2022-2023學年廣東省清遠市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

3.

4.

5.設y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

6.設在點x=1處連續，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2

7.

8.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

9.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

10.

11.

12.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小

13.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

14.（）。A.3B.2C.1D.0

15.設函數f(x)在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

16.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

17.

18.下面選項中，不屬于牛頓動力學基礎中的定律的是()。

A.慣性定律：無外力作用時，質點將保持原來的運動狀態(靜止或勻速直線運動狀態)

B.運動定律：質點因受外力作用而產生的加速度，其方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比

C.作用與反作用定律：兩個物體問的作用力，總是大小相等，方向相反，作用線重合，并分別作用在這兩個物體上

D.剛化定律：變形體在某一力系作用下，處于平衡狀態時，若假想將其剛化為剛體，則其平衡狀態保持不變

19.A.A.

B.

C.

D.

20.已知

則

=()。

A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.

22.設函數z=x2ey，則全微分dz=______.

23.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

24.

25.

26.

27.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

28.

29.

30.

31.設當x≠0時，在點x=0處連續，當x≠0時，F(x)=-f(x)，則F(0)=______．

32.

33.

34.設y=sin2x，則dy=______．

35.

36.微分方程y''+6y'+13y=0的通解為______.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

43.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

44.

45.

46.

47.求微分方程的通解．

48.

49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

50.

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

55.

56.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

57.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

58.證明：

59.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

60.

四、解答題(10題)61.

62.求z=x2+y2在條件x+y=1下的條件極值．

63.

64.

65.

66.

67.

68.(本題滿分8分)

69.

70.

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

3.C

4.D

5.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

6.C本題考查的知識點為函數連續性的概念。

由于y為分段函數，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續性應該利用左連續與右連續的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

7.C解析：

8.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉拋面，故應選C。

9.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

10.C

11.B

12.D解析：

13.A

14.A

15.D

16.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

17.A解析：

18.D

19.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故選D。

20.A

21.

22.dz=2xeydx+x2eydy

23.(1+x)ex

24.本題考查的知識點為重要極限公式。

25.

26.

27.本題考查的知識點為原函數的概念。

由于sinx為f(x)的原函數，因此f(x)=(sinx)=cosx。

28.2．

本題考查的知識點為二次積分的計算．

由相應的二重積分的幾何意義可知，所給二次積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二次積分計算可知

29.

30.

解析：

31.1本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由連續性的定義可知，若F(x)在點x=0連續，則必有，由題設可知

32.

解析：

33.3x2

34.2cos2xdx這類問題通常有兩種解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分運算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．

35.

解析：

36.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程為r2+6r+13=0，特征根為所以微分方程的通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

37.1/21/2解析：

38.本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．所給級數為缺項情形，由于

39.

40.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析：

41.

42.

43.由等價無窮小量的定義可知

44.

45.

46.

則

47.

48.

49.

50.

51.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

52.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.函數的定義域為

注意

55.

56.由二重積分物理意義知

57.

58.

59.

列表：

說明

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.

62.構造拉格朗日函數

可解得唯一組解x=1/2,y=1/2.所給問題可以解釋為在直線x+y=1上求到原點的距離平方最大或最小的點．由于實際上只能存在距離平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)為所給問題的極小值點．極小值為

本題考查的知識點為二元函數的條件極值．

通常