2.2.1用樣本的頻率分布估計總體的分布(二).二、總體密度曲線1．頻率分布折線圖把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖。為了方便看圖，一般習慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸上的左右兩端點沒有實際的意義。例如，前面的鋼管內徑的頻率分布折線圖，如圖所示。.頻率分布直方圖：.頻率分布折線圖.2．總體密度曲線如果樣本容量越大，所分組數越多，上述圖中表示的頻率分布就越接近于總體在各個小組內所取值的個數與總數比值的大小。設想如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線y=f(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線。.總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區域內取值的規律。產品尺寸落在(a，b)內的百分率就是圖中帶斜線部分的面積。對前面鋼管內徑的例子來說，總體密度曲線呈中間高兩邊低的“鐘”形分布，總體的數據大致呈對稱分布，并且大部分數據都集中在靠近中間的區間內。..例：對于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關系，下列說法中正確的是（）（A）頻率分布折線圖與總體密度曲線無關（B）頻率分布折線圖就是總體密度曲線（C）樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線（D）如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密度曲線D.解析：總體密度曲線通常是用樣本頻率分布估計出來的；因為如果樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是總體密度曲線，故選D..（1）總體密度曲線與總體分布相互唯一確定，如果總體分布已知，就可以得到總體密度曲線的函數表達式，從而用函數的理論去研究它。但我們所面臨的情況是總體分布未知，因此，我們只能通過樣本頻率分布折線圖近似表示總體密度曲線，當然還可以用其他方法估計總體密度曲線，但不能夠通過樣本數據準確地畫出總體密度曲線。進一步理解：.（2）總體密度曲線的實際意義在于：總體密度曲線與x軸，直線x=a，x=b圍成的面積等于x在[a，b]取值時的概率..2.莖葉圖莖葉圖也是用來表示數據的一種圖，莖是中間的一列數，葉是從莖上生長出來的數.例．甲、乙兩籃球運動員在上賽季每場比賽的得分如下，試比較這兩位運動員的得分水平．甲：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50．乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.解：畫出兩人得分的莖葉圖.莖葉圖的中間部分像一顆植物的莖，兩邊部分像這顆植物上長出來的葉子。用中間的數字表示兩位運動員得分的十位數，兩邊的數字分布表示兩個人各場得分的個位數，例如3|389就表示了33，38，39這3個數據。.從這個莖葉圖可以看出甲運動員的得分大致對稱平均得分及中位數、眾數都是30多分；乙運動員的得分除一個51外，也大致對稱，平均得分及中位數、眾數都是20多分，因此甲運動員發揮比較穩定，總體得分情況比乙好．.畫莖葉圖的步驟S1將每個數據分為莖（高位）和葉（低位）兩部分；S2將最小莖和最大莖之間的數按大小次序排成一列，寫在左（右）側；S3將各個數據的葉按大小次序寫在其莖右（左）側。.幾種表示樣本分布的方法比較：（1）頻率分布表在數量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數據分布的總體態勢不太方便；（2）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到頻率分布表中看不清楚的數據模式，但是從頻率分布直方圖本身不能得出原始的數據內容，也就是說，把數據表示成直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了。.（3）頻率分布折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體密度曲線。（4）用莖葉圖刻畫數據有兩個優點：一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數據的分布情況，但當樣本數據較多或數據位數較多時，莖葉圖就顯得不太方便了。.例1.在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子的字數如下：10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，22，11，24，27，17.在某報紙的一篇文章中，每個句子的字數如下：27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，35，12，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22。.（1）將這兩組數據用莖葉圖表示；（2）將這兩組數據進行比較分析，得到什么結論？（1）將這兩組數據用莖葉圖表示；.（2）電腦雜志上每個句子的字數集中在10，30之間，中位數為22.5，而報紙上每個句子的字數集中在20，40之間，中位數為27.5，還可以看出電腦雜志上每個句子的平均字數比報紙上每個句子的平均字數要少，說明電腦雜志作為科普讀物需要簡潔明了、通俗易懂。.例2.有人說：“莖葉圖表示三位數以上的數據時不夠方便”,果真如此嗎？請看下例：現在能否用莖葉圖來表示上述數據呢？.解：從上述數據可以看到它們的百位數字都是3，所不同的僅僅是十位和個位，而兩位數據是可以作莖的，那么只需在莖的位置寫上百位和十位，葉的位置上寫上個位即可。.例3.某運動員得分的莖葉圖如下，試判斷他的得分的中位數，眾數及穩定程度..解：從這個圖可以直觀的看出該運動員得分的中位數是36、眾數是31與36，且得分大都在20和40之間，分布較對稱，集中程度高，說明其發揮比較穩定．.練習題：1.在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示（）A.頻率/樣本容量 B.組距×頻率C.頻率 D.頻率/組距D.2.在用樣本頻率估計總體分布的過程中，下列說法中正確的是（）A.總體容量越大，估計越精確B.總體容量越小，估計越精確C.樣本容量越大，估計越精確D.樣本容量越小，估計越精確C.3.一個容量為20的樣本數據，分組后組距與頻數如下表.組距[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)頻數234542則樣本在區間(－∞，50)上的頻率為()A.0.5B.0.25C.0.6D.0.7D.4.10個小球分別編有號碼1，2，3，4，其中1號球4個，2號球2個，3號球3個，4號球1個，數0.4是指1號球占總體分布的（）A.頻數B.頻率C.頻率/組距D.累計頻率B.5.已知樣本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么頻率為0.25的樣本的范圍是()A.[5.5，7.5)B.[7.5，9.5)C.[9.5，11.5)D.[11.5，13.5)D.6.頻率分布直方圖中，小長方體的面積等于()A.相應各組的頻數B.相應各組的頻率C.組數D.組距B.7.將容量為50的數據，按從小到大的順序分為6組，如下表.組號123456頻數68101097第3組的頻率和前3組的累計頻率是（）A.0.24和0.5 B.0.2和0.48C.0.06和0.24 D.0.14和0.48B.8.從一群學生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析，已知不超過70分的人數為8人，其累計頻率為0.4，則這樣的樣本容量是（）A.20人 B.40人C.70人 D.80人A.9.一個容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數和頻率分別是30和0.25，則n=____________.12010.將100個數據分成8個組，其中有一組是9個數據，那么該組的頻數是______，頻率是____________.90.09.11.從某校2100名學生隨機抽取一個30名學生的樣本，樣本中每個學生用于課外作