2022年度河南省商丘市永城鄉重點中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.求證,P=(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2若a≠則一定有（）A．P＞q B．P＜qC．P、q的大小不定 D．以上都不對參考答案：B【考點】平均值不等式在函數極值中的應用．【分析】設f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，將此式化成二次函數的一般形式，結合二次函數的最值即可進行判定．【解答】解：設f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，則f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2當時，f（x）取得最小值，即P＜q．故選B．【點評】本題主要考查了二次函數在函數極值中的應用，解答的關鍵是利用函數思想結合二次函數的最值即可．2.已知集合M={x｜x＞x2｝，N={y｜y=M}，則M∩N=A、{x｜0＜x＜}B、{x｜＜x＜1}C、{x｜0＜x＜1}D、{x｜1＜x＜2}參考答案：B3.執行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為時，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2參考答案：A【考點】循環結構．【專題】計算題；圖表型；試驗法；算法和程序框圖．【分析】模擬執行程序，依次寫出每次循環k的值，當k=5時，大于4，計算輸出S的值為，從而得解．【解答】解：模擬執行程序，可得每次循環的結果依次為：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，輸出S的值為．故選：A．【點評】本題主要考查了循環結果的程序框圖，模擬執行程序正確得到k的值是解題的關鍵，屬于基礎題．4.如圖所示是求樣本的平均數的程序框圖，圖中的空白框中應填入的內容為（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：A由于，所以，選A5.已知，，規定：當時,；當時,，則（

）A．有最小值,最大值1

B．有最大值1,無最小值C．有最小值,無最大值

D．有最大值,無最小值參考答案：C6.若實數滿足約束條件，則的最大值為（

）A．-8

B．-6

C.-2

D．4參考答案：D本題考查簡單線性規劃.畫出可行域,如圖三角形ABC所示.當過點時,取得最大值.選D.7.在等差數列中，，則等于（

）

參考答案：A8.函數的最大值為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C,所以函數的最大值為，選C.9.設向量與的夾角為，=（2，1），3+=（5，4），則=

A.

B.

C.

D.參考答案：答案：D10.已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）=log2（x+1），則f（31）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2參考答案：C【考點】函數的值．【分析】由已知推導出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定義在R上的奇函數f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵當x∈[0，1]時，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設二次函數f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則的最小值為

．參考答案：3【考點】基本不等式；二次函數的性質．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先判斷a、c是正數，且ac=4，把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．【解答】解：∵二次函數f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），∴a＞0，△=16﹣4ac=0，∴ac=4，則c＞0，∴≥2=2=3，當且僅當，=時取到等號，∴的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題考查函數的值域及基本不等式的應用，求解的關鍵就是求出a與c的關系，屬于基礎題．12.設

則=__________參考答案：【知識點】導數的應用B12【答案解析】-

由題意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，

f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，

由此可知，在逐次求導的過程中，所得的函數呈周期性變化，從0開始計，周期是4，

∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=-cosx∴f2015（）=-cos=-故答案為：-。【思路點撥】由題意對函數的變化規律進行探究，發現呈周期性的變化，且其周期是4，即可得到結論．13.設滿足約束條件：；則的取值范圍為

.參考答案：略14.均為單位向量，且它們的夾角為60°，設滿足，，則的最小值為______.參考答案：【分析】根據的幾何意義判斷在一個半徑為的圓上，根據判斷的終點在過的終點且平行于的直線上.根據圓和直線的位置關系，以及的幾何意義，求得的最小值.【詳解】由于，即，即與兩個向量終點的距離為，即的終點在以的終點為圓心，半徑為的圓上.由于，根據向量加法的平行四邊形法則可知，的終點在過的終點且平行于的直線上.畫出圖像如下圖所示.由于均為單位向量，且它們的夾角為，故圓心到直線的距離，表示兩個向量終點的距離，所以最短距離也即的最小值為.【點睛】本小題主要考查平面向量減法模的幾何意義，考查平面向量加法運算的平行四邊形法則，考查考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，綜合性較強，屬于中檔題.15.已知雙曲線與橢圓的焦點重合，離心率互為倒數，設F1,F2分別為雙曲線C的左，右焦點，P為右支上任意一點，則的最小值為

．參考答案：8由已知，，；又雙曲線與橢圓焦點重合，離心率互為倒數，，則雙曲線；在右支上，根據雙曲線的定義有

，，故的最小值為.

16.數列通項公式的前項和，則=

。參考答案：3019略17.已知經過計算和驗證有下列正確的不等式：，，，根據以上不等式的規律，請寫出對正實數成立的條件不等式．參考答案：當時，有三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分13分)如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1，側面BCC1B1底面ABC.

（I）若M、N分別為AB、A1C的中點，求證：MN//平面BCC1B1；

（II）若三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長均為2，側棱BB1與底面ABC所成的角為60°.問在線段上是否存在一點P，使得平面ABP與底面ABC的所成角為，若存在，求BP的長度，若不存在，說明理由.參考答案：（I）思路點撥1：連接,證明：;------------------4分

思路點撥2：取BC中點,取中點,證明：是平行四邊形

思路點撥3：取AC中點K，連接MK,NK，證明平面MKN//平面BCC1B1

（II）過作BC的垂線,垂足為O，側面BCC1B1底面ABC

所以平面ABC，------------------------------------6分

所以就是側棱BB1與底面ABC所成的角，即=60°--7分

又AB=AC，所以,

如圖，以O為原點，BC所在直線為X軸，OA為y軸建立空間直角坐標系

則-------------8分

-------------9分

解1：，設平面的法向量為

則，令，則y=-1,x=-3,所以---11分

又平面ABC的法向量為（0,0,1），

設平面使得平面與底面ABC的所成角為

所以，又在上單調遞減，

所以在上不存在點P，使得平面ABP與底面ABC的所成角為-----------------------13分解2：設P在上，所以…19.已知拋物線C：y=x2．過點M（1，2）的直線l交C于A，B兩點．拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P．（Ⅰ）若直線l的斜率為1，求|AB|；（Ⅱ）求△PAB面積的最小值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）直線l的方程為y=x+1，代入y=x2，消去y，求出方程的根，即可求|AB|；（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x﹣1）+2，代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，利用韋達定理，結合弦長公式求出|AB|，求出P的坐標，可求點P到直線l的距離，即可求△PAB面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，直線l的方程為y=x+1，代入y=x2，消去y，可得x2﹣x﹣1=0，解得，x1=，x2=．所以|AB|=|﹣|=．

…（6分）（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x﹣1）+2，設點A（x1，y1），B（x2，y2）．由y=k（x﹣1）+2代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，于是x1+x2=k，x1x2=k﹣2，又因為y′=（x2）′=2x，所以，拋物線y=x2在點A，B處的切線方程分別為：y=2x1x﹣x12，y=2x2x﹣x22．得兩切線的交點P（，k﹣2）．所以點P到直線l的距離為d=．又因為|AB|=?|x1﹣x2|=?．設△PAB的面積為S，所以S=|AB|?d=≥2（當k=2時取到等號）．所以△PAB面積的最小值為2．

…（14分）【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關系、三角形面積公式等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．20.設橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。參考答案：略21.(本小題滿分12分)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，