等數學答案及解析一.單項選擇題（每題2分，共計50分）1.答案：D【解析】：子集個數.2.答案：B【解析】：.3.答案：A【解析】：根據常用等價關系知，只有與比較不是等價的.應選A.4.答案：C【解析】：；.5.答案：C【解析】：.6.答案：B【解析】：單調增加；凸的.應選B.7.答案：A【解析】：，應選A.8.答案：C【解析】：.9.答案：B【解析】：.10.答案：B【解析】：根據不定積分與原函數的關系知，.應選B.11.答案：A【解析】：.12.答案：D【解析】：.13.答案：C【解析】：由積分和積分的收斂性知，收斂，應選C.14.答案：C【解析】：分析結果，就能知道選擇C.15.答案：B【解析】：.16.答案：C【解析】：經過軸的平面可設為，把點代入得應選C.也可以把點代入所給的方程驗證，且不含.17.答案：A【解析】：把中換成得，應選A.18.答案：B【解析】：.19.答案：C【解析】：.20.答案：A【解析】：令，應選A.答案：C【解析】：：從0變到1，.答案：C【解析】：對級數、需要利用積分判別法，超出大綱范圍.級數有結論：當時收斂，當時發散.級數、與級數利用比較判別法的極限形式來確定發散的，應選C.答案：D【解析】：令，級數化為收斂區間為，即.答案：B【解析】：不是特征方程的特征根，特解應設為.應選B.答案：A【解析】：有.二、填空題（每題2分，共30分）答案：【解析】：.答案：0【解析】：構造級數，利用比值判別法知它是收斂的，根據收斂級數的必要條件.答案：【解析】：.答案：【解析】：.答案：【解析】：.答案：1【解析】：.32.答案：【解析】：；.33.答案：【解析】：.34.答案：【解析】：.35.答案：【解析】.36.答案：【解析】：.37.答案：【解析】：.38.答案：【解析】：，所以次序交換后為.39.答案：【解析】：，而，所以.40.答案：【解析】：有二重特征根1，故通解為（為任意常數）.三、判斷題（每小題2分，共10分）你認為正確的在題后括號內劃“√”，反之劃“×”.41.答案：×【解析】：如數列單調，但發散，應為×.42.答案：×【解析】：如在滿足上述條件，但存在，使得，應為×.答案：×.【解析】：第二步不滿足或，是錯誤的，事實上.應為×.44.答案：√.【解析】：因，由定積分保序性知，，應為√.45.答案：√.【解析】：在點處可微可得在點處連續，反之不成立，應為應為√.四、計算題（每小題5分，共40分）46．求.【解析】：.47.求函數的導數.【解析】：兩邊取自然對數得，（1分）兩邊對求導得：，（3分）即，（4分）故.（5分）48.求不定積分.【解析】：（1分）（3分）--（4分）.（5分）49.計算定積分.【解析】：因，所以（2分）（4分）

.（5分）50.設，且為可微函數，求.【解析】：令，有，利用微分的不變性得（3分）（4分）（5分）51．計算，其中為圓環區域：.【解析】：積分區域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標表示分別為，；故積分區域在極坐標系系下為圖07-1，（2分）圖07-1故（3分）（4分）.（5分）52．將展開為的冪級數，并寫出收斂區間.【解析】：因；（2分）.所以；.--（3分）故--（4分）.--（5分）53．求微分方程的通解.【解析】：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，（1分）它對應的齊次方程的通解為，（2分）設原方程有通解，代入方程得，即，--（3分）所以，（4分）故所求方程的通解為.（5分）五、應用題（每題7分，共計14分）54.某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池，設計該池容積為V立方米，底面造價每平方米元，側面造價每平方米元,問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？【解析】：設長方體的長、寬分別為，則高為，又設造價為，（1分）由題意可得；（3分）而在定義域內都有意義.令得唯一駐點，（5分）由題可知造價一定在內部存在最小值，故就是使造價最小的取值，此時高為.所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時，工程造價最低.（7分）圖07-255.設平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2（1）平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積.【解析】：平面圖形D如圖07-2所示：（1分）取為積分變量，且（1）平面圖形D的面積為（3分）.（4分）（2）平面圖形D繞軸旋轉一周所生成旋轉體的體積為.（7分）或.六、證明題（6分）56.若在上連續，則存在兩個常數與，對于滿足的任意兩點，證明恒有.【證明