試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省新高考聯合質量測評高三上學期12月聯考數學試題一、單選題1．已知集合，則集合的子集個數為（

）．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】解不等式求出，求出值域得到，從而求出交集及子集個數.【詳解】，解得：，所以，其中，所以，所以．所以的子集個數是.故選：D．2．復數，則（

）．A． B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】先根據復數的乘除法運算求出復數，再根據復數的模的計算公式計算即可得解.【詳解】解：，所以.故選：A．3．設，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．【詳解】解：，故選：C．4．在的展開式中，含項的系數為（

）．A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】問題可以看作5個括號中分別選取的不同選法的組合問題，利用組合知識求解即可.【詳解】根據組合可知，展開式中含項為：，所以含項的系數為15，故選：B．5．已知在三棱錐中，平面，為等腰直角三角形，且，，點為棱上一點，且，過點作平行于底面的截面，那么三棱臺的體積等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，，，，相減后得到三棱臺的體積.【詳解】因為平面，且平面平面ABC，，，所以，，，，，，所以.故選：B．6．若，則的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據與判斷即可．【詳解】解：令，則，在上單調遞增，，令，則，由得，遞增；由得，遞減，，．，故選：A．7．若點是所在平面上一點，且是直線上一點，，則的最小值是（

）．A．2 B．1C． D．【答案】C【分析】根據向量的運算確定G的位置，可得B、H、D三點共線，利用三點共線得，再由不等式求最值即可.【詳解】設，，因為，所以，，所以點G是的重心，設點D是AC的中點，則，B、G、D共線，如圖，又．因為B、H、D三點共線，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，即的最小值是.故選：C．8．已知函數，對任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構造出關于的函數，再利用導數求出函數的最小值即可.【詳解】解：由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，有最小值，即的最小值為.故選：D．二、多選題9．黨的二十大報告從16個方面概括了我國十年來的偉大變革，報告指出，“我們提出并貫徹新發展理念，著力推進高質量發展，推動構建新發展格局，實施供給側結構性改革，制定一系列具有全局性意義的區域重大戰略，我國經濟實力實現歷史性躍升，國內生產總值從五十四萬億元增長到一百一十四萬億元，我國經濟總量占世界經濟的比重達百分之十八點五，提高七點二個百分點，穩居世界第二位；人均國內生產總值從三萬九千八百元增加到八萬一千元．谷物總產量穩居世界首位，制造業規模、外匯儲備穩居世界第一．”下圖是某地區2012年一2021年人均國內生產總值（人均GDP）及同比增長率變化情況，則下列說法正確的是（

）．A．2020年受到疫情影響，該地區人均GDP增長減緩B．2012年至2021年該地區人均GDP的80％分位數為69901C．2012年至2021年該地區人均GDP同比增長率的平均值在以上D．根據圖表和二十大報告可推測該地區十年的人均GDP的極差低于全國【答案】ACD【分析】用樣本估計總體思想，結合圖解決.【詳解】由圖可知2020年該地區人均CDP同比增長率有所下降，但GDP依然增加，所以A正確．2012年至2021年該地區人均GDP的80％分位數為，所以B不正確．2012年至2021年該地區人均GDP同比增長率的平均值為：，所以C正確（也可以直接觀察判斷）．2012年至2021年該地區人均GDP極差，所以D正確．故選：ACD．10．關于函數有如下四個命題，則下列選項正確的是（

）．A．的圖象關于軸對稱B．的圖象關于原點對稱C．的圖象關于點對稱D．的周期是【答案】BC【分析】選項A和選項B可通過函數的奇偶性進行判斷；選項C可通過將向左平移個單位長度后是否為奇函數進行判斷；選項D可通過周期函數的定義進行判斷.【詳解】對于選項A和選項B，由已知，的定義域為，，都有，且，∴為奇函數，的圖象關于原點對稱，∴選項A錯誤，選項B正確；對于選項C，將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，則，的定義域與定義域相同，均為，，都有，且，∴為奇函數，圖象關于原點對稱，即將的圖象向左平移個單位長度后關于原點對稱，∴的圖象關于點對稱，故選項C正確；對于選項D，，∴不是的周期，選項D錯誤．故選：BC.11．在棱長為2的正方體中，點為線段（包含端點）上一動點，則下列選項正確的是（

）．A．三棱錐的體積為定值B．在點運動過程中，存在某個位置使得平面C．截面三角形面積的最大值為D．當三棱錐為正三棱錐時，其內切球半徑為【答案】AC【分析】對于A，證明平面，從而可得上所有點到平面的距離不變，即可判斷；對于B，假設平面BQC，從而可得，，即可判斷；對于C，要使截面三角形面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過Q作于F，過F作于G，連接QG，求出的最大值即可；對于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.，而為定值．連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，所以上所有點到平面的距離不變，所以三棱錐的高不變，所以為定值，故A正確；B．若平面BQC，平面BQC，則，又，所以，不正確，故B錯誤；C．因為BC為定值，所以只要Q到BC的距離最長，過Q作于F，過F作于G，連接QG，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，則，要使QG最長，只需QF最長，即Q點在時，最長，此時，故C正確，D．當Q在A點時，為正三棱錐，設三棱錐的內切球的半徑為，由等體積法，所以，所以，故D錯誤．故選：AC.12．已知奇函數在上可導，其導函數為，且恒成立，則下列選項正確的是（

）．A．為非奇非偶函數B．C．D．【答案】BCD【分析】由函數的奇偶性定義判斷出為奇函數，A錯誤；賦值法得到，結合奇偶性得到，聯立后求出，B正確；將變形為，令，則，結合是奇函數，得到是一個周期為4的周期函數，得到，求出，C正確；對求導，得到，賦值法得到，，結合的周期性與奇偶性得到的周期性和奇偶性，得到.【詳解】由已知有為R上的奇函數，所以，故的定義域為R，且，故為奇函數，故A選項錯誤；由已知有：恒成立，令時，①，因為為奇函數，故，令時，②，由①②解得：，，故B選項正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項知是奇函數，故，故，即，所以，所以是一個周期為4的周期函數，則，所以，故C選項正確；由已知有：在R上可導，對求導有：，即，令時，，則，因為，所以．又因為是奇函數，故是偶函數，所以，因為是一個周期為4的周期函數，所以也是一個周期為4的周期函數，以下是證明過程：假設為周期為的函數，則，所以為周期為的函數，故，故D選項正確．故選：BCD【點睛】結論點睛：設函數，，，．（1）若，則函數的周期為2a；（2）若，則函數的周期為2a；（3）若，則函數的周期為2a；（4）若，則函數的周期為2a；（5）若，則函數的周期為；（6）若函數的圖象關于直線與對稱，則函數的周期為；（7）若函數的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；（8）若函數的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；（9）若函數是偶函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數是奇函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為4a．三、填空題13．已知，則_______．【答案】##-0.8【分析】對兩邊平方求出，結合誘導公式求出答案.【詳解】因為，兩邊平方得：所以．所以．故答案為：14．有形狀完全相同的4個白球和4個紅球，若一個袋中放有3個白球和2個紅球，另一個袋中放有1個白球和2個紅球，任選一個袋子取出一球，則恰好取出的是白球的概率為________．【答案】【分析】根據互斥事件和的概率等于互斥事件概率的和求解即可．【詳解】解：設A表示選擇其中有3白球、2紅球的袋子，B表示取出白球，則，．故答案為：．15．在數列中，，則數列的前20項和為________．【答案】230【分析】根據遞推公式得到從第一項起，依次相鄰兩奇數項的和為2，從第二項起，依次相鄰兩偶數項的和組成以12為首項，16為公差的等差數列，進而分組求和即可.【詳解】因為，所以有：，，，，，，，…由此可得出：，，，，…，所以從第一項起，依次相鄰兩奇數項的和為2，從第二項起，依次相鄰兩偶數項的和組成以12為首項，16為公差的等差數列，所以數列的前20項和為：．故答案為：23016．若存在，使得不等式成立，則實數的取值范圍為__________．【答案】【分析】原不等式轉化為存在，成立，令，由導數可知函數為增函數，據此可得，轉化為成立，分離參數求的最小值即可.【詳解】由題意：存在，使得不等式成立，即成立，即成立，令，，則恒成立，所以在上單調遞增，所以只需時，有成立，即成立，令，則，所以當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以的最小值為e．所以a的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結合兩角和的正弦公式及三角形內角關系即可得出答案；（2）利用正弦定理將所求邊為角的形式，再結合三角函數的性質即可得出答案.【詳解】（1）解：因為，所以，即，即，又，所以，因為，所以；（2），因為為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．18．已知函數．(1)求函數在點處的切線方程；(2)證明：函數在上有且僅有一個零點．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據導數幾何意義求解.（2）判斷函數在上單調性，然后觀察零點.【詳解】（1）因為，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因為，所以，，，所以，所以，當且僅當時取等號，所以在上是減函數，且，所以在上僅有一個零點．19．已知數列滿足，且，數列滿足，設的前項和為．(1)求數列的通項公式；求數列的前項和；(2)設，記數列的前項和為對恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對變形得到，得到是等差數列，求出通項公式，利用裂項相消法求和；（2）得到，利用錯位相減法求出，判斷出在上單調遞增，求出，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以（常數），故數列是以為公差的等差數列，且首項為，所以，故．因為，所以．（2）．所以，所以，兩式相減得，，所以．由，知在上單調遞增，所以，所以，解得.20．已知直三棱柱中，側面為正方形，為等腰直角三角形，且分別為和的中點，為棱上的點．(1)證明：；(2)當為何值時，直線與平面所成線面角的正弦值為．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據證明即可．（2）根據線面角的正弦等于線法角的余弦絕對值列式計算求解即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，且，．又∵三棱柱為直三棱柱，平面ABC．分別以向量，，的正方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，為中點，連接，則，，，，，，，．（2）解：設，則，．，，，BC，平面，平面，是平面的一個法向量且．∵直線DE與平面所成的線面角的正弦值為，，化簡得：且，或，即或．21．某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發投入，其研發的檢驗試劑品分為兩類不同劑型和．現對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品才算合格．(1)設經過兩次檢測后兩類試劑和合格的種類數為，求的分布列和數學期望；(2)若地區排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當時，最大，求的值．【答案】(1)分布列見解析，1(2)．【分析】（1）先得到劑型與合格的概率，求出X的所有可能取值及相應的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.【詳解】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數學期望．（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為，檢測4人確定“感染高危戶”的概率為，則．令，因為，所以，原函數可化為．因為，當且僅當，即時，等號成立．此時，所以．22．已知函數．(1)當時，求函數的極值．(2)若有三個極值點，且，①求實數的取值范圍；②證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)①；②證明見解析【分析】（1）求出函數的導數，判斷其正負，確定函數單調性，進而求得函數的最小值；（2）①當時，判斷函數的單調性，說明不