會計學1DVIP數(shù)字圖像基礎(chǔ)1.1人眼的構(gòu)造

眼睛的主要結(jié)構(gòu)如圖1.1所示。外面是一層較硬的膜，其前面一部分是透明的，稱為角膜。后面大部分稱為鞏膜，起外殼作用。膜內(nèi)是一個空室，稱為前室。前室后面是虹膜，虹膜中間有一小孔，稱為瞳孔，其直徑可在2到8mm間變化，以調(diào)節(jié)進入眼睛的光通量。瞳孔后面是一個透鏡式的水晶體，起透鏡作用，把景象的光聚焦到視網(wǎng)膜上去成像。水晶體的后面是眼睛的內(nèi)腔，稱為后室，內(nèi)有粘液，也起濾光作用，以保護眼睛。后壁則為視網(wǎng)膜，由大量的光敏細胞組成。第2頁/共114頁第1頁/共114頁人眼的構(gòu)造光敏細胞可分為兩類，一類是錐狀細胞，另一類是桿狀細胞。錐狀細胞大約有一億個以上。它們在視網(wǎng)膜上的分布是很不均勻的，在視網(wǎng)膜中央正對著瞳孔的一個不大的區(qū)域里，錐狀細胞最多最密，沒有桿狀細胞，這一區(qū)域叫做黃斑。向外離開黃斑越遠，視網(wǎng)膜上桿狀細胞的數(shù)目越多，在接近邊緣的地方，幾乎都是桿狀細胞了。錐狀細胞除了能夠區(qū)別明暗以外，還能辨別光的顏色，即不但能感光，也能感色。但是，桿狀細胞卻只能感光，不能感色。在亮光時，錐狀細胞起作用，能看清彩色景象。第3頁/共114頁第2頁/共114頁人眼的構(gòu)造

在黃斑的中心部分，每個錐狀細胞連接著一個神經(jīng)末梢，因此分辨景象細節(jié)的能力強。在遠離黃斑的網(wǎng)膜上，神經(jīng)末梢分布較稀疏，錐狀和桿狀細胞群接合在一條神經(jīng)上，所以這些視神經(jīng)所傳遞的是這二種細胞群受光刺激后發(fā)出的平均電脈沖，故分辨能力差，但是感光靈敏度卻高些。視神經(jīng)在視網(wǎng)膜上匯聚到一點，通向大腦，此點無光敏細胞，稱為盲點。視覺是主觀對客觀的反應(yīng)，是一種主觀感覺。視覺包括光感覺與色感覺，色感覺又有色調(diào)與色飽和度之分。色調(diào)即顏色的類別，色飽和度指某種顏色的濃度。第4頁/共114頁第3頁/共114頁1.2視覺心理學—視覺感知特性

從視覺生理學

(psychophysics)的角度，人眼的視覺系統(tǒng)可以被看成一個輸入-輸出系統(tǒng)，輸入是視覺刺激（visualstimuli）,輸出是感覺。顯然，視覺系統(tǒng)完全可以由這個“黑盒子”的傳輸函數(shù)來定義。光強的感知特性空間頻率的感知特性時間的感知特性第5頁/共114頁第4頁/共114頁光強的感知特性定義1：在給定某個亮度環(huán)境下，人眼剛好能夠區(qū)分的2個相鄰區(qū)域的亮度差別的最小值，稱為視覺閾（VisibilityThreshold）。視覺閾值的大小與觀察條件（例如周圍環(huán)境的亮度、鄰近區(qū)域亮度的變化等）有關(guān)。第6頁/共114頁第5頁/共114頁

考慮圖1.2(a)所示情況，其中環(huán)境亮度為，圖的中間有一個張角為、亮度為的環(huán)，環(huán)內(nèi)包圍著一個亮度為的小區(qū)域。調(diào)節(jié)的大小使其剛好能被察覺到與有所不同，則為視覺閾，或者稱為臨界對比度。它與背景亮度和環(huán)境亮度，以及背景和環(huán)境的尺寸大小有關(guān)。如圖1.2(b)所示。在的情況下，視覺閾幾乎隨線性增長，即為常數(shù)，這就是韋伯定律（Weber’slaw）。

第7頁/共114頁第6頁/共114頁根據(jù)韋伯定律，(1.1)所以(1.2)

(1.2)表明人眼對光的主觀視覺增量與客觀亮度的對數(shù)增長成線性關(guān)系，即

，如圖1.3中直線部分所示。

第8頁/共114頁第7頁/共114頁圖1.3是實驗獲得的人眼對不同亮度的主觀亮度感覺級數(shù)曲線。曲線中間有折斷點，表示兩種細胞的感覺不一樣。亮度低時桿狀細胞起作用。亮度高時錐狀細胞起作用，在某些亮度時二者同時起作用。每一種細胞的感覺曲線的中間部分都近于直線，這表示感覺差一級時，亮度的差

并不是常數(shù)，而

是常數(shù)。也就是說，當亮度大時，二者的差別

也要大才能感覺到亮度的差別。但在亮度很大或很小時，則與每一感覺級相對應(yīng)的

要更大一些，示如曲線兩端的彎曲部分。

第9頁/共114頁第8頁/共114頁定義2：眼睛所能感覺到的亮度級差 (1.3)稱為對比度閾，常稱韋伯比（WeberRatio）。

韋伯比表示相對某一亮度能引起亮度感覺差別所必需的最小相對亮度變化。

在對視頻信號的亮度分量進行PCM數(shù)/模轉(zhuǎn)換時，通常就是根據(jù)上述的視覺閾效應(yīng)來選擇合適的量化級數(shù)。

第10頁/共114頁第9頁/共114頁另一方面，圖1.3的亮度感覺曲線還表明人眼的視覺范圍是非常寬闊的，它能感覺亮度低至千分之幾cd/m2的光，也能感受亮度高至百萬cd/m2的光，差別達這樣大的視覺范圍是由于眼睛有適應(yīng)性。這是人眼適應(yīng)性的第一種表現(xiàn)在實際條件下觀看某一景象時，眼睛已適應(yīng)于景象的某一平均亮度，也就是說已調(diào)節(jié)到某一平均靈敏度，這時視覺范圍就小多了。這是人眼適應(yīng)性的第二種表現(xiàn)，它說明人眼是絕不可能同時觀看圖1.3所示那么大的視覺范圍的.

第11頁/共114頁第10頁/共114頁實驗證明，在平均亮度一定時，人眼能觀察到亮度差別（即景象層次）的范圍如圖1.4中虛線所示，圖中按不同的平均亮度給出了相應(yīng)的范圍。可見，當平均亮度為一定值時，大約在它周圍的范圍內(nèi)，對比度閾保持在比較小的數(shù)值，人眼有區(qū)別亮度層次的能力。

圖1.4的曲線還表明，由于人眼的適應(yīng)性，對于明暗的感覺是相對的，同一個亮度，在某種平均亮度下可能給人以白的感覺，但在更高的平均亮度下卻可能給人以黑的感覺。因此，對于一副景象，重要的是體現(xiàn)其相對的明暗層次。利用這一原理，電視實現(xiàn)了比自然景象亮度范圍小得多的景象視覺。第12頁/共114頁第11頁/共114頁空間頻率的感知特性空間頻率是指單位視角()內(nèi)所含黑或白的條紋數(shù)，單位是線/度。假設(shè)人眼的視覺系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)，如果已知該系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)或者傳輸函數(shù)，則可以計算出給定背景亮度下的視覺閾值。如果用不隨時間變化的空間正弦光柵作為人眼的測試信號，即

(1.4)則可以得到視覺閾隨空間頻率變化的函數(shù)。例如圖1.5所示的曲線是在背景亮度為500cd/m2的條件下得到的。這個函數(shù)被稱為對比度靈敏度函數(shù)(ContrastSensitivityFunction)。它具有特定的形狀，空間頻率在3-4.5Cycles/degree時有最大值，即最小對比度閾。第13頁/共114頁第12頁/共114頁

值得說明的是，圖1.5實際上不是視覺閾對空間頻率的函數(shù)，而是對比度靈敏度對空間頻率的函數(shù)。對比度靈敏度的定義是，平均背景亮度與測試信號達到視覺閾時的調(diào)制電平的比；或者說是對比度閾的倒數(shù)。在(1.4)式中，是背景亮度，是正弦光柵的空間頻率，是空間頻率偏離縱軸的角度，是調(diào)制電平，是時間頻率。對于給定的，通過調(diào)整得到在、和的各種取值情況下的視覺閾。圖1.6(a)給出一種測試光柵圖樣，圖1.6(b)是前人的各種實驗得出的對比度靈敏度函數(shù)曲線。

可得到如下結(jié)論:

第14頁/共114頁第13頁/共114頁

(1)給定光柵的和，視覺閾主要取決于調(diào)制深度，而不單單取決于背景亮度或調(diào)制電平。(2)對比度靈敏度，即達到視覺閾時的值，隨著空間頻率從低頻到中頻近似線性地增大，并在中頻區(qū)段取得最大值。從圖1.6(b)可見，在空間頻率的方向上，人眼對亮度的作用相當于一個帶通或低通濾波器(3)對比度靈敏度還與光柵的角度有關(guān)。它在垂直或水平光柵時取得最大值，隨著光柵偏離水平或垂直軸而減小，在角時大約減小3dB。(4)圖1.7給出了視覺對彩色變化的頻率響應(yīng)。由圖可見，人眼對亮度的空間分辯力明顯地比對色度的空間分辨力要高。因此，在圖像及視頻傳輸時就可以使用較少的比特數(shù)來傳輸色度信號，以達到壓縮數(shù)據(jù)量、節(jié)省帶寬資源的目的。第15頁/共114頁第14頁/共114頁視覺的空間掩蔽(spatialmasking)效應(yīng)也發(fā)生在空間頻域。實驗發(fā)現(xiàn)，背景亮度變化（不均勻性）劇烈時，對比度靈敏度就會下降，即視覺閾增大。這被稱為空間掩蔽效應(yīng)。圖1.8、1.9給出了典型的實驗結(jié)果。在該試驗中，一條很細的垂直光線出現(xiàn)在有一條垂直亮度邊界的背景的不同位置上，這條光線在不同位置上的視覺門限（即光線剛好能被識別時的亮度值）曲線如圖1.8所示。第16頁/共114頁第15頁/共114頁第17頁/共114頁第16頁/共114頁關(guān)于空間掩蔽效應(yīng)，一些相關(guān)實驗得出的幾點重要結(jié)論如下：(1)在接近邊界的兩邊，光線的視覺閾增大。(2)在對比度較小的邊界附近，掩蔽效應(yīng)也較弱。(3)從圖1.9可以看出掩蔽效應(yīng)是一種非常局部化的效應(yīng)，僅出現(xiàn)在背景亮度劇烈變化的邊界附近很窄的區(qū)域上。(4)若背景掩蔽邊緣出現(xiàn)的時間很短，則視覺閾不會有明顯的提高。例如無意識的眼運動就是這種情況。現(xiàn)代壓縮編碼中無例外的都利用了人眼的視覺掩蔽效應(yīng)。例如，使用不均勻量化步長(stepsize)的DPCM量化就是依賴于亮度的空間變化對誤差的掩蔽。又如，對噪聲的主觀感受受圖像內(nèi)容的影響，在圖像亮度跳變邊沿處，視覺閾增高。即此處噪聲的可見度降低。在圖像大面積處（亮度變化緩慢），視覺閾降低，即對噪聲敏感。第18頁/共114頁第17頁/共114頁

需要強調(diào)的是，不應(yīng)把空間掩蔽效應(yīng)與馬赫效應(yīng)(Macheffect）混淆。馬赫效應(yīng)指的是在邊界處感知到的亮度的變化，如圖1.10所示，在較亮的一側(cè)亮度明顯地增大，而在較暗的一側(cè)亮度明顯地減小。因此，感知到的對比度增大，亮的一側(cè)更亮，暗的一側(cè)更暗。通常認為，人眼的橫向抑制

(lateralinhibition)作用是導致馬赫效應(yīng)的主要原因。

第19頁/共114頁第18頁/共114頁時間的感知特性視覺系統(tǒng)的時域特性研究的是外界亮度以不同的時間頻率進行變化時，人眼的視覺敏感度。時域中的視覺閾值對于幀間編碼技術(shù)十分重要。其中一個重要的時域視覺閾值就是臨界閃爍頻率

(CriticalFlickerFusionFrequency)。如果讓觀察者觀察按時間重復的亮度脈沖，當脈沖重復頻率不夠高時，人眼就有一亮一暗的感覺，稱之為閃爍(Flicker)。如果重復頻率足夠高，閃爍感覺消失，看到的則是一個恒定的亮點。閃爍感剛好消失時的頻率稱為臨界閃爍頻率。

臨界閃爍頻率在圖像與視頻處理中應(yīng)用的非常廣泛，視頻采集和顯示設(shè)備的幀率必須大于臨界閃爍頻率，以避免人眼覺察到閃爍現(xiàn)象。第20頁/共114頁第19頁/共114頁1.3黑白視覺的數(shù)學模型光線進入人眼首先要經(jīng)過由角膜、晶狀體組成的前端光學系統(tǒng)，其功能相當于一個二維低通光學鏡頭，系統(tǒng)函數(shù)為。在電磁波譜范圍內(nèi)，分布在約380～780nm波長范圍的電磁波可以被人類視覺感知，稱為可見光。人眼對不同波長光的敏感程度并不相同，該特性用視覺系統(tǒng)的相對光效率函數(shù)描述，如圖1.12所示。來自光分布函數(shù)為的空間物體的光經(jīng)過人眼空間響應(yīng)之后的輸出空間分布函數(shù)為：

(1.5)第21頁/共114頁第20頁/共114頁接下來，桿狀細胞和錐狀細胞的作用是使人眼對亮度的對比度進行分辨而不是亮度本身，用非線性函數(shù)表示，輸出為對比度。最后視覺細胞中的橫向抑制效應(yīng)可用空間頻率相應(yīng)為的空不變(spatiallyinvariant)的、各向同性的、線性系統(tǒng)來表示，輸出是神經(jīng)信號，即人眼感受到的主觀亮度。人眼的黑白系統(tǒng)的總體模型如圖1.13所示：第22頁/共114頁第21頁/共114頁1.4二維空間頻率與視頻時間信號譜二維空間頻率數(shù)字圖像是分布在二維空間的樣值陣列，因此需要研究其二維空間頻率。以下我們通過幾個二維空間信號的例子來直觀的了解二維空間頻率的概念第23頁/共114頁第22頁/共114頁第24頁/共114頁第23頁/共114頁第25頁/共114頁第24頁/共114頁視頻時間信號及頻譜1、二維取樣的定義視頻信號通常在攝像機的輸出端，通過掃描二維的運動場景，并將其轉(zhuǎn)化為一維的電信號來產(chǎn)生。運動場景是一組圖片或圖像，每幅被掃描的圖像生成一幀視頻信號。掃描從圖像的左上開始，到右下結(jié)束，如圖1.16所示。恒速掃描定義為從左至右的掃描速率為，從上至下的掃描速率為，即：

（1.7）

（1.8）其中，H是行周期，F(xiàn)是幀周期；a、b分別是圖像寬度和高度。第26頁/共114頁第25頁/共114頁線性恒速掃描等效為將圖像在x方向及y方向上無限重復地取樣，從而將二維圖形變?yōu)橐痪S時間信號。圖1.17是逐行掃描和隔行掃描。第27頁/共114頁第26頁/共114頁2、頻譜分析第28頁/共114頁第27頁/共114頁第29頁/共114頁第28頁/共114頁1.5、線性移不變?yōu)V波器

用表示第30頁/共114頁第29頁/共114頁線性系統(tǒng)第31頁/共114頁第30頁/共114頁移不變系統(tǒng)第32頁/共114頁第31頁/共114頁線性移不變（LSI）系統(tǒng)第33頁/共114頁第32頁/共114頁離散卷積的直接運算第34頁/共114頁第33頁/共114頁第35頁/共114頁第34頁/共114頁1.6傅立葉變換二維離散圖像信號的付氏變換及其特性離散信號的展開第36頁/共114頁第35頁/共114頁二維離散圖像信號的付氏變換及其特性二維離散圖像信號的付氏變換和反變換如下：

(1.19a)

(1.19b)

其中，m、n為空間坐標，k、l為空間頻率。k、l的單位是m、n的單位的倒數(shù)。第36頁/共114頁二維離散圖像信號的付氏變換及其特性下面介紹二維離散圖像信號的付氏變換的一些特性。(1)．空間頻率在1.4.1節(jié)已講述二維連續(xù)空間信號的空間頻率的概念。對于二維離散的亮度信號，空間頻率就是空間單位距離內(nèi)亮度的變化數(shù)，有時用cycles/degree(觀察角)來表示。(2)．可分離性從式(1.19a)可知，付氏變換的基核是可分離的，即可以對m和n分別作變換：第37頁/共114頁二維離散圖像信號的付氏變換及其特性(3)．傳輸函數(shù)及特征函數(shù)（特征矢量）特征函數(shù)的定義：用特征函數(shù)做輸入，則輸出等于此輸入函數(shù)乘傳輸函數(shù)（它是頻率的函數(shù)，即傳輸函數(shù)）。容易證明，是滿足以上定義的特征函數(shù)。第38頁/共114頁二維離散圖像信號的付氏變換及其特性(4)．兩函數(shù)卷積等于兩函數(shù)付氏變換之積。若則，(5)．能量保持若是的傅立葉變換，則。(6)．由付氏變換的相位函數(shù)恢復原圖像若是的傅立葉變換，則用相位幅度的形式表示為：第39頁/共114頁二維離散圖像信號的付氏變換及其特性從相位恢復的信號為：從幅度恢復的信號為：其中，是傅立葉反變換運算符。實踐表明，比更像原始圖像。第40頁/共114頁1.6.2離散信號的展開用基函數(shù)作信號的展開，可實現(xiàn)各種正交變換（付氏變換及小波變換），進一步易于用濾波器組（filterbank）實現(xiàn)。離散信號展開的原理：是平方可積序列,則在平方可積空間中可正交展開為：其中，是的變換。基函數(shù)滿足正交條件：第41頁/共114頁離散信號的展開正交展開的一個重要特性是能量保持：

(1.22)第42頁/共114頁離散信號的展開作為數(shù)字圖像處理中常用的工具，我們在這里考察傅立葉變換的離散性和周期性在時域與變換域中的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)不同的組合列表如下：時域變換域傅氏級數(shù)連續(xù)周期離散非周期傅氏變換連續(xù)非周期連續(xù)非周期離散時間傅氏變換離散非周期連續(xù)周期離散傅氏級數(shù)離散周期離散周期離散傅氏變換離散非周期離散非周期第43頁/共114頁傅立葉變換（1）傅氏級數(shù)給定平方可積周期函數(shù)，其周期為T，即，則它可表示為頻率為的復指數(shù)函數(shù)的線性組合：（1.23a）其中，（1.23b）第44頁/共114頁傅立葉變換（2）傅氏變換給定絕對可積函數(shù)，它的傅氏變換：（1.24a）其反變換：

（1.24b）第45頁/共114頁傅立葉變換（3）離散時間傅氏變換給定序列為平方可積的，其基函數(shù)為，（1.25a）它以為周期，其逆變換為：（1.25b）第47頁/共114頁第46頁/共114頁傅立葉變換（4）離散時間傅氏級數(shù)若離散時間序列是周期為N的信號，即，基函數(shù)為，則的離散時間傅氏級數(shù)表示為：（1.26a）其中，（1.26b）（1.27）第48頁/共114頁第47頁/共114頁傅立葉變換此時兩卷積為周期卷積其中和等于和的一個周期。即。以上四種傅氏變換/級數(shù)的時域和頻域波形示意圖如圖所示。第49頁/共114頁第48頁/共114頁傅立葉變換第50頁/共114頁第49頁/共114頁傅立葉變換（5）離散傅氏變換有限長的離散時間序列的傅氏變換叫離散傅氏變換（DFT），可實現(xiàn)FFT，基函數(shù)為，則的離散傅氏變換為（1.29a）逆變換（1.29b）其中。第51頁/共114頁第50頁/共114頁1.7矩陣表示1.7.1二維圖像的矩陣向量表示1.7.2卷積的矩陣向量積表示1.7.3圖像在計算機中的表示及處理第52頁/共114頁第51頁/共114頁1.7.1二維圖像的矩陣向量表示將二維圖像寫成向量形式，便于利用一維信號處理方法。二維圖像的坐標表示到矩陣表示的映射如圖1.23所示。第53頁/共114頁第52頁/共114頁1.7.1二維圖像的矩陣向量表示二維圖像的行列矩陣表示為：第54頁/共114頁第53頁/共114頁1.7.1二維圖像的矩陣向量表示用列（或行）向量表示。第55頁/共114頁第54頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示用矩陣向量表示卷積，如圖1.24所示。由掃描矩陣得到，由掃描得到。卷積的矩陣向量表示為：（1.30）其中是維的矩陣。與系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)有關(guān)，關(guān)系在后頁分析。第56頁/共114頁第55頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示(1)一維的情況若與長度不同，分別為和，即用補零的方法將它們變?yōu)殚L度。于是有線性卷積：（1.31）第57頁/共114頁第56頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示寫為矩陣形式：或者， (1.32)

其中，的構(gòu)成元素取決于，滿足（1.33）這就是Toeplitz矩陣。第58頁/共114頁第57頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示對于因果系統(tǒng)有，所以為實現(xiàn)快速算法，在N≥M1+M2-1時，可用循環(huán)卷積來計算該線性卷積。長為N的兩個序列和的循環(huán)卷積為第59頁/共114頁第58頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示式中表示整數(shù)模的最小非負余，例如圖1.25所示。用矩陣表示為：

或者，其中，矩陣既是Toeplitz矩陣，也是循環(huán)矩陣。第60頁/共114頁第59頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示(2)二維情況設(shè)大小為，大小為，將它們都變成大小為的延伸圖像，如圖1.26所示，方法是在上述序列中加零：（1.36）（1.37）其中，第61頁/共114頁第60頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示則循環(huán)卷積為（1.38）第62頁/共114頁第61頁/共114頁1.7.2卷積的矩陣向量積表示將一維的結(jié)論直接用在二維上，有：或者，即，其中、為列矢量，每個列矢量含M個像元。由個子塊組成，每一子塊是維的矩陣，由的第j列構(gòu)成的循環(huán)矩陣。第63頁/共114頁第62頁/共114頁1.7.3圖像在計算機中的表示及處理如前所述，數(shù)字圖像可以很方便的使用矩陣形式表示，這就給圖像在計算機中的表示及處理帶來了方便。設(shè)矩陣中的元素代表8bit數(shù)字圖像中的象素，取值范圍為0至255之間的整數(shù)。因此該元素可使用C語言中的符號類型或浮點數(shù)類型來表示：第64頁/共114頁第63頁/共114頁1.7.3圖像在計算機中的表示及處理實際應(yīng)用中，圖像的大小往往是預先不知道的，同時，M、N是不能作為聲明變量來在函數(shù)間傳遞的。這樣，指針就成為解決這一問題的最好方法。數(shù)組可以使用內(nèi)存分配進程malloc動態(tài)生成：

unsignedchar*a; a=(unsignedchar*)malloc(N*sizeof(unsignedchar));類似的，聲明浮點類型一維數(shù)組。第65頁/共114頁第64頁/共114頁1.7.3圖像在計算機中的表示及處理二維數(shù)組可以被看作一維數(shù)組的數(shù)組，即：指針**a指向指針數(shù)組*a[0],*a[1],...,*a[M-1]，其中每一元素又指向圖像的每一行。基本數(shù)字圖像處理包括圖像加、減和數(shù)乘：

（1.41）第66頁/共114頁第65頁/共114頁1.7.3圖像在計算機中的表示及處理使用計算機進行處理時，上述運算應(yīng)注意輸出圖像的上下溢出問題。如果上溢出發(fā)生，對應(yīng)象素為白背景下的黑色；如果下溢出發(fā)生，對應(yīng)象素為黑背景下的白色。實際應(yīng)用中，上下溢出應(yīng)避免，這可以通過限幅處理來實現(xiàn)。 圖像的非線性變換用于大量的應(yīng)用中，其用式(1.42)表示：（1.42）使用C語言進行處理時，常用到的操作是比較與緩沖器（Buffer）拷貝。第67頁/共114頁第66頁/共114頁1.7.3圖像在計算機中的表示及處理限幅（Clipping）：旋轉(zhuǎn)（Rotation）：其中分別為圖像旋轉(zhuǎn)前后的坐標值。由式(1.44)可知，旋轉(zhuǎn)之后的圖像可表示為：通過緩存器(Buffer)映射，即可實現(xiàn)上述變換過程。第68頁/共114頁第67頁/共114頁1.8隨機過程及其分類1.8.1一維隨機過程1.8.2二維隨機過程——隨機場1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性1.8.4用矩陣表示的統(tǒng)計特性：1.8.5隨機過程的分類第69頁/共114頁第68頁/共114頁1.8.1一維隨機過程大致地說，一個隨機過程就是一系列具有概率測度的時間函數(shù)。對于有限結(jié)果樣本空間，隨機過程可以看作是樣本空間到時間波形空間的一個映射，如圖1.27所示。第70頁/共114頁第69頁/共114頁1.8.1一維隨機過程一個隨機過程也可以被看作是，給定概率為的結(jié)果樣本，則時間波形出現(xiàn)，如圖1.28所示。這n個時間信號代表時間波形的整體。如果在時刻觀察這些時間波形，則得到右邊第二列值。從上向下，得到從最左端的結(jié)果樣本到該列對應(yīng)數(shù)值的一個映射，該映射描述了一個特定的隨機變量。同理，從結(jié)果樣本到最后一列的映射描述了時刻的隨機變量。值得注意的是，隨機過程是具有兩個變量和的函數(shù)，其中是時間變量，是結(jié)果樣本變量。第71頁/共114頁第70頁/共114頁1.8.1一維隨機過程對于給定時刻，是一個隨機變量，因為它是樣本空間的函數(shù)。若給定結(jié)果樣本，則是一個特定的時間函數(shù)，稱為一個樣本函數(shù)，或者稱為隨機過程的一個實現(xiàn)。若同時給定和，則對于實隨機過程就是一個實數(shù)，對于復隨機過程就是一個復數(shù)。

第72頁/共114頁第71頁/共114頁1.8.2二維隨機過程——隨機場數(shù)字圖像的象素點分布在二維平面上，因此我們可以將其看作是二維的隨機過程。下面來看一種最簡單的由黑白兩個亮度電平構(gòu)成的數(shù)字圖像：表示位于點上的圖像象素的亮度。表示隨時間變化的二維序列，該序列是各種可能的圖像集合中的一個實現(xiàn)。如圖1.29所示。第73頁/共114頁第72頁/共114頁1.8.2二維隨機過程——隨機場由以上分析可見：對于一維情況，是一個隨機過程，隨機變量是隨時間變化的；在二維情況下，是一個隨機場，隨機變量是在空間兩個方向上分布的，給定平面上n個點，有n個隨機變量，進一步推廣到活動圖像序列的情況，圖像單元可看成三維隨機序列或隨機場的一個樣值，其中是t時間參量。這是在三個方向上變化的隨機變量的一種表述法。第74頁/共114頁第73頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性對于不能精確表述的信號的波形，采用隨機信號表述是一種基本的方法。我們知道，隨機變量的常用統(tǒng)計特性包括均值、方差、階矩等。類似地，隨機過程的重要統(tǒng)計特性也包括均值、方差和階矩，但通常都是時間的函數(shù)。對于隨機過程，還必須定義一些新的特性，包括n階密度、自相關(guān)函數(shù)和譜密度，這些特性對于隨機過程的分析很有幫助。由前面已知，對于每個t，是一個隨機變量。因此，一個隨機過程給出了可列無限或無限多個隨機變量。如果對于所有時刻和所有的n，隨機變量的聯(lián)合密度都已知，那么就說這個隨機過程被完全地定義，或者說被完整地描述。一般而言，完整的統(tǒng)計特性只在極少數(shù)情況下需要，而且這種特性是不可實現(xiàn)的。因此，定義并使用部分特性是很實用的。第75頁/共114頁第74頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性對于離散隨機過程，給定時刻n，則是隨機變量。其統(tǒng)計特性如下：·概率分布函數(shù)：。其意義是,若隨機變量是實數(shù)，則對于全部實參變量x，事件的概率是確定的。?概率密度函數(shù)(pdf)：是分布函數(shù)的導數(shù)，即

(1.46)不同時刻的概率密度不一定相同。若該統(tǒng)計特性與時間無關(guān)（即平穩(wěn)過程），則所有時刻的概率密度都相同，可省去時間參量，記為第76頁/共114頁第75頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性·均值： (1.47)

則對于一切n，離散隨機過程的均值是時間的函數(shù)。當?shù)木蹬c時間無關(guān)時，是一個常量。·方差：

(1.48)?自相關(guān)函數(shù)(acf)：給定兩個隨機變量和，相關(guān)性是二者間線性關(guān)系的量度。和可以取所有可能的值，這個相關(guān)性是和的函數(shù)。因此，實隨機過程的自相關(guān)函數(shù)是時間參量和的二維函數(shù)，定義為第77頁/共114頁第76頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性因為，所以關(guān)于和對稱，即(1.50)在稍后將要說明的廣義平穩(wěn)的情況下，自相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)。在這種情況下，定義一維自相關(guān)函數(shù)為

(1.51)

因為可以和交換位置，所以是的偶函數(shù)，可以寫作

=(1.52)第78頁/共114頁第77頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性

·自協(xié)方差函數(shù)：

(1.56)

如果把標準化，得到標準自協(xié)方差函數(shù)，定義為

(1.57)

復隨機過程的自協(xié)方差函數(shù)定義為第79頁/共114頁第78頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性把標準化得到標準自協(xié)方差函數(shù)

(1.59)

有一類十分重要的隨機過程是平穩(wěn)隨機過程，它的統(tǒng)計特性與時間的起點無關(guān)，即：即所有矩函數(shù)都獨立于n。同樣地，自相關(guān)和自協(xié)方差函數(shù)也僅取決于時間差：第80頁/共114頁第79頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性對于階平穩(wěn)過程，當時叫廣義平穩(wěn)過程。而當隨機信號在所有時刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)對于所有移動都保持不變時，稱該隨機信號為嚴格平穩(wěn)。嚴格平穩(wěn)的隨機過程必然是廣義平穩(wěn)的，但反之并不一定成立。只有對于高斯分布的隨機過程，嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)是等價的。對于平穩(wěn)隨機過程還有一個重要的統(tǒng)計特性：·功率譜密度函數(shù)（psdf）：是自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換。這個公式大致地描述了平穩(wěn)隨機過程的功率在頻率域中的分布情況。第81頁/共114頁第80頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性對于實平穩(wěn)隨機過程，是實偶函數(shù)，所以自相關(guān)函數(shù)可改寫為：

平均功率第82頁/共114頁第81頁/共114頁1.8.3隨機過程的統(tǒng)計特性下面研究系統(tǒng)對功率譜密度的頻率響應(yīng)。考慮沖擊響應(yīng)為、傳輸函數(shù)為的線性移不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)輸入是廣義平穩(wěn)隨機過程,則輸出的隨機過程有：由于的均值為常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù)只依賴于時移n，所以廣義平穩(wěn)過程經(jīng)過線性移不變系統(tǒng)后輸出也是廣義平穩(wěn)的。第83頁/共114頁第82頁/共114頁1.8.4用矩陣表示的統(tǒng)計特性：對于由維的隨機變量構(gòu)成的隨機矢量，可以定義用矩陣表示的統(tǒng)計特性如下：均值協(xié)方差其中，分別稱為隨機變量的均值矢量和協(xié)方差矩陣。第84頁/共114頁第83頁/共114頁1.8.5隨機過程的分類給定平面上個點，對應(yīng)地有個隨機變量

這些隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：。對數(shù)字圖像而言，隨機變量數(shù)非常大。因此，測量一個實際的聯(lián)合概率密度函數(shù)是非常困難的。而對于以下幾種特殊的隨機過程，情況可以大大簡化。平穩(wěn)隨機過程高斯隨機過程白噪聲過程周期隨機過程（periodicrandomprocesses）Markov過程（相關(guān)過程）第85頁/共114頁第84頁/共114頁平穩(wěn)隨機過程熱噪聲就是一種平穩(wěn)隨機過程，它的物理參量不隨時間改變，結(jié)果樣本的概率密度函數(shù)也不隨時間變化，即對于隨機序列，若它的部分序列的聯(lián)合概率密度函數(shù)和時移后序列相等，則它的均值與自相關(guān)函數(shù)是時不變的確定量。在弱平穩(wěn)意義下的隨機過程又叫作廣義平穩(wěn)。廣義平穩(wěn)的條件是： 即相關(guān)性，只與時間差有關(guān)。因此平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)可用表示：第86頁/共114頁第85頁/共114頁平穩(wěn)隨機過程得到的相關(guān)矩陣： 它是Toeplitz矩陣。的協(xié)方差為 即，協(xié)方差也只與時間差有關(guān)。得到平穩(wěn)過程的協(xié)方差矩陣

： 它也是Toeplitz矩陣。實際上，平穩(wěn)序列協(xié)方差矩陣和自相關(guān)矩陣都是Toeplitz矩陣；反之，若序列的協(xié)方差矩陣和自相關(guān)矩陣是Toeplitz矩陣，則序列是平穩(wěn)的。第87頁/共114頁第86頁/共114頁平穩(wěn)隨機過程因為 當均值為零時，自相關(guān)矩陣等于協(xié)方差矩陣： 其中，，，。具體地,第88頁/共114頁第87頁/共114頁高斯隨機過程若一個隨機矢量為有限子序列，且其聯(lián)合概率密度函數(shù)是高斯分布，則稱其為高斯隨機過程。高斯序列的聯(lián)合概率密度函數(shù)是： 其中是的協(xié)方差矩陣。高斯隨機過程具有一些特殊性質(zhì)，下面列出其中比較重要的三條：

（1）若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它必定也是嚴格平穩(wěn)的 （2）高斯隨機過程在任意時間段內(nèi)的積分也是服從高斯分布的隨機變量，對不同時間段積分所得的不同高斯變量之間服從聯(lián)合高斯分布 （3）高斯隨機過程在（）,上積分所得的隨機過程仍是高斯過程

高斯隨機過程具有如下統(tǒng)計特性： 均值=常數(shù) 協(xié)方差第89頁/共114頁第88頁/共114頁白噪聲過程為簡化分析，定義一種白噪聲過程，之所以稱其為白噪聲過程是因為該過程的譜密度在整個頻率范圍內(nèi)都是一個確定的常數(shù)。由于它在所有瞬時的信號都是獨立的，則其中任意瞬時的信號值也是獨立的，可知在所有瞬時的概率密度函數(shù)相等。因此很顯然，這種信號是平穩(wěn)信號。其功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別定義為：

第90頁/共114頁第89頁/共114頁白噪聲過程圖1.30示出了白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)

若白噪聲過程的概率密度為高斯分布，則稱為高斯白噪聲或正態(tài)白噪聲。第91頁/共114頁第90頁/共114頁周期隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程，若其自相關(guān)函數(shù)是周期的，則叫周期隨機過程。例如隨機正弦過程，若A、為獨立隨機變量，有確定概率密度函數(shù)，其自相關(guān)函數(shù) 因其自相關(guān)函數(shù)是周期的，把它叫做周期隨機過程。同樣的形式，由其付氏級數(shù)表示的隨機過程 它有獨立的零均值幅度隨機變量和。可以證明，它的自相關(guān)函數(shù)是周期性，因此它也是周期隨機過程。第92頁/共114頁第91頁/共114頁Markov過程若一個隨機過程的條件概率函數(shù)具有下列特性：

則稱該隨機過程為一階Markov序列。由上式可見，設(shè)為現(xiàn)在時刻，為過去時刻，在給定所有過去隨機變量的條件下，的條件概率取決于給定條件下的條件概率。高斯過程也是Markov過程。例7：一階平穩(wěn)Markov序列的協(xié)方差函數(shù)為：

它常用做黑白圖像掃描行的協(xié)方差模型。對于矢量，它的協(xié)方差矩陣是：

該矩陣為Toeplitz矩陣。第93頁/共114頁第92頁/共114頁1.9隨機場的相關(guān)模型用隨機模型表示圖像，有兩種方法：協(xié)方差模型和線性系統(tǒng)模型。本節(jié)講述協(xié)方差模型。該模型常用在圖像編碼和圖像恢復問題中。線性模型留在下一節(jié)討論。平穩(wěn)隨機場中各點的均值與空間坐標無關(guān)，即 設(shè)，自協(xié)方差平移不變，它可寫成一個依賴兩個變量的函數(shù)： （1.98）其中，下角標代表水平方向，代表垂直方向。滿足上述條件的平穩(wěn)隨機場的相關(guān)模型有兩種：可分離模型和不可分離模型。對于平穩(wěn)圖像場，均值為常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)可以采用可分或不可分的指數(shù)模型。可分模型在圖像處理中易于進行分析；不可分模型的協(xié)方差模型更好，但不易分析。第94頁/共114頁第93頁/共114頁可分離模型對于一階平穩(wěn)Markov模型：，其中是圖像水平與垂直方向上的空間位移，為相關(guān)量。令，代入式（1.98）得，。若，則上式為：，歸一化相關(guān)系數(shù)得到對角線相關(guān)系數(shù)

相鄰小象素之間的相關(guān)系數(shù)。如圖1.31所示。第95頁/共114頁第94頁/共114頁各向同性模型，它有旋轉(zhuǎn)對稱特性，稱為各向同性特性，它不可分離。用水平和垂直間隔的空間坐標表示。令，則：。歸一化的相鄰象素間的相關(guān)系數(shù)為其對角相鄰象素間的相關(guān)系數(shù)為。具體實驗表明，大多數(shù)圖像的和接近0.95。 對于一幅象素的黑白圖像，實驗結(jié)果如圖1.32所示。 由上圖可見，水平與垂直方向上，自相關(guān)函數(shù)都以相似速率隨增加而衰減，但給定，細節(jié)少圖像與細節(jié)多圖像的自相關(guān)函數(shù)有顯著差異。第96頁/共114頁第95頁/共114頁1.10隨機場的線性系統(tǒng)模型隨機過程除前面講的協(xié)方差模型外，還可由一階因果模型表示，如圖1.33所示。類型包括：

?AR過程——自回歸過程，用IIR濾波器實現(xiàn)； ?MA過程——滑動平均過程，用FIR濾波器實現(xiàn)； ?ARMA過程——自回歸滑動平均過程。第97頁/共114頁第96頁/共114頁1.10隨機場的線性系統(tǒng)模型給定頻譜密度,利用譜分解技術(shù)以得到因果的最小時延傳輸函數(shù)。具體地，輸入是零均值單位方差、具有高斯分布的隨機變量，通過濾波器，產(chǎn)生輸出序列要求的的譜密度。系統(tǒng)傳輸函數(shù)為

令，輸出隨機過程具有如下的遞歸形式： 其中，第一部分和式是AR模型，第二部分和式是MA模型第98頁/共114頁第97頁/共114頁線性均方估值的正交原理設(shè)為隨機變量，均值為零。線性預測估值是用過去的值預測現(xiàn)在的值，即其中，是線性預測系數(shù)。預測誤差表示為：

定義均方誤差為，我們要研究的問題是如何求使 最小？根據(jù)拉格朗日極值定理，將對求偏導，并令其等于0，則得到：即與所有隨機變量統(tǒng)計上正交。或者記為：第99頁/共114頁第98頁/共114頁自回歸AR模型（AutoRegressive）簡單表征圖像是把它考慮為光柵掃描器輸出的一維信號，是行或列的序列信號。若行間(或列間)互不相關(guān)，則可用一維線性系統(tǒng)來模擬這樣的信號。令是實的平穩(wěn)隨機序列，其均值為零，協(xié)方差為，它是線性移不變系統(tǒng)的輸出，其輸入為平穩(wěn)零均值白噪聲序列，于是它的譜密度函數(shù)SDF為：其中是的SDF。對其進行解析開拓：和有一個根（極點）在單位圓內(nèi)，必有一個根在單位圓外。線性移不變系統(tǒng)，極點在單位圓內(nèi)，滿足因果穩(wěn)定條件，則：用IIR濾波的實現(xiàn)有：，一切極點均在單位圓內(nèi)第100頁/共114頁第99頁/共114頁自回歸AR模型（二）當系統(tǒng)輸出零均值的隨機序列時，叫做階AR（自回歸）過程。如圖1.34所示，其數(shù)學描述如下：其中是平穩(wěn)零均值序列，它與過去的輸出無關(guān)。上式的意義為：通過最近個輸出和現(xiàn)在的輸入遞歸產(chǎn)生下一個輸出。第101頁/共114頁第100頁/共114頁自回歸AR模型（三）AR模型具有如下特性： （1）最佳線性均方預測器的值 它是基于所有個過去樣值的結(jié)果。對于高斯白噪聲序列，它意味著階AR序列是Markov-p過程，則： 時刻的樣值是“最小方差因果預測估值+預測誤差”，因此AR模型也被叫做因果最小方差表示。

（2）因果濾波器 被叫做預測誤差濾波，如圖1.35所示。第102頁/共114頁第101頁/共114頁自回歸AR模型（四）此濾波器由序列產(chǎn)生預測誤差序列