第二講研究函數與極限

的基本方法1函數研究的對象極限研究的工具連續研究的橋梁微積分學的基礎(英1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)2

1-1函數和連續的概念、性質和應用一.方法指導1.對函數的理解和討論(1)定義定義域對應規律值域基本要素定義域使表達式及實際問題有意義的自變量取值集合.對應規律表示方式:圖象法;表格法.解析法;值域3(2)基本特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.(3)基本結構基本初等函數復合運算反演運算初等函數非初等函數分段函數級數表示的函數…………四則運算有限次運算且用一個式子表示(4)常用的等式與不等式44、等比數列的前n

項和的公式設等比數列前n項的和為S

n,即根據等比數列的通項公式，上式可以寫成：上式兩邊同時乘以q

有：上（1）式兩邊分別減去（2）式的兩邊得：當時特別52.函數的連續與間斷(1)連續性的等價形式在連續當時6(2)閉區間上連續函數的性質有界定理;最值定理;介值定理;零點定理(3)函數的間斷點第一類間斷點可去間斷點:跳躍間斷點:第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點二.實例分析7例1.

設其中滿足判斷的奇偶性.解:

令則故為奇函數.又令y=0,得故而故為奇函數.因此為偶函數.8例2.求常數k及函數g(x),使函數為連續的奇函數。解:連續的奇函數有f(0)=0,即而所以9例3.設求解:當時;當時,10例4.

設證明但證:

在(0,1)中取點列在(0,1]上無界,則有顯然,在(0,1]上無界.但,若取點列則而故(P8.例4)11的間斷點,并

x=–1

為第一類可去間斷點

x=1

為第二類無窮間斷點

x=0

為第一類跳躍間斷點例5.求函數判別間斷點的類型.解:所以

f(x)有間斷點12例6.設函數

(2008考研)解:只有兩個間斷點則有（）；1個可去間斷點，1個跳躍間斷點；1個可去間斷點，1個無窮間斷點；2個跳躍間斷點；2個無窮間斷點。為可去間斷點；

為跳躍間斷點。13例7.函數個數為（）解故是可去間斷點。（2013考研）的可去間斷點的14例8.

討論下述函數的連續與間斷問題(P8.例5(1))解:顯然,在區域上連續.因故x=1

為第二類無窮間斷點.151-2求極限的方法

(P13第二節)一.方法指導1.求極限的基本方法(P16-P19)(1)已知極限值利用極限定義驗證(用“

-N

”或“

-”語言)(2)未知極限值先判別極限存在后再求極限根據法則演算,判定與計算同時進行.16求極限的基本方法

1）用驗證極限的定義。8)用極限運算法則與函數的連續性求極限。2）用消去不定型法求極限。3）用有界函數與無窮小乘積仍為無窮小的結論求極限。5）用等價無窮小的替代定理求極限。6）用變量代換求極限。4）用兩個重要極限公式求極限。7）用左、右極限存在且相等的方法求極限。9）用函數極限和數列極限的關系求極限。10）利用極限存在準則求極限。1712）用導數的定義或定積分定義求極限。13）利用微分中值定理求極限。14）利用泰勒公式求極限。16）用無窮級數的有關知識求極限。11）用洛必達法則求極限。15）用積分中值定理求極限。17）其他。182.求未定式的極限的方法通分轉化取倒數轉化取對數轉化3.求極限的基本技巧(1)定式部分應盡早求出;各種方法注意綜合使用.(2)注意利用已知極限的結果.例如,當時時速度一個比一個快.19(3)善于利用等價無窮小替換利用麥克勞林公式找等價無窮小當時替換定理（整個分子、整個分母或分子分母乘積的因子）20～～～～～～～當x→0時,有下列常用等價無窮小:(P16)一般形式，如：～～～21泰勒公式

22設對同一變化過程,

,為無窮小,說明:無窮小的性質,(1)和差取大規則:由等價可得簡化某些極限運算的下述規則.若

=o(),例如,證明練習、求

23例如,(2)和差代替規則:24(3)因式代替規則:界,則例如,例4.求解:原式25如,利用導數定義,微分中值定理,泰勒公式等求極限.3.判斷極限不存在的主要方法(1)對分段函數,在界點處討論左右極限;(2)利用數列極限與函數極限的關系;(3)利用反證法,設極限存在推出矛盾.(4)注意用求極限的特殊方法26例1.

求解:原式二.實例分析27例2.

求型解:令有例3.求型解:不能直接用洛必達法則!令則原式說明:

有許多極限問題可通過變量代換使其簡化.再如,P27例728例4.

求（洛必達法則或泰勒公式）2008考研29例5.

設解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故30例6.

求解:原式=1.31例7.

求函數解:當時的等價無窮小.32例8時與小，求C.

解

是等價無窮則33例4

(2014考研4)當時，若均是比x高階的無窮小，則的取值范圍是（）；所以解34練習已知，(1)求的值，(2)當時，是求常數解由題意(1)；的同階無窮小,的值。2012考研35(2)因為，則可知當時，因此與x是同階無窮小，36例9.

當時，用表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（

）；解如果，但，即（2013考研）37例10.

已知，其中為常數，且，則（

）；（2013考研）解38例5設函數解:，若則

A、B、C、D、故(2014考研5)39例11當時與解是等價無窮小，求n和a.（2013考研）利用40例12.設，其中，則當時，是（）；比x高階的無窮?。唬?013考研）比x同階但不等價的無窮?。皇莤的等價無窮小。所以是比x同階但不等價的無窮小。比x低階的無窮??；解因為41例13

計算(2013考研)解42例14

(2013考研)43例15

求型證:原式對指數用洛必達法則44例16、求解令則45例17求極限2010考研1、46解2011考研2、473、所以因為2012考研48解:例181、求一般，若則492、計算2012考研50例19.

求(P43題21(3))解:原式=利用～～～51例20

解:

因為當或所以52說明利用泰勒公式求極限利用導數定義求極限利用微分中值定理求極限

求極限的特殊方法:利用定積分定義求極限

53例2154例22

解

(P27例8)原式=由洛必達法則55例23設函數解(2005考研）連續，求極限令原式由積分中值定理或原式56例17求極限（2014考研178）57例23解:

設由夾逼準則得求58例24設證明:嚴格單調增加，且有界，則證明存在。時，有連續存在，嚴格單調增加，且有界，所以存在，則存在?；蛘叽嬖?。59例25

設數列滿足（1）證明存在，并求之;（2）計算解（1）因為則當時，單調減少。又有下界，根據準則，存在，（2）遞推公式兩邊取極限得2009考研60例26設證明:設得則單調減少，且有下界，存在。即61例2762證: