第1講 等差數列、等比數列的基本問題高考定位 1.等差、等比數列基本運算和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現；2.數列的通項也是高考熱點，常在解答題中的第 (1)問出現，難度中檔以下.真題感悟1.(2017全·國Ⅰ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A.1B.2C.4D.8解析設{an的公差為，由a4＋a5＝24，2a1＋7d＝24，}dS6＝48，d4.6a1＋15d＝48，答案C2.(2017全·國Ⅱ卷)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的 2倍，則塔的頂層共有燈

(

)A.1

盞

B.3盞C.5盞

D.9盞解析 設塔的頂層的燈數為 a1，七層塔的總燈數為 S7，公比為q，則依題意 S7381，公比q＝2.a1（1－27）∴11－2答案B3.(2017全·國Ⅲ卷)等差數列n，公差不為2，a3，a6成等比數{a}的首項為10.若a列，則{an}前6項的和為()A.－24B.－3C.3D.8解析根據題意得a32＝2·6，aa即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以6＝6a1＋6×56×5×(－2)＝－24.S2d＝1×6＋2答案A4.(2017全·國Ⅱ卷)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；(2)若T3＝21，求S3.解(1)設{an}公差為d，{bn}公比為q，－1＋d＋q＝2，由題設得 2－1＋2d＋q＝5d＝1， d＝3，解得 或 (舍去)，q＝2 q＝0故{bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)由已知得－1＋d＋q＝2，q＝4，q＝－5，2＝21，解得＝－或＝1＋q＋qd1d8.∴當q＝4，d＝－1時，S3＝－6；當q＝－5，d＝8時，S3＝21.考點整合1.等差數列(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）＝na1＋n（n－1）d；2 2(3)性質：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?，成等差數列.2.等比數列n＝a1n－1≠；(1)通項公式：aq(q0)求和公式：a1（1－qn）＝a1－anq(2)q＝1，S1－q1－q(3)性質：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?(Sm≠0)成等比數列.溫馨提醒 應用公式an＝Sn－Sn－1時一定注意條件n≥2，n∈N*.熱點一等差、等比數列的基本運算【例1】(1)(2015全·國Ⅰ卷)已知{an是公差為1的等差數列，n為{an的前n項}S}和.若S8＝4S4，則a10＝()1719A.2B.2C.10D.12(2)(2016全·國Ⅰ卷)設等比數列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2?an的最大值為________.解析 (1)設等差數列的首項為 a1，8×（8－1）×1則S8＝8a1＋ ＝8a1＋28，24×（4－1）×1S4＝4a1＋ ＝4a1＋6，2因為S8＝4S4，即8a1＋28＝16a1＋24，1119所以a1＝2，則a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9＝2.(2)由于{an}是等比數列，設an＝a1qn－1，其中a1是首項，q是公比.a1＋a3＝10，2＝10，a1＝8，a1＋a1q所以24＝5，即113解得1a＋aaq＋aq＝5，q＝2.n1n－4故a＝2，1（－3）＋（－2）＋?＋（n－4）所以a1·a2·?·an＝21n（n－7）n-721211-49＝224.＝22當n＝3或4時，17249取得最小值－6，2n－2－41n-27-49此時1224取得最大值26.2所以a1·2·?·n的最大值為64.aa答案(1)B(2)64探究提高1.第(2)題求解的思路是：先利用等比數列的通項公式構建首項a1與公比q的方程組，求出a1，q，得到{an}的通項公式，再將a1a2·?·an表示為n的函數，進而求最大值.2.等差(比)數列基本運算的解題途徑：(1)設基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程組：把條件轉化為關于 a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量.【訓練1】(1)(2017哈·爾濱模擬)設Sn為等比數列{an的前n項和，3＝8a6，則}aS4的值為()S21A.2B.25C.4D.5(2)(2017北·京卷)若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則a2＝________.b2解析(1)由a＝8a6，得a3＝3，解得＝124a11－21則S41－25＝12＝.S2a11－4211－2(2){an}為等差數列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}為等比數列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，q＝－2，∴b2＝b1·q＝2.a2 2則b2＝2＝1.答案 (1)C (2)1熱點二 等差(比)數列的性質【例2】(1)(2017漢·中模擬)已知等比數列{an的前n項積為Tn，若log22＋log28}aa＝2，則T9的值為()A.±512B.512C.±1024D.1024(2)(2017北·京海淀區質檢已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S＝2a－2，若)nn數列{bn}滿足bn＝10－log2an，則使數列{bn}的前n項和取最大值時的n的值為________.解析(1)由log22＋28＝，得228＝，所以28＝，則5＝±，aloga2log(aa)2aa4a2等比數列{an}的前9項積為T9＝a1a2?a＝9＝±8a9(a5)512.(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1時，a1＝2a1－2，解得a1＝2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，an＝2an－1.數列{an}是公比與首項都為2的等比數列，∴an＝2n.bn＝10－log2an＝10－n.由bn＝10－n≥0，解得n≤10.∴使數列{bn}的前n項和取最大值時的 n的值為9或10.答案 (1)A (2)9或10探究提高 1.利用等差(比)性質求解的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當的性質進行求解 .2.活用函數性質：數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題 .【訓練2】(1)(2017貴·陽質檢)等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a9＝16，則S11＝()A.88B.48C.96D.176(2)(2017開·封質檢)設等比數列n項和為n，若Sm－1＝5，Sm＝－11，{a}的前nSm＋1＝21，則m等于()SA.3B.4C.5D.611（a1＋a11）11（a3＋a9）11×16解析(1)依題意得S11＝2＝2＝2＝88.(2)在等比數列中，因為Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.am＋132＝－2，則公比q＝am＝－16因為Sm＝－11，a1[1－（－2）m]所以1＋2＝－11，①又am＋1＝a1(－2)m＝32，②兩式聯立解得m＝5，a1＝－1.答案 (1)A (2)C熱點三 等差(比)數列的判斷與證明【例3】(2014·全國Ⅰ卷)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ為常數.(1)證明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由 .(1)證明 由題設，anan＋1＝λSn－1，①知an＋1an＋2＝λSn＋1－1，②②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.(2)解 由題設可求a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列.【遷移探究1】若把本例題的條件 a1＝1變為a1＝2，求解問題(2).解由題設，a1＝2，a1a2＝λS1－1，可得a2＝2λ－1，2由(1)知a3－a1＝λ，則a3＝λ＋2.若{an}為等差數列，則2a2＝a1＋a3，則2λ－1＝2＋(λ＋2)，解得λ＝5.9此時a1＝2，a2＝2，a3＝7，所以an＝5n－1，an＋1＝5n＋4，ann＋1＝25n2＋15n－4.22a4λS－1＝5（－）－1＝25n2＋15n－42n＋nn1×5，n224顯然anan＋1與λSn－1恒相等，所以存在 λ＝5，使得{an}為等差數列.【遷移探究2】在本例題(2)中是否存在λ，使得{an}為等比數列？并說明理由 .解由題設，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}為等比數列，則a22＝a1a3，即(λ－1)2＝λ＋1，解得λ＝0或3.當λ＝0時，由anan＋1＝λSn－1，得anan＋1＝－1，又a1＝1，所以a2＝－1，a3＝1，?，an＝(－1)n－1.所以數列{an}是首項為1，公比為－1的等比數列，當λ＝3時，由a1＝1，a2＝λ－1＝3－1＝2，a3＝λ＋1＝4.顯然an＝2n－1，此時anan＋1＝2n－12n＝22n－1，λSn－1＝3×1×（1－2n）－1＝3·2n－4，顯然anan＋1與λSn－1不是恒相等，與已1－2知條件矛盾，所以 λ≠3.綜上可知，存在實數 λ＝0時，使得{an}為等比數列.探究提高 1.本例題常見錯誤：(1)忽略an＋1≠0，由an＋1(an＋2－an)＝λan＋1直接得出an＋2－an＝λ.(2)由{a2n－1}是等差數列，{a2n}是等差數列，直接得出數列 {an}為等差數列.2.判定等差(比)數列的主要方法：(1)定義法：對于任意 n≥1，n∈N*，驗證an＋1an或an＋1為與正整數n無關的一常數.an(2)中項公式法①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)且an≠0，則{an}為等比數列.【訓練3】(2017·全國Ⅰ卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和.已知S2＝2，S3＝6.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數列.解(1)設{an}的公比為q，由題設可得a1（1＋q）＝2，a1（1＋q＋q2）＝－6，解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通項公式為an＝(－2)n.1（1－qn）－2[1－（－2）n(2)由(1)得Sn＝a1－q＝1－（－2）]2n＝3[(－2)－1]，2n＋12n＋2則Sn＋1＝3[(－2)－1]，Sn＋2＝3[(－2)－1]，2n＋12n＋22n4n所以Sn＋1＋Sn＋2＝3[(－2)－1]＋3[(－2)－1]＝3[2(－2)－2]＝3[(－2)－1]＝2Sn，∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數列.熱點四 等差數列與等比數列的綜合問題【例4】(2017·貴陽質檢)已知數列{an}是等比數列，并且 a1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數列.(1)求數列{an}的通項公式；16(2)設bn＝a2n，記Sn為數列{bn}的前n項和，證明：Sn<3.(1)解 設等比數列{an}的公比為q，因為a1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數列，a2＋1＝a1－3，所以a3＝（a2＋1）－3，a1q－a1＝－4，1即a1q2－a1q＝－2，解得a1＝8，q＝2.－11n－14－n＝8×＝所以an＝a1q22.bn＋1a2n＋21(2)證明因為bn＝a2n＝4，所以數列{bn}是以b1＝a2＝4為首項，14為公比的等比數列.41n1n1－41616所以Sn＝1＝3·1－4<3.1－4探究提高1.等差數列與等比數列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便 .2.數列的項或前 n項和可以看作關于 n的函數，然后利用函數的性質求解數列問題.【訓練4】(2017·北京卷)已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋?＋b2n－1.解(1)設{an}的公差為d，由a1＝1，a2＋a4＝10，得1＋d＋1＋3d＝10，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.5＝9.(2)由(1)知a設{b的公比為，由＝1，b·＝a得qq3＝9，所以q2＝3，n}qb12b45所以{b2n－1是以1＝1為首項，q′＝q2＝3為公比的等比數列，}b·（－n）n－1所以b1＋b3＋b5＋?＋b2n－1＝1133－＝2.131.在等差(比)數列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個.解這類問題時，一般是轉化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算.2.等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形 .應用關系式n＝S1，n＝1，時，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在3.an－Sn－1，n≥2S求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起 .一、選擇題1.(2016全·國Ⅰ卷已知等差數列n前9項的和為10＝8，則a100＝()){a}27，aA.100B.99C.98D.97解析S9＝9（a1＋a9）9×2a5229a27a3a10－a5又a10＝8，因此公差d＝＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.10－5答案 C2.(2017淮·北二模)5個數依次組成等比數列，且公比為－2，則其中奇數項和與偶數項和的比值為()21A.－20B.－2C.－21D.－21105解析由題意，設這5個數分別為a，－2a，4a，－8a，16a(a≠0).S奇a＋4a＋16a21則＝＝－10.S偶－2a－8a答案C1323.(2017濟·南調研)等差數列{an}中的a1，a4033是函數f(x)＝3x－4x＋6x－1的極值點，則log22017＝()aA.2B.3C.4D.5解析因為f′(x)＝x2－＋，8x6依題意，a1，a4033是方程f′(x)＝x2－8x＋6＝0的兩根，a1＋a4033＝8，則a2017＝4，故log2a2017＝log24＝2.答案 A4.已知Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，且S1，S2，S4成等比數列，則a2＋a3等于()a1A.4B.6C.8D.10解析設數列{an的公差為，}d則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，2因為S1，S2，S4成等比數列，所以 S2＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，解得d＝0(舍去)或d＝2a1，a2＋a3a1＋d＋a1＋2d8a1＝8.所以a＝a＝111答案C5.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時， 發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，?.該數列的特點是：前兩個數都是 1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列 {an}稱為“斐波那契數列”，則(a1a3－a22)(a2a4－a32)(a3a5－a42)?(a2015a2017－a22016)＝()A.1B.－1C.2017D.－201722＝，24－22＝－，35－2解析∵a13－2＝×－3＝×－4＝×－aa1211aaa1321aaa25223＝1，??，a2015a2017－a2016＝1，(a1a3－a22)(a2a4－a23)(a3a5－a24)?(a2015·a2017－a22016)＝11008×(－1)1007＝－1.答案 B二、填空題6.(2017長·沙一模)等比數列n的公比為－2，則20172－ln(a20162＝{a}ln(a))________.解析因為an＝－2(n≥2)，故an2＝2，從而ln(a2017)2－ln(a2016)2＝an－1an－1a20172lna2016＝ln2.答案ln2nn，已知S3＝7，7.(2017江·蘇卷)等比數列{a}的各項均為實數，其前n項和為S46＝63，則a8＝________.S4解析設數列{an首項為1，公比為≠，}aq(q1)13）7S3＝a（1－q1－q＝4，11則6解得a＝4，）163q＝2，S6＝a（1－q1－q＝4，所以8171×27＝32.a＝aq＝4答案 328.(2017衡·陽八中、長郡中學聯考改編 )等差數列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比數列，若a5＝5，Sn為數列{an}的前n項和，則數列Sn的前n項和取最小n值時的n為________.解析由題意知（a1＋2d）（a1＋14d）＝25，a1＋4d＝5，由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，n（n－1）nna1＋2d＝－3＋n－1＝n－4.∴n＝nS4由n－4≥0，得n≥4，且4＝0，Sn∴數列n的前n項和取最小值時的n的值為3或4.答案3或4三、解答題9.(2016全·國Ⅲ卷)已知各項都為正數的數列 {an}滿足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式.2解 (1)由a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，令n＝1，得a2＝1，221令n＝2，得a2－(2a3－1)a2－2a3＝0，則a3＝4.(2)由n2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，a得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，an＋1 1因為{an}的各項都為正數，所以 an＝2.故{an是首項為，公比為1的等比數列，因此1}122.10.(2017湖·北七校聯考)已知等比數列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1＋a，數列{bn}滿足bn＝2－log2a3n.(1)求常數a的值；(2)求數列{bn}的前n項和Tn.解(1)當n＝1時，