2022年湖南省岳陽市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

2.（）。A.

B.

C.

D.

3.

4.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

5.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

6.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

7.設f(xo)=0，f(xo)<0，則下列結論中必定正確的是

A.xo為f(x)的極大值點

B.xo為f(x)的極小值點

C.xo不為f(x)的極值點

D.xo可能不為f(x)的極值點

8.

9.設f'(x0)=0，f"(x0)＜0，則下列結論必定正確的是()．A.A.x0為f(x)的極大值點

B.x0為f(x)的極小值點

C.x0不為f(x)的極值點

D.x0可能不為f(x)的極值點

10.下列關系正確的是()。A.

B.

C.

D.

11.

12.設y=2-x，則y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

13.

14.

15.

16.f(x)在[a，b]上連續是f(x)在[a，b]上有界的()條件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要

17.f(x)在[a，b]上可導是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關條件18.設區域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，（）.A.1B.2C.3D.419.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.微分方程y'=0的通解為__________。

24.25.

26.27.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．

28.設f(x，y)=sin(xy2)，則df(x，y)=______.

29.

30.

31.32.

33.微分方程y＋y=sinx的一個特解具有形式為

34.

35.

36.37.38.已知平面π：2x+y-3z+2=0，則過點(0，0，0)且與π垂直的直線方程為______．39.

40.通解為C1e-x＋C2e-2x的二階常系數線性齊次微分方程是____.

三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

46.

47.求微分方程的通解．48.49.求曲線在點(1，3)處的切線方程．50.

51.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．52.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．53.

54.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．55.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則56.證明：

57.

58.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

59.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．60.四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.(本題滿分8分)

65.

66.

67.設ex-ey=siny，求y’

68.

69.70.五、高等數學(0題)71.求y=2x3一9x2+12x+1在[0，3]上的最值。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A由復合函數鏈式法則可知，因此選A．

2.A

3.C

4.C

5.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

6.C

7.A

8.C

9.A本題考查的知識點為函數極值的第二充分條件．

由極值的第二充分條件可知應選A．

10.B由不定積分的性質可知，故選B．

11.C解析：

12.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易錯誤選C，這是求復合函數的導數時丟掉項而造成的!因此考生應熟記：若y=f(u)，u=u(x)，則

不要丟項。

13.A解析：

14.B

15.C

16.A定理：閉區間上的連續函數必有界；反之不一定。

17.B∵可導一定連續，連續一定可積；反之不一定。∴可導是可積的充分條件

18.D的值等于區域D的面積，D為邊長為2的正方形面積為4，因此選D。

19.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

20.C

21.00解析：

22.-4cos2x

23.y=C24.本題考查的知識點為定積分的基本公式。

25.

26.tanθ-cotθ+C

27.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

28.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).

29.

30.e-3/2

31.0

32.

本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

注意此處冪級數為缺項情形．

33.

34.00解析：

35.(-∞．2)36.

37.1/2

本題考查的知識點為計算二重積分．

其積分區域如圖1—1陰影區域所示．

可利用二重積分的幾何意義或將二重積分化為二次積分解之．

解法1

解法2化為先對y積分，后對x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線與區域D相交，沿Y軸正向看，人口曲線為y＝x，作為積分下限；出口曲線為y＝1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區域D在x軸上的投影最小值為x＝0，最大值為x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對x積分，后對y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線與區域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x＝0，作為積分下限；出口曲線為x＝y，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區域D在y軸上投影的最小值為y＝0，最大值為y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

38.本題考查的知識點為直線的方程和平面與直線的關系．

由于直線與已知平面垂直，可知直線的方向向量s與平面的法向量n平行．可以取s=n=(2，1，-3)，又已知直線過點(0，0，0)，由直線的標準式方程可知

為所求．39.2本題考查的知識點為二重積分的幾何意義．

由二重積分的幾何意義可知，所給二重積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二重積分計算可知

40.

41.

42.

43.

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.

48.

49.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

50.由一階線性微分方程通解公式有

51.

52.由二重積分物理意義知

53.

則

54.

列表：

說明

55.由等價無窮小量的定義可知

56.

57.

58.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％59.函數的定義域為

注意

60.

61.62.本題考查的知識點為定積分的換元積分法．

63.

64.本題考查的知識點為求二元隱函數的偏導數．

解法1將所給方程兩端關于x求偏導數，可得

將所給方程兩端關于y求偏導數，可得

解法2

【解題指導】

65.

66.

67.

68.69.解法1原式(兩次利用洛必達法則)解法2原式(利用等價無窮小代換)本題考查的知識點為用洛必達法則求極限．

由于問題為“∞-∞”型極限問題，應先將求極限的函數通分，使所求極限化為“”型問題．

如果將上式右端直接利用洛必達法則求之，則運算復雜．注意到使用洛必達法則求極限時，如果能與等價無窮小代換相結合，則問題常能得到簡化，由于當x→0時，sinx～x，因此

從而能簡化運算．

本題考生中常見的錯誤為：由于當x→0時，sinx～x，因此

將等價無窮小代換在加減法運算中使用，這是不允許