PAGEPAGE12絕密★啟用前寧夏回族自治區銀川市2021屆高三數學下學期5月普通高等學校招生全國統一考試理注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時，務必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合，，則A．{0，1，2} B．{1，2}C．{-1,0，1，2} D．{﹣1，0，1}2．歐拉公式（e是自然對數的底數，i是虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，當時，就有，根據上述背景知識試判斷表示的復數在復平面對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．（清）陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為A． B．C．D．4．已知等比數列的各項均為正數，且成等差數列，則數列的公比是A． B．2 C． D．或5．已知圓截軸所得的弦長為，過點且斜率為的直線與圓交于兩點，若，則的值為A． B． C． D．6．下列正確命題的序號有①若隨機變量，且，則．②在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則與是互斥事件，也是對立事件．③一只袋內裝有個白球，個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了個白球，.④由一組樣本數據，，得到回歸直線方程，那么直線至少經過，，中的一個點．A．②③ B．①② C．③④ D．①④7．已知實數，滿足，，則A． B．C． D．8．已知為上的的奇函數，為偶函數，若當，，則A． B． C． D．9．將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于直線對稱，則的最大值為A． B． C． D．10．圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為A．B．C．D．11．設雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，且是的一個四等分點，則雙曲線C的離心率是A． B． C． D．512．平行于軸的直線與函數的圖像交于，兩點，則線段長度的最小值為A．B．C．D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知的展開式中的系數為5，則________. 14．若為所在平面內任意一點，且滿足，則的形狀為__________.（填：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）15．已知數列滿足，數列的前項和為，則__________.16．如圖，在的方格中，移動規則如下：每行均可左右移動，每列均可上下移動，每次僅能對某一行或某一列進行移動，其他行或列不變化．221213331例如：若想移動成每行的數字相同，則最少需要移動次_________.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分)17．(12分)某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B.現規劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計）.（1）若，求QN的長度；（2）求新路總長度的最小值.18．（12分）2021年3月底，我國新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外確診病例卻持續暴增，防疫物資供不應求.某醫療器械廠開足馬力，日夜生產防疫所需物品.質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了50個零件進行測量，根據所測量的零件質量（單位：克），得到如圖的頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖，求這50個零件質量的中位數（結果精確到0.01)；（2）若從這50個零件中質量位于之外的零件中隨機抽取2個，求這兩個零件中恰好有1個是質量在上的概率；（3）以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，以頻率代表概率，已知這批零件有10000個，某采購商提出兩種收購方案：A．所有零件均以50元/百克收購；B．質量位于的零件以40元/個收購，其他零件以30元/個收購.請你通過計算為該廠選擇收益最好的方案.19．(12分)如圖1，在直角梯形中，，，，.將沿折起，折起后點的位置為點，得到三棱錐如圖2所示，平面平面，直線與平面所成角的正切值為.（1）求線段的長度；（2）試判斷在線段上是否存在點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，請確定其位置；若不存在，請說明理由.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．（1）求橢圓的方程（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．21．(12分)已知函數在定義域內有兩個不同的極值點．（1）求的取值范圍；（2）設兩個極值點分別為，（<），證明：．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標系與參數方程]在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數，且，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）寫出曲線和直線的直角坐標方程；（2）若直線與軸交點記為，與曲線交于，兩點，求．23．[選修4-5：不等式選講]已知是正實數，且．（1）求的最小值；（2）求證：．2021年數學(理科)參考答案選擇題123456789101112CDDCDACCABAD二、填空題：13.-114.等腰三角形15.16.317.【答案】（1）QN的長度為1千米（2）【分析】（1）連接，通過切線的幾何性質，證得四邊形是正方形，由此求得的長度.（2）用表示出線段，，線段的長，由此求得新路總長度的表達式，利用基本不等式求得新路總長度的最小值.【詳解】（1）連接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均與圓C相切∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA∵∠PCA＝，∠PCQ＝，∴∠QCB＝，此時四邊形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，答：QN的長度為1千米；（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，則MP＝，，NQ＝設新路長為，其中(，)，即∴，，當時取“＝”，18.【答案】（1）中位數為71.47；（2）；（3）該廠選擇方案B；答案見解析.【詳解】（1）零件質量位于的頻率為，零件質量位于的頻率為，2分，這50個零件質量的中位數位于區間，設為，則，解得，故這50個零件質量的中位數為71.474分（2）質量位于的零件個數為個，質量位于的零件個數為個，6分故這兩個零件中恰好有1個是質量在上的概率為.8分（3）這組數據的平均數為，9分方案A：收益為元；10分質量位于的零件個數為個，質量位于之外的零件個數為個，方案B：收益為元.11分，該廠選擇方案B.12分19.【答案】（1）2；（2）存在；為的四等分點，且.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面又面，所以面，所以與面所成角為，又所以，因為在直角梯形中，，所以所以，令那么，所以所以，即（2）以的中點為坐標原點，為軸，過點平行于的直線為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標系，，，，，設，，.設二面角的平面角為設平面的一個法向量為.則，即取，得.取面的一個法向量則，所以化簡整理得：或（舍去）當時，所以為的四等分點，且20.【解析】（1）由已知可得，2分解得，，所以橢圓的方程為．4分（2）由已知可得，，，，，可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．6分設，，，，則，，，，即．8分，，，即．，或．10分由△，得．又時，直線過點，不合要求，，故存在直線滿足題設條件．12分21．解：（1）由題意得，的定義域是，，令，函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在上2個零點，，當時，在上，，遞減，不滿足題意，當時，在上，，遞增，在，上，，遞減，要使在上2個零點，只需，即，解得：，故的范圍是；（2）由（1）可知，，，兩式相減可得①，，要證明，只需證明，即證明，②，把①代入②整理得：，令，即證明，令，則，當時，，函數在遞減，故（1），故，命題得證．22．解：（1）曲線的參數方程為為參數，且，轉換為直角坐標方程為．3分直線的極坐標方程為，轉換為直角坐標方程為．5分（2）直線與軸交點記為