代數特征值問題第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第八章代數特征值問題第一節(jié)特征值的估計和數值穩(wěn)定性第二節(jié)冪法和反冪法第三節(jié)求矩陣全部特征值的QR方法第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日

定理1

設為的特征值,，則（1）為的特征值（為常數);（2）為的特征值，即（3）為的特征值；第一節(jié)特征值的估計和數值穩(wěn)定性第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日

定理2

（1）設可對角化，即存在非奇異矩陣使的充要條件是具有個線性無關的特征向量.（2）如果有個不同的特征值則對應的特征向量線性無關.第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日而的列向量為的對應于的特征向量.

定理3

設為對稱矩陣，則：（1）的特征值均為實數；（2）有個線性無關的特征向量；（3）存在一個正交矩陣使且為特征值，第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日記稱為矩陣的瑞利（Rayleigh）商.

定理4

設為對稱矩陣（其特征值次序記為則

證明

只證1.

由于為實對稱矩陣，可將對應的特征向量正交規(guī)范化，則有（1.3）第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日設為中任一向量，則有展開式于是從而1成立.結論1說明瑞利商必位于和之間.第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日特征值估計與擾動稱復平面上以為圓心，以為半徑的所有圓盤為的格什戈林（Gerschgorin）圓盤.

定義1

設.令

(1)(2)集合.第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

定理5

（格什戈林圓盤定理）（1）設，則的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中（1.4）或者說，的特征值都在復平面上個圓盤的并集中.（2）如果有個圓盤組成一個連通的并集，且與余下個圓盤是分離的，則內恰包含的個特征值.特別地，如果的一個圓盤是與其他圓盤分離的(即孤立圓盤)，則中精確地包含的一個特征值.

第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日

證明

只就(1)給出證明.設為的特征值，即

記考慮的第個方程，即或于是第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日即這說明，的每一個特征值必位于的一個圓盤中，并且相應的特征值一定位于第個圓盤中.其中是對應特征向量絕對值最大的分量的下標.第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日利用相似矩陣性質，有時可以獲得的特征值進一步的估計，即適當選取非奇異對角陣并做相似變換.適當選取可使某些圓盤半徑及連通性發(fā)生變化.第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日

例1

估計矩陣

特征值的范圍.解

的3個圓盤為

由定理5，可知的3個特征值位于3個圓盤的并集中，由于是孤立圓盤，所以內恰好包含的一個特征值（為實特征值），即第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日的其他兩個特征值包含在的并集中.現選取對角陣做相似變換的3個圓盤為第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日這樣，3個圓盤都成為了孤立圓盤，每一個圓盤都包含的一個特征值（為實特征值）且有估計第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日下面討論當有擾動時產生的特征值擾動，即有微小變化時特征值的敏感性.

定理6

（Bauer-Fike定理）設是的一個特征值，且則有其中為矩陣的范數，

證明只要考慮.這時非奇異，設是對應于的特征向量，由左乘可得（1.5）第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日是非零向量.上式兩邊取范數有而對角矩陣的范數為所以有這就得到（1.5）式.這時總有中的一個取到值.第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日由定理6可知是特征值擾動的放大系數，但將對角化的相似變換矩陣不是唯一的，所以取的下確界（1.6）稱為特征值問題的條件數.只要不很大，矩陣微小擾動只帶來特征值的微小擾動.但是難以計算，有時只對一個，用代替.第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日特征值問題的條件數和解線性方程組的條件數是兩個不同的概念，對于一個矩陣，兩者可能一大一小.關于計算矩陣的特征值問題，當時，還可以按行列式展開的方法求特征方程的根.但當較大時，如果按展開行列式的方法，首先求出的系數，再求的根，工作量就很大，用這種方法求特征值是不切實際的,需要研究求的特征值及特征向量的數值方法.第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)冪法和反冪法

一、冪法

求矩陣的按模最大的特征值（主特征值）與相應的特征向量。它是通過迭代產生向量序列，由此計算特征值和特征向量。第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日

第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日是歸一化的向量，所以第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日兩種特殊情況第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日冪法小結第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、冪法的加速

因為冪法的收斂速度是線性的，而且依賴于比值,當比值接近于1時，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種。第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、反冪法

反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特