上海昂立中學生教育(水城分校)2023年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，關于x的不等式有且只有三個整數解，則實數a的取值范圍是（

）A．B．C．D．參考答案：A2.若a＞0，b＞0，且a+b=4，則下列不等式中恒成立的是（） A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤參考答案：D【考點】基本不等式． 【專題】計算題． 【分析】由題設知ab≤，所以，，，==≤，由此能夠排除選項A、B、C，從而得到正確選項． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4， ∴ab≤， ∴，故A不成立； ，故B不成立； ，故C不成立； ∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8， ∴==≤，故D成立． 故選D． 【點評】本題考查不等式的基本性質，解題時要注意均值不等式的合理運用． 3.下列函數中,既是偶函數又在區間(0,+∞)上單調遞減的是(

)A． B．

C.．

D．參考答案：C略4.把函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把所得函數圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象對應的解析式是（A） （B）（C） （D）參考答案：A把函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，得到，再把所得函數圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象對應的解析式，選A.5.若集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】集合的運算A1C解析：因為集合，所以，故選擇C.【思路點撥】先求得集合M，P，然后利用交集的定義可求得的值.6.已知，由如右程序框圖輸出的（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知集合，，則A∩B=（

）A.(－1,1) B.(－1,+∞) C.[0,1] D.(0,1)參考答案：D【分析】根據對數中真數大于0求出集合A，根據指數函數的圖像和性質得出集合B，進而求出【詳解】解得：故選D8.設等差數列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），其前n項和為Sn，若數列{}也為等差數列，則的最大值是（）A．310B．212C．180D．121參考答案：D考點：數列的函數特性；等差關系的確定．專題：等差數列與等比數列．分析：等差數列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），設公差為d，則an=1+（n﹣1）d，其前n項和為Sn=，由于數列{}也為等差數列，可得=+，解出d，可得=，利用數列的單調性即可得出．解答：解：∵等差數列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），設公差為d，則an=1+（n﹣1）d，其前n項和為Sn=，∴=，=1，=，=，∵數列{}也為等差數列，∴=+，∴=1+，解得d=2．∴Sn+10=（n+10）2，=（2n﹣1）2，∴==，由于為單調遞減數列，∴≤=112=121，故選：D．點評：本題考查了等差數列的通項公式公式及其前n項和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為()A.

B.

C.

D.

參考答案：B10.對于空間的兩條直線m、n和一個平面α，下列命題中的真命題是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥nD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用；空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】A．利用線面平行的性質定理即可得出；B．利用線面平行的性質定理即可得出；C．利用線面平行與垂直的性質定理即可得出；D．利用線面垂直的性質定理即可得出．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，則m∥n、相交或為異面直線，因此A不正確；B．若m∥α，n?α，則m∥n或為異面直線，因此B不正確；C．若m∥α，n⊥α，則m⊥n，因此C不正確；D．若m⊥α，n⊥α，利用線面垂直的性質定理可知：m∥n．正確．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的定義域是,．設且，則的最小值是

．參考答案：512.已知函數.（1）若a=0，x∈[0，4]，則f（x）的值域是

；（2）若f（x）恰有三個零點，則實數a的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]；（﹣∞，0）【考點】函數零點的判定定理；函數的值．【分析】（1）求出f（x）在[﹣4，4]上的單調性，利用單調性求出最值即可得出值域；（2）對x討論，分別求出f（x）的零點，令其零點分別在對應的定義域上即可．【解答】解：（1）a=0時，f（x）=，∴f（x）在[0，1]上單調遞減，在（1，4]上單調遞增，∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．（2）當x≤1時，令f（x）=0得x=2a或x=a，當x＞1時，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），∵f（x）恰好有三個解，∴，解得a＜0．故答案為：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．13.在實數集上定義運算

，并定義：若存在元素使得對，有，則稱為上的零元，那么，實數集上的零元之值是

參考答案：；根據“零元”的定義，，故14.如果點在平面區域上，點在曲線上，那么的最小值為

參考答案：答案：15.（x2+3x+2）5的展開式中x的系數是．參考答案：240【考點】二項式定理的應用．【分析】根據（x2+3x+2）5=（x+1）5?（x+2）5，可得x的系數是??25+??24，計算求得結果．【解答】解：（x2+3x+2）5=（x+1）5?（x+2）5，故x的系數是??25+??24=240，故答案為：240．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．16.已知，則的值為

參考答案：17.過曲線上點處的切線平行于直線，那么點的坐標為參考答案：試題分析：設點的坐標，求導得由導數的幾何意義，解得，故點坐標為．考點：導數的幾何意義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線(t為參數），在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．（1）求曲線C的參數方程和直線l的普通方程；（2）過曲線C上任意一點M作與l夾角為60°的直線，交l于點N，求MN的最小值．參考答案：（1）曲線的C參數方程為（為參數）直線的普通方程為（2）【分析】（1）根據題意，代入，可得，即，其參數方程為，（為參數），直線的普通方程為（2）設，求出到直線的距離，利用三角函數的性質求出最小值．【詳解】解：（1）代入，可得，即+=1，其參數方程為（為參數），直線的普通方程為.（2）設，則到的距離當時，取最小值為,故的最小值為.【點睛】本題考查了參數方程化普通方程，極坐標化直角坐標方程，簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題．19.（本小題滿分12分）（文）已知關于的一元二次函數（1）設分別從集合和中隨機取一個數作為和，求函數在區間[上是增函數的概率；（2）設點（，）是區域內的隨機點，求函數在區間[上是增函數的概率.參考答案：要使在區間上為增函數，當且僅當且，即，

……3分（1）若，則

若，則，若，則，

∴事件包含個基本事件

………………5分∴所求事件的概率為

………………7分（2）依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為構成所求事件的區域為三角形部分。由

得交點坐標為

………………10分∴所求事件的概率為

………………12分20.已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．（1）求a的值；（2）求函數g（x）的極值；（3）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），證明＜k＜．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【專題】計算題；函數思想；方程思想；轉化思想；導數的概念及應用；導數的綜合應用．【分析】（1）求出函數的導數，利用函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸，斜率為0，求出a即可．（2）求出函數的極值點，判斷函數的單調性，然后求出函數的極值．（3）利用直線的斜率以及導函數的符號，證明即可．【解答】解：（1）依題意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3，函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函數g（x）的定義域為：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函數g（x）在（0，）上單調遞增，在（）單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增．故函數g（x）的極小值為g（1）=﹣2．…．（3）證明：依題意得?lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，則h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，當x＞時，h′（x）＜0，當0＜x＜時，h′（x）＞0，h（x）在（0，）單調遞增，在（，+∞）單調遞減，又h（x1）=h（x2），x1＜＜x2，即＜k＜…【點評】本題考查函數的導數的綜合應用，函數的極值以及單調性，考查分析問題解決問題的能力．21.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周長的取值范圍．參考答案：考點：解三角形的實際應用．專題：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，結合和差的正弦公式，化簡可得結論；（2）利用余弦定理結合基本不等式，可求△ABC的周長的取值范圍．解答： 解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由題意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b