2021-2022學年湖南省衡陽市致公中學高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以坐標軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓的圓心的拋物線的方程是

A．或

B．C．或

D．或參考答案：D略2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是

A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知球的半徑為1，三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為，則球心到平面的距離為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，y=f′（x）的圖象如圖所示，則y=f（x）的圖象最有可能的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．【分析】先根據(jù)導函數(shù)的圖象確定導函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進而根據(jù)當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．【解答】解：由y=f'（x）的圖象易得當x＜0或x＞2時，f'（x）＞0，故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增；當0＜x＜2時，f'（x）＜0，故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減；故選C．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．5.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為等比數(shù)列，是的前項和，則，，是等比數(shù)列B．若為等比數(shù)列，是的前項和，則，，是等差數(shù)列C．若為等比數(shù)列，“”是“”的充要條件D．滿足（，為常數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列參考答案：B對于A，當公比為時，,,,∴，，不是等比數(shù)列；對于B，若為等差數(shù)列，是的前項和，則，，是等差數(shù)列；對于C，若為常數(shù)列，，顯然1+102+3，對于D，當q=0時，顯然數(shù)列不為等比數(shù)列故選：B

6.下列說法正確的是

（

）A.是過點且斜率為的直線.B.在x軸和y軸上的截距分別是a、b的直線方程.C.直線與y軸的交點到原點的距離是b.D.不與坐標軸平行或重合的直線方程一定可以寫成兩點式或斜截式.參考答案：D7.函數(shù)的圖象過點，那么函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C8.過點C(4，0)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點．則直線AB的斜率k的取值范圍是(

) A．|k|≥1 B．|k|> C．|k|≤ D．|k|<1參考答案：B9.長方體一個定點上的三條棱長分別是，，，且它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（

）． A． B． C． D．參考答案：B由于長方體的體對角線是長方體外接球的直徑，∴．∴球的表面積．故選．10.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，則此三角形有（）A．一解B．兩解C．無解D．無窮多解參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.假定一個家庭有兩個小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一個是女孩的前提下，則另一個小孩是男孩的概率是

．參考答案：12.設全集S有兩個子集A,B,若由x∈SAx∈B,則x∈A是x∈SB的

條件。參考答案：必要13.的展開式中x2y2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）參考答案：70【考點】二項式定理．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x、y的冪指數(shù)都等于2，求得r的值，即可求得展開式中x2y2的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣1）r??=?（﹣1）r??，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展開式中x2y2的系數(shù)為=70，故答案為：70．14.下列說法：①函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6的零點只有1個且屬于區(qū)間（1，2）；②若關于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個不同的交點；④已知函數(shù)f（x）=log2為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為1．正確的有

．（請將你認為正確的說法的序號都寫上）．參考答案：①④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；簡易邏輯．【分析】對于①：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷；對于②：分a=0和a≠0進行討論，a≠0時結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解；對于③：結(jié)合圖象及導數(shù)進行判斷；對于④：利用奇函數(shù)定義式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定義域．【解答】解：對于①：函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正確；對于②：當a=0時原不等式變形為1＞0，恒成立；當a≠0時，要使關于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，綜上可得a的范圍是[0，1），故②不正確；對于③：令函數(shù)y=x﹣sinx，則y′=1﹣cosx，所以該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，且x=0時最小，且該函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=x﹣sinx只有x=0一個零點，即函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象只有一個交點，故③不正確；④由奇函數(shù)得：，，a2=1，因為a≠﹣1，所以a=1．故④正確．故答案為：①④．【點評】該題目考查了函數(shù)的奇偶性的定義、零點定理、等基礎知識，在應用過程中要注意準確把握定理應用的要素與條件，切不可想當然．15.設z=x—y

,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

．參考答案：116.已知三棱錐P－ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱錐外接球的表面積為S＝9π，則實數(shù)a的值為()參考答案：D略17.“掃雷”游戲，要求游戲者找出所有的雷，游戲規(guī)則是：一個方塊下面有一個雷或沒有雷，如果無雷，掀開方塊下面就會標有數(shù)字（如果數(shù)學是0，常省略不標），此數(shù)字表明它周圍的方塊中雷的個數(shù)（至多八個），如圖甲中的“3”表示它的周圍八個方塊中有且僅有3個雷.圖乙是小明玩的游戲中的局部，根據(jù)圖乙中信息，在ABCDEFG這七個方塊中，有雷的方塊為

．

參考答案：ADFG第4行第7個數(shù)字2，所以F、G方塊有雷.第4行第6個數(shù)字4，說明E方塊沒有雷.由于第4行第4個數(shù)字3，說明C、D中必有一個有雷.假設C有雷，D無雷.由于第6行第7個數(shù)字2，所以第7行6、7、8、9都沒有雷，第5個有雷，但是第6行第4個數(shù)字2，這樣第6行第4個數(shù)字周圍就有3個雷，與題目矛盾，故C無雷，D有雷.由于第4行第3個數(shù)字1，所以B五雷，由于第4行第2個數(shù)字1，所以A有雷.故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知圓的圓心在直線上，且與軸正半軸相切，點與坐標原點的距離為.（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）直線過點且與圓相交于兩點，求弦長的最小值及此時直線的方程.參考答案：（Ⅰ）由題可設，半徑，.圓與軸正半軸相切，圓的標準方程：.（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時弦長②當直線的斜率存在時，設直線的方程：點到直線的距離，弦長，當時，弦長的最小值，此時直線的方程為由①②知當直線的方程為弦長的最小值.19.在平面直角坐標系中，點，直線.設圓的半徑為，圓心在上.(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.參考答案：解：（1）聯(lián)立方程解得，

所以所求圓的圓心為，所求圓的方程為，設過點圓的切線的方程為，則，解得或，所以過點圓的切線的方程為，或，（2）圓的圓心在直線上，故的坐標為設點，因為，則，

得，即所以點在以為圓心，以為半徑的圓上，又點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，即，即,解得

略20.在△ABC中，已知AC=3，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．（1）若cosC=，求AB；

（2）求△ABC的面積的最大值．參考答案：【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）由三個角成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，根據(jù)cosC的值求出sinC的值，再由sinB，AC的長，利用正弦定理即可求出AB的長；（2）利用余弦定理列出關系式，將AC，cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出面積的最大值．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，∵cosC=，∴sinC==，則由正弦定理=得：AB==2；（2）設角A，B，C的對邊為a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣ac，∴a2+c2=9+ac≥2ac，即ac≤9，∴S△ABC=ac?sinB≤，則△ABC面積的最大值為．21.2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業(yè)績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

對服務好評對服務不滿意合計對商品好評140

對商品不滿意

10

合計

200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為X．①求隨機變量X的分布列；②求X的數(shù)學期望和方差．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）詳見解析（2）①詳見解析②，【分析】(1)補充列聯(lián)表，根據(jù)公式計算卡方值，進行判斷；（2）①每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項分布，按照二項分布的公式進行計算即可得到相應的概率值；②按照二項分布的期望和方差公式計算即可.【詳解】（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表：

對服務好評對服務不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200

則．由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關．（2）①每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，且X的取值可以是0，1，2，3，則，，，．故X的分布列為X0123P

②由于X～B（3，），則，．【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事