直線與圓的位置關(guān)系

高二年級(jí)數(shù)學(xué)相交相切相離2個(gè)公共點(diǎn)1個(gè)公共點(diǎn)0個(gè)公共點(diǎn)1.直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？相交2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？相切相離①作圖，觀察圖形：需借助專業(yè)繪圖工具2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？設(shè)圓的方程，直線方程

，

②判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)：聯(lián)立方程組，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)聯(lián)立，得方程組代入消元，消y得或代入消元，消x得2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？因此，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即相交；

②判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)：聯(lián)立方程組，判斷解的個(gè)數(shù)

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，即相切；

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，直線與圓沒有公共點(diǎn)，即相離.

2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？③幾何轉(zhuǎn)化：計(jì)算圓心到直線的距離與半徑比較設(shè)圓的方程，直線方程，

則圓心到直線的距離為因此，時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即相交；

時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即相切；

時(shí)，直線與圓沒有公共點(diǎn)，即相離.

3.能否嚴(yán)格證明幾何法判定直線與圓的位置關(guān)系的合理性？給定平面中的一條直線l和C，以C的圓心為原點(diǎn)，以不垂直于直線l的直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)直線l的方程為y=kx+b，C的方程為x2+y2=r2.聯(lián)立直線與圓的方程，得

消y得

3.能否嚴(yán)格證明幾何法判定直線與圓的位置關(guān)系的合理性？方程的判別式

相交因此，

同理，

相切相離

新知提煉直線與圓的位置關(guān)系的判定方法圖形代數(shù)法幾何法相交聯(lián)立方程組，消元，圓心到直線的距離相切聯(lián)立方程組，消元，圓心到直線的距離相離聯(lián)立方程組，消元，圓心到直線的距離法1：代數(shù)法，聯(lián)立方程組，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)法2：幾何法，計(jì)算圓心到直線的距離，比較與半徑的關(guān)系

例1.（1）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；解：（代數(shù)法）聯(lián)立直線的方程與圓的方程，得方程組從方程組消去，整理得這個(gè)方程的判別式因此，直線與圓沒有公共點(diǎn)，即相離.

例1.（1）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

例1.（1）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；解：（幾何法）易知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.直線的一般方程為因此，圓心到直線的距離因此，直線與圓沒有公共點(diǎn)，即相離.

例1.（2）已知直線與圓，分別求直線與圓相交、相切、相離時(shí)的取值范圍.解：（代數(shù)法）聯(lián)立直線的方程與圓的方程，得方程組從方程組消去，整理得這個(gè)方程的判別式

例1.（2）已知直線與圓，分別求直線與圓相交、相切、相離時(shí)的取值范圍.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；此時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；此時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，方程無實(shí)數(shù)解；此時(shí)，直線與圓沒有公共點(diǎn)，直線與圓相離.當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，直線與圓相離；

例1.（2）已知直線與圓，分別求直線與圓相交、相切、相離時(shí)的取值范圍.解：（幾何法）因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，直線與圓相交.當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，直線與圓相切；

從而可得切線的點(diǎn)斜式方程為

例2.（1）已知是圓上的一點(diǎn)，求圓的過點(diǎn)的切線方程；解：如圖，連結(jié)線段OM，則OM與切線垂直.

因?yàn)椋郧芯€的斜率為

因此所求方程為

例2.（2）已知是圓上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值與最小值.

易知，

分別為最小值與最大值.

例2.（2）已知是圓上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值與最小值.解：如圖，作與圓交于P1點(diǎn)，并反向延長CH，與圓交于P2點(diǎn).

又因?yàn)?/p>

例2.（2）已知是圓上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值與最小值.

因此，

例3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）求線段AB的長；

解：如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM.由點(diǎn)到直線的距離公式有解得由垂徑定理知，，因此又故

例3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）求線段AB的長；

解：（法2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，得方程組代入直線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)解得

消y得，因此，

例3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）求線段AB的長；

另解：設(shè)因此，因?yàn)槎际侵本€上的點(diǎn)，所以因此，

例3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）求線段AB的長；

例3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（2）求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).

解：設(shè)且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為則由另解可知因此，所求中點(diǎn)坐標(biāo)為

課堂小結(jié)一、直線與圓的位置關(guān)系的判定方法圖形代數(shù)法幾何