第3章離散系統狀態空間分析3.1線性離散系統狀態方程離散時間系統可以用差分方程或脈沖傳遞函數來描述，它們都是基于系統輸入輸出特性的描述。如何根據系統的差分方程和Z傳遞函數描述得到它的基于輸入——狀態——輸出的狀態空間描述，是本節所要討論的內容。3.1.1由高階差分方程求狀態方程設n階線性定常差分方程的一般形式為式中ai，bj（i=1,2,…,n，j=0,1,…,m）由系統結構參數決定的常系數，一般有n≥m。1．差分方程不含輸入函數的高階差分當m=0時，差分方程的形式為:若選取狀態變量為則可得到離散狀態方程和輸出方程分別為

或式中x(k)是n維狀態向量，A、B、C

分別為n×n、n×1、1×n矩陣稱為系數矩陣。表示為例3.1設線性定常差分方程為試寫出狀態方程和輸出方程。解：由已知條件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到狀態方程和輸出方程分別為2．差分方程包含輸入函數的高階差分

當m=n（也適用于m<n）時，差分方程的形式為若選取狀態變量為

其中

其狀態方程和輸出方程可表示為式中系數矩陣A、B、C、D分別為

以上針對線性定常差分方程介紹了狀態方程的列寫方法，由于狀態變量的選擇不是惟一的，因此狀態方程也不是惟一的，上面只介紹了線性定常差分方程，而對于線性時變差分方程也可以用上述類似的方法寫出狀態方程，且可以得到形式上與時不變狀態方程相同的時變狀態方程，只是由于時變差分方程的系數ai，bj（i=1,2,…,n；j=0,1,…,m）都是k的函數，即ai(k)，bj(k)，因此，系數矩陣A，B，C，D也都是k的函數，即A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。于是，對于線性時變差分方程所對應的狀態方程和輸出方程的一般形式為：3.1.2由Z傳遞函數求狀態方程

設離散系統的Z傳遞函數的一般形式為

式中n≥m，ai，bj為常系數。1．并行程序法也稱為部分分式法，當Z傳遞函數G(z)的極點已知時，將G(z)表示成部分分式和的形式，用這種方法比較簡便。下面分單極點和重極點兩種情況，分別舉例說明這種方法求狀態方程和輸出方程。

例3.2設Z傳遞函數為試用并行法求狀態方程和輸出方程。

解：將G(z)表示成極點形式

于是，得到

則對應的方塊圖如圖3.1所示。

選取的狀態變量為則對應的差分方程為

圖3.1例3.2方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)1-4對應的狀態方程為

系數矩陣A的對角線上的兩個元素即為G(z)的兩個極點。

由于

則有于是得到輸出方程為

例3.3

設Z傳遞函數為試用并行法求狀態方程和輸出方程。

解：將G(z)表示成極點形式是，得到

則對應的方塊圖如圖3.2所示。

選取的狀態變量為

x3(z)圖3.2例3.3方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-1因而有關系式

對應的狀態方程為

由于

則有或

2．串行程序法串行程序法也叫迭代程序法，當G(z)的零極點都已知時，用這種方法比較方便。因此，在串行程序法中，應將Z傳遞函數G(z)表示成零極點形式。例3.4設Z傳遞函數為試用串行法求狀態方程和輸出方程。解：將G(z)表示成零極點形式于是，得到

則對應的方塊圖如圖3.3所示。

選取的狀態變量為：對應的狀態方程和輸出方程為：圖3.3例3.4方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)3．直接程序法

當G(z)以有理分式表示，且零極點不便于求出時，用直接程序法比較方便。例3.5設Z傳遞函數為試用直接程序法求狀態方程和輸出方程。解：將G(z)表示成如下形式

則由上式可得到

則對應的方塊圖如圖3.4所示。選取的狀態變量為則對應的差分方程和輸出方程為

Q(z)圖3.4例3.5方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-3-244．嵌套程序法當G(z)以有理分式表示，且零極點不便于求出時，除了可用直接程序法外，還可以用嵌套程序法求狀態方程。例3.6

設Z傳遞函數為試用嵌套程序法求狀態方程和輸出方程。解：將G(z)表示成如下形式

則則對應的方塊圖如圖3.5所示。

于是得到對應的差分方程和輸出方程為

圖3.5例3.6方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)4-2-33.2連續狀態方程的離散化

對于一個完整的計算機控制系統，除了有離散部分外還有連續部分，即它是由離散和連續兩部分所組成的混合系統。如圖3.6所示是一個典型的計算機控制系統，它的離散部分是數字控制器，其狀態方程可用上一節介紹的方法列寫，它的連續部分是由零階保持器與控制對象串聯而成，其離散狀態方程可由其離散化的差分方程或Z傳遞函數用上一節介紹的方法列寫，也可由其連續狀態方程離散化得到。本節介紹連續狀態方程的離散化方法。

控制對象的輸入信號是零階保持器的輸出信號u(t)，為梯形的分段常值的連續函數如圖3.7所示，

TT數字控制器y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)r(t)保持器被控對象e*(t)e(t)圖3.6典型計算機控制系統結構圖3.7零階保持器的輸出特性t0u(t)3T4T5T2TT即有

，其中u(kT)為在某一采樣時刻kT時的數字控制器的輸出信號u*(t)在kT時刻的值。上式表示零階保持器將數值控制器輸出的數字信號在一個采樣周期內保持恒定不變，直至下一個采樣時刻才變為新的數值。于是，連續狀態方程的離散化問題就變成在階梯信號作用下控制對象的連續狀態方程的離散化問題了。

設控制對象的連續狀態方程和輸出方程為式中x(t)為n1狀態向量，u(t)為m1控制向量，y(t)為p1輸出向量，系數矩陣F、G、C、D分別為nn、nm、pn、pm矩陣。設初始狀態為x(t0)=x0，則可解得考慮到在一個采樣周期T的時間間隔內，有在此時間區間的開始時刻的初始狀態是為了確定這個時間區間結束時刻狀態x(t)可以將t0=KT和t=(k+1)T代入，得到由于積分對所有k值均成立。取變量置換t=(k+1)T-τ，則有dt=-dτ，以及當τ=kT時t=0，故上式變為上式就是整個連續部分（包括零階保持器和控制對象在內）的離散化狀態方程式。式中系數矩陣分別為

顯然，它們均與采樣周期T有關，是T的函數矩陣。但當采樣周期T為恒定值時，則A(T)和B(T)就是常數矩陣，這時仍然可表示成A(T)=A，B(T)=B的常數矩陣形式。輸出方程的離散化可以容易寫出y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)通常也把狀態方程和輸出方程簡寫為例3.7

設連續控制對象的狀態空間方程為

使用零階保持器，采樣周期T=1秒，試求離散化狀態空間方程。解：由給定對象的連續狀態方程可知可以求出連續狀態轉移矩陣(t)為

離散化狀態方程的系數矩陣為

設T=1秒，則得到

于是，得到離散化狀態空間方程為

3.3計算機控制系統的閉環離散狀態方程

由于計算機控制系統實質上是離散系統，下面以一個離散系統個計算機控制系統為例，介紹閉環離散狀態方程的列寫。例3.8試列寫圖3.8離散系統的閉環離散狀態方程。

Tr(t)e(t)u(t)y(t)ZOHK圖3.8例3.8的離散系統解：對于給定的連續控制對象的傳遞函數所對應的連續狀態方程和輸出方程為

由于控制對象的輸入信號是零階保持器的輸出信號u(t)，它是階梯形分段常值的連續函數，因此，可用上節的方法求連續部分的離散化狀態方程。求得系數矩陣為

于是，得到連續部分的離散化狀態方程為式中考慮了在一個采樣周期T內，零階保持器的輸出u(t)的值恒定不變，且等于采樣周期T的時間區間的開始瞬時的e(kT)的值。將e(kT)=r(kT)-y(kT)和y(kT)=x1(kT)代入上式，便可得到閉環離散狀態方程為

其輸出方程為

例3.9

試列寫圖3.9離散系統的閉環離散狀態方程。

Tr(t)e(t)u(t)y(t)Tu(kT)ZOHk1s圖3.9例3.9的離散系統k2解：先求數字控制器的狀態方程。用直接程序法得

設數字控制器的狀態變量為x3(kT)，則可求得其狀態方程為：

數字控制器的輸出方程為：

再求連續部分的狀態方程，即求零階保持器與控制對象串聯的離散化狀態方程。得到

由于u(kT)是分段常值函數，故可用上節的方法求得上式的離散化狀態方程和輸出方程為

為了書寫簡單起見，可以表示為

其中則可得到閉環離散狀態方程為

3.4離散系統的傳遞函數矩陣與特征值

設線性定常離散系統狀態方程和輸出方程的一般形式為式中x(k)為n維狀態向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。設初始狀態x(0)=0，對上式取Z變換，得到

采用如下記號

則稱矩陣Gx(z)為輸入——狀態傳遞函數矩陣，矩陣Gy(z)為輸入——輸出傳遞函數矩陣，而方程det(zI-A)=0稱為離散系統的特征方程。特征方程的根即為特征值也為系統的極點。

例3.10

設已知離散系統的狀態空間表達式為

試求Z傳遞函數。解：由已知條件得到系數矩陣分別為

可以求得逆矩陣為

本例為單輸入單輸出離散系統，因此，輸出與輸入之間的Z傳遞函數矩陣就是通常的Z傳遞函數，是標量函數而不是函數矩陣。其傳遞函數求得如下

例3.11

設已知離散系統的狀態空間方程為試求Z傳遞函數矩陣

解：由已知條件得到系數矩陣分別為

可以求得逆矩陣為

于是，得到Z傳遞函數矩陣G(z)為

3.5離散狀態方程的求解

3.5.1遞推法

設線性定常離散狀態空間方程的一般形式為式中x(k)為n維狀態向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。在狀態方程中，設給定初始條件為x(0)和u(0)，給定u(k)則依次取k=0,1,2,…,便可用遞推法得到

或表示成或由上式可見，由狀態方程的解所表達的狀態軌跡是離散軌跡，由初始狀態和輸入控制作用兩部分所引起的狀態轉移而構成。在第k時刻的狀態只由k時刻以前的輸入決定，而與第k時刻及其后的輸入無關，這正是物理可實現的基本條件。

在上式中，若用記號表示的矩陣稱為離散狀態轉移矩陣，且有成立，則上式可表示為

或將上式代入輸出方程，得到

或

例3.12試用遞推法求例3.9的閉環離散狀態方程的解，設k=1，T=1秒，x1(0)=x2(0)=0，r(kT)=1。解：該閉環離散狀態方程和輸出方程為根據給定的x1(0)=x2(0)=0，和r(kT)=1，令k=0,1,2,…,對狀態方程進行迭代求解，則可得到于是，根據輸出方程，便可得到

3.5.2Z變換法

將離散狀態方程兩邊取Z變換，得兩邊取Z反變換得

則應有

例3.13

試用Z變換法求如下狀態方程的解

設

解：

于是可以算出

解得

3.6線性離散系統的穩定性、可控性和可測性

在自動控制系統中，被控對象是由控制器發出的控制信息控制的，而這個控制信息又是控制器根據被控對象的輸出信息以及所規定的控制規律產生的。顯然，要使上述控制過程成為物理上可實現的，就面臨著這樣兩個基本問題：第一，控制作用是否必然可使系統在有限時間內從起始狀態指引到所要求的狀態。即可控性問題。第二，是否能夠通過觀測有限時間內輸出的觀測值來識別系統的狀態，以便反饋。即可測性問題。

3.6.1線性離散系統的穩定性

在第三章中已知，線性離散系統穩定的充要條件是系統的全部特征值位于單位圓內，或全部特征值的模小于1。設線性離散系統的特征方程為其特征值為zi，則線性離散系統穩定的充要條件是

│zi│<1。

例3.14試確定例3.8中離散系統在如下情況下的穩定性。(1)k=1，T=1(2)k=5，T=1(3)k=1，T=4(4)k=1，T=0.1(5)k=5，T=0.1解：求得閉環離散系統的系數矩陣為

則系統的特征方程為

(1)當k=1，T=1時，該閉環系統的特征值為此時有│z1,2│=0.795<1，故該系統是穩定的。(2)當k=5，T=1時，該閉環系統的特征值為此時有│z1,2│=1.744>1，故該系統是不穩定的。(3)當k=1，T=4時，該閉環系統的特征值為此時有│z2│=1.235>1，故該系統是不穩定的。(4)當k=1，T=0.1時，該閉環系統的特征值為此時有│z1,2│=0.954<1，且z1,2幾乎在正實軸上，故該系統是穩定的且幾乎沒有超調。(5)當k=5，T=0.1時，該閉環系統的特征值為此時有│z1,2│=0.963<1，和(4)相比，特征值的虛部增大，會使系統的階躍響應出現超調現象，但該系統是穩定的。上述各種情況說明，線性離散系統的穩定性與系統的k和T有關。一般來說，k增大或T增大系統的穩定性變差；反之，k減小或T減小系統的穩定性變好。因此，為了使線性離散系統有良好的動態特性，必須適當選擇k和T。3.6.2線性離散系統的可控性

設線性定常離散系統狀態方程和輸出方程的一般形式為

式中x(k)為n維狀態向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。1．線性離散系統的狀態可控性對于線性離散系統，如果存在著一組無約束的控制序列u(k