會計學1第概率與概率分布9.1.2概率的計算方法概率依其計算方法不同，可分為古典概率、試驗概率和主觀概率。1．古典概率。古典概率是指當隨機事件中各種可能發生的結果及其出現的次數都可以由演繹或外推法得知，而無需經過任何統計試驗即可計算各種可能發生結果的概率。第1頁/共52頁基本特征是：(1)可知性，可由演繹或外推法得知隨機事件所有可能發生的結果及其發生的次數；(2)無需試驗，即不必做統計試驗即可計算各種可能發生結果的概率；(3)準確性，即按古典概率方法計算的概率是沒有誤差的。第2頁/共52頁2．試驗概率。根據大量的，重復的統計試驗結果計算隨機事件各種可能發生結果的概率，稱為試驗概率或頻率概率?；咎卣魇牵?1)試驗性，即必須通過統計試驗結果才能計算出各種結果的頻率，即試驗頻率；(2)大量重復性，即試驗次數必須足夠大，重復進行多次試驗的條件和程序必須相同；(3)誤差性，即頻率只是概率的估計值，因而存在誤差。第3頁/共52頁概率是一個總體意義上的確定的頻率值，當被研究對象是總體的全部單位時，頻率就是概率；當被研究對象是總體的部分單位(樣本)時，頻率只是概率的估計值。當試驗次數或抽樣次數不斷增大時，頻率逼近概率。3．主觀概率。主觀概率是依據個人對隨機事件的認識、主觀地確定隨機事件中各種可能發生結果的概率。即人們對某一事件A發生的信任程度大小的主觀評價：

P（A）=[對A發生的信用度]第4頁/共52頁4．概率的公理。20世紀30年代，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的三條公理:公理1：事件A發生的概率P(A)為實數，且0≤P(A)≤1。公理2：令S為所有的事件的集合，則P(S)=1。公理3：設A1，A2，……為各互斥事件，則(A1+A2+……)=P(A1)十P(A2)+……

第5頁/共52頁9．2概率運算法則概率運算法則又稱概率運算定理，主要有加法定理和乘法定理。9.2.1加法定理

1．加法的特殊定理。如果事件(A、B、C)之間是互相排斥互不相容的，即各種可能出現的結果不可能重復出現，則各種事件的概率之和等于它們的個別概率之和。

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)第6頁/共52頁2．補償定理。如果事件之間是相互排斥的，但事件A出現時，其他事件(記作)不出現時，則稱A、為互逆事件，它們的概率總和為：則有：

補償定理表明，如果直接計算事件A的概率比較困難，或者已知其逆事件的概率，可利用補償定理求出事件A的概率。第7頁/共52頁3．加法的一般定理。又稱廣義的概率加法公式。如果事件A和事件B不是相互排斥的，而是重迭出現的復合事件(積事件)，出現這種情況的概率叫做A和B的聯合概率。加法的一般定理是：

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）第8頁/共52頁9.2.2乘法定理

1．乘法的特殊定理。當兩個事件獨立時，A發生對B發生的概率沒有影響，B發生對A發生的概率也沒有影響，此時，事件A和事件B同時出現的概率為：

P(AB)=P(A)·P(B)第9頁/共52頁2．乘法的一般定理。設A、B是兩個不獨立的事件(不重復抽樣)，在已知A發生的條件下，B發生的概率稱為B對于A的條件概率，用P(B/A)表示。此時A、B兩個事件均發生的概率為：

P(AB)=P(A)·P(B/A)第10頁/共52頁3．全概率定理。全概率定理應用的前提條件是：事件A1，A2，……，An為一完備事件組(即隨機事件中，各種可能出現的結果齊備)；并且A1，A2，……，An兩兩相互排斥，則對任一事件B都有：第11頁/共52頁9.2.3貝葉斯定理貝葉斯定理又稱逆概定理，是十八世紀四十年代英國數學家T·貝葉斯提出的一個對決策非常有用的定理，也是一個計算條件概率的公式。即如果事件A1，A2，……，An為一完備事件組，則對任一事件有：第12頁/共52頁9.3概率分布的類型9.3.1概率分布的概念概率分布是由隨機變量的所有可能取值(xi)及相應的概率P(xi)所組成的分布數列，反映隨機變量的分布狀況和特征。任何概率分布都具有兩個性質：

(1)0≤P(xi)≤1(2)∑P(xi)=1概率分布有表列法、函數法、圖示法三種表示方式。第13頁/共52頁9.3.2概率分布的類型按隨機變量的性質不同，概率分布的類型有：概率分布品質型數量型離散型連續型第14頁/共52頁9.3.3概率分布的特征值期望值或總體平均數μ，方差，偏態系數β1，峰態系數β2等。第15頁/共52頁9.4離散型隨機變量概率分布9.4.1分立均等分布分立均等分布稱離散型等概率分布，其定義為：若離散型隨機變量的分布具有下列概率函數：

（x=1，2，……，N）第16頁/共52頁則稱其為分立均等分布。式中N為正整數，是此分布的總體參數。分立均等分布的兩個重要特征值分別為：

第17頁/共52頁9.4.2二點分布二點分布又稱點二項分布，若互相獨立的重復試驗只有“成功”和“失敗”兩種結果，這種試驗稱為貝努里試驗，可?。贺惻飳嶒灥奶卣鳛椋?．實驗的現象只有兩種互斥結果，即“成功”與“失敗”。2．成功事件發生的概率為p，失敗的概率為q，且p+q=1。3．貝努力實驗為獨立實驗。第18頁/共52頁二點分布的概率函數可表達為：二點分布的重要特征值為：1．期望值E(x)=p2．方差V(x)=pq第19頁/共52頁9.4.3

超幾何分布超幾何分布是離散型隨機變量概率分布的一種，它是建立在超幾何實驗基礎之上的，若并非獨立的不重復試驗中，總體N中有“成功”類者為K個，失敗類者為N—K個，從總體中抽取n個作為樣本時，稱為超幾何實驗(參圖6—5)圖6-5超幾何實驗第20頁/共52頁超幾何實驗具有下列性質：1．從一個含有N個個體的總體中，以不重復方式隨機抽取n個作為樣本，各次試驗(抽樣)并非獨立的。2．總體N中成功類者為K個，失敗類者為N－K個。3．樣本中抽自成功類者為x個，抽自失敗類者為n-x個。4．由于不重復試驗(抽樣)，每次試驗成功的概率受其前次試驗結果的影響，故成功的概率不能維持不變。第21頁/共52頁超幾何分布的定義為：若離散型隨機變量的分布具有下列概率函數：則稱為超幾何分布。式中N、K、n都為正整數，是此分布的三個參數，且N>K≥n，或N－K≥n。第22頁/共52頁超幾何分布的兩個重要特征值為：期望值：方差：其中稱為有限總體校正因子，當采用不重復隨機抽樣時才須考慮，因而又稱不重復抽樣校正因子。第23頁/共52頁9.4.4二項分布二項分布是一種重要的離散型隨機變量概率分布，它是建立在重復進行n次貝努里實驗(二項實驗)基礎上的。二項實驗的性質為：1．一個簡單的貝努里實驗重復獨立試行n次，共有n+1個可能發生的結果，即x=0，1，2，……n。2．每次試驗的結果只有“成功”或“失敗”兩種互斥的結果。3．每次試驗關心的是概率p保持不變。4．每次試驗關心的是成功事件是否出現。第24頁/共52頁二項分布定義為：若離散型隨機變量分布具有下列概率函數：則稱其為二項分布。式中q=1-p，0≤p≤1；n為正整數。n和p為二項分布的兩個重要參數。第25頁/共52頁二項分布的重要特征值為：偏態系數：峰態系數：第26頁/共52頁由偏態系數β1可知二項分布的偏態：(1)當p=1/2，β1=0，二項分布為對稱分布。(2)當p＜1/2，β1

＞0，二項分布為右偏分布。(3)當p＞1/2，β1

＜0，二項分布為左偏分布。由峰態系數β2可知二項分布的峰態：(1)當pq=1/6，β2=3，二項分布具有常態峰。(2)當pq＞1/6，β2＜3，二項分布具有低闊峰。(3)當pq＜1/6，β2＞3，二項分布具有高狹峰。第27頁/共52頁9.4.5泊松分布泊松分布是一種重要的離散型隨機變量概率分布，它適于描述某些稀有事件的狀態或出現機會非常小的一些事件(如特大洪水、火山爆發、民航飛機失事、核反應堆逸漏事件等)，它是由泊松于1837年提出的。設隨機變量x表示一實驗的“成功”次數，即在一段時間或一定區域內，該實驗中某一特定事件發生的次數，則普哇松實驗具有以下性質：第28頁/共52頁1．發生在一定時間或特定區域內的成功次數x的期望值E(x)=或E(x)=np為已知。2．不管時間或區域的始點，某一特定事件在某一段時間或特定區域內發生的概率相同。3．在極短時間或極小區域內，某一特定事件發生超過一次的概率略而不計。4．某一特定事件在各段時間或特定區域上出現是相互獨立的。5．特定事件的成功次數的期望值μ與所選擇的時間或區域的大小t成正比，其關系為μ=λt。第29頁/共52頁普哇松分布的定義為：若離散型隨機變量x的分布具有下列概率函數：(x=0,1,2,……)稱為普哇松分布。其中μ為此分布的參數，e=2.71828。第30頁/共52頁其分布的重要特征值為：期望值：E(x)=μ

方差：V(x)=μ偏態系數：

β1=峰態系數：β2=3+第31頁/共52頁期望值與方差均為u是普哇松布的一大特性。當β1>0，β2>3時，普哇松分布為具有高狹峰的右偏分布；當β1隨μ增加而趨向于0時，其偏斜程度則隨μ的增加而逐漸減小，最終成對稱分布；β2隨μ增加而趨向3時，則高狹峰態會隨μ的增加而逐漸減慢，最終成為常態峰。第32頁/共52頁9.5連續型隨機變量概率分布

9.5.1正態分布

正態分布:

又稱常態分布或高斯分布，是一種非常重要的連續型隨機變量的概率分布。其定義為：若連續型隨機變量x的分布具有下列概率密度函數：

則稱為正態分布。式中μ和σ為此分布的參數。(μ為總體均值，

σ為總體標準差)，e=2.71828，π=3.1416。第33頁/共52頁正態分布的重要特征值為：(1)期望值：E(x)=μ，且=Me=M0(2)方差：V(x)=(3)偏態系數：β1=0(4)峰態系數：β2=3第34頁/共52頁正態分布具有下列重要性質：1．正態分布具有常態峰，即以μ為中心的左右對稱分布，左右二者面積相等，均為。2．正態分布曲線左右兩尾與橫軸漸近，但不與橫軸相交，即-∞＜x

＜∞。3．當x

=μ值時，正態分布的概率密度函數值最大，當x

≠μ時，f（x）的值隨|x|的值遞增而遞減。4．正態分布曲線有兩個拐點，分別在橫軸所對應的曲線上。5．正態分布曲線下的面積(區間概率)是固定的。第35頁/共52頁標準正態分布在實踐中，由于不同現象的隨機變量有不同的參數μ和σ，且不同隨機變量的計量單位也不同，因而有不同的正態分布形狀，從而給正態分布的應用帶來了不便之處。為此，可令正態分布概率密度中的，則有：第36頁/共52頁因此，新的隨機變量z仍服從正態分布，且該正態分布的參數μ=0，σ=1。同時，無論x的計量單位如何，新變量以σ為計量單位，則稱z為標準正態隨機變量，稱z的分布為標準正態分布。其重要的特征值為：

期望值：E(z)=0方差：V(z)=1偏態系數：β1=0峰態系數：β2=3最高縱軸：第37頁/共52頁圖10標準正態分布圖第38頁/共52頁由于任何正態分布都可以通過的變量轉換化為標準正態分布(z分布)，因此，只要計算出正態隨機變量z的取值區間[-∞，z]，就可求出相應的區間概率P(z≤zi)，并將其編成z分布表，從而利用z分布表就可求出任何正態隨機變量x的取值區間[x1，x2]的概率。第39頁/共52頁即：第40頁/共52頁正態分布在統計方法應用或統計推斷的抉擇上，占有非常重要的地位；1．許多客觀現象的分布大多為正態分布，如成年人的身高、機械零件的長度、學童的智力、誤差分布等等。2．正態分布可作為一些離散型隨機變量的概率分布的近似，例如二項分布、普哇松分布、超幾何分布等，當n增大時，均可轉換為正態分布。第41頁/共52頁3．在統計標準中，許多問題均可在正態分布的假設下獲得解決。例如，小樣本抽樣分布(卡方分布、t

分布、F分布等)常假設總體呈正態分布。4．許多大樣本的抽樣分布通常將正態分布視為極限，以便進行統計推斷。第42頁/共52頁9.5.2指數分布指數分布主要應用于產品壽命的分析，是一種連續型隨機變量的概率分布。其定義為：若連續型隨機變量x的分布具有下列概率函數：則稱為指數分布。式中λ＞0，為此分布的參數。指數分布的重要特征值為：期望值：方差：眾數：M0=0

第43頁/共52頁9.5.3