與頻率域圖像增強(qiáng)

概述上節(jié)提到，傅立葉變換的頻譜圖中，中心是零頻，離中心越遠(yuǎn)對應(yīng)的頻率越高。邊緣、細(xì)線、噪聲等灰度急劇變換都對圖像傅立葉變換的高頻成分產(chǎn)生重要的貢獻(xiàn)

頻域處理的基礎(chǔ)是頻域?yàn)V波，設(shè)原圖像為f(x,y)，其傅立葉變換是F(u,v)。就可以通過一個(gè)濾波函數(shù)H(u,v)來改變F(u,v)，處理后原圖像的頻譜為再經(jīng)逆傅立葉變換，可得濾波后的圖像直接用頻域率波的過程圖如下FFTiFFT

傅立葉變換在圖像平滑銳化、銳化、消除噪聲，以及偽彩色編碼中都有廣泛的應(yīng)用，其中圖像的平滑和銳化分別可以通過高通和低通濾波完成。篩子

頻率域平滑濾波器

(SmoothingFrequency-DomainFilters)1.理想的低通濾波器(IdealLowpassFilters)其中在半徑為D0的圓內(nèi)，所有頻率沒有衰減的通過濾波器，而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉。由于高頻成分包含有大量的邊緣信息，因此采用該濾波器在去噪聲的同時(shí)將會(huì)導(dǎo)致邊緣信息損失而使圖像變模糊。

例題：顯示理想低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。解：%ideallp.m%該程序顯示理想低通濾波器的%頻率響應(yīng)函數(shù)H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);%產(chǎn)生坐標(biāo)格點(diǎn)矩陣，即V的每一個(gè)元素值為所在列的列號(hào)，U的每個(gè)元素值為所在行的行號(hào)D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);H(D<50)=1;mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('理想低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)')例題：理想低通濾波器的平滑作用。解：%fig4d12.m%理想低通濾波器的平滑作用，見岡薩雷斯《數(shù)字圖像處理》（第二版）P135圖4.12f=imread('Fig4.11(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原圖');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);%屏幕左上角坐標(biāo)為（1，1），中央為（M/2+1,N/2+1）H=zeros(size(f));H(D<5)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于5的理想低通濾波器');H(D<15)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于15的理想低通濾波器');H(D<30)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于30的理想低通濾波器');H(D<80)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于80的理想低通濾波器');H(D<230)=1;G=F.*H;%頻域低通濾波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于230的理想低通濾波器');圖像和圖像的傅立葉譜

右圖中：從左至右從上到下，以此為原圖像和上圖（右）所示的半徑分別為5、15、30、80、230像素的半徑進(jìn)行理想濾波的結(jié)果。由這些濾波器濾除的功率分別為總功率的8%、5.4%、3.6%、2%、0.5%。

圖像選自岡薩雷斯

頻域低通濾波器對應(yīng)的空間濾波器有兩個(gè)重要特征：在原點(diǎn)處的一個(gè)主要成份，及中心成分周圍集中、呈周期性分布的成分。中心成分主要決定模糊，周圍集中、呈周期性分布的成分主要決定了理想濾波的振鈴現(xiàn)象的特性。半徑為5的頻率域ILPF相應(yīng)的空間濾波器空間域的5個(gè)脈沖模擬5個(gè)像素值思考：從振鈴效應(yīng)可得到那些啟示？空間域卷積理想低通濾波的振鈴(ringing)效應(yīng)2.巴特沃思低通濾波器(ButterworthLowpassFilters)當(dāng)時(shí)它的特性是連續(xù)性衰減，而不像理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續(xù)性。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時(shí)，圖像邊緣的模糊程度大大減小，一階巴特沃思濾波器沒有振鈴效應(yīng)，階數(shù)越高振鈴效應(yīng)越明顯。例題：顯示巴特沃思低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。解：%Blp.m%該程序顯示巴特沃思低通濾波器的%頻率響應(yīng)函數(shù)H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);D0=75;n=2;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('二階巴特沃思低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)')例題：巴特沃斯低通濾波器的平滑作用。

解：%fig4d15.m%巴特沃斯低通濾波器的平滑作用,見岡薩雷雷斯《數(shù)字%圖像處理》（第二版）P138圖4.15f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.11(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原圖');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;n=2;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;%頻域低通濾波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于5的巴特沃思低通濾波器');D0=15;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于15的巴特沃思低通濾波器');D0=30;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于30的巴特沃思低通濾波器');D0=80;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于80的巴特沃思低通濾波器');D0=230;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于230的巴特沃思低通濾波器');截止頻率點(diǎn)半徑分別為5、15、30、80、230二階巴特沃思低通濾波125203.高斯低通濾波器(GaussianLowpassFilters)當(dāng)時(shí)例題：顯示高斯低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。%Glp.m%該程序顯示高斯低通濾波器的%頻率響應(yīng)函數(shù)H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);D0=75;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('高斯低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)')例題：高斯低通濾波器的平滑作用。解：%fig4d18.m%高斯低通濾波器的平滑作用，見岡薩雷斯《數(shù)字圖像處理》（第二版）P140圖4.18f=imread('Fig3.35(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原圖');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;%頻域高斯低通濾波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于5的高斯低通濾波器');D0=15;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于15的高斯低通濾波器');D0=30;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于30的高斯低通濾波器');D0=80;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于80的高斯低通濾波器');D0=230;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半徑小于230的高斯低通濾波器');截止頻率點(diǎn)半徑分別為5、15、30、80、230高斯低通濾波注意：高斯低通濾波沒有振鈴效應(yīng)！思考：高斯低通濾波為什么沒有振鈴效應(yīng)？理想低通濾波巴特沃思低通濾波高斯低通濾波

此處柔弱勝剛強(qiáng)！

原圖像高斯低通濾波低通濾波應(yīng)用之一在、復(fù)印文件就容易形成低分辨率文本，字符由于分辨率不足有了失真形狀，并且許多字符都斷裂了。處理這類問題常用的方法是通過模糊這些圖像來橋接這些裂縫。印刷業(yè)中使尖銳的圖像變得平滑、看上去看柔和D0=100D0=80

原圖像低通濾波應(yīng)用之二

頻率域銳化濾波器(SharpeningFrequencyDomainFilters)1.理想的高通濾波器2.巴特沃思高通濾波器3.高斯高通濾波器高通濾波的空間表示理想高通濾波器巴特沃思高通濾波器高斯高通濾波器

圖像選自岡薩雷斯

頻域的拉普拉斯(Laplacian)算子作為特例，拉普拉斯算子例題：顯示拉普拉斯濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)解：%laplacefilter.m%該程序顯示拉普拉斯高通濾波器的%頻率響應(yīng)函數(shù)H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);H=-((V-257).^2+(U-257).^2);mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('拉普拉斯濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)')0101-41010從原始圖形中減去拉普拉斯算子部分，形成g(x,y)的增強(qiáng)圖像：將拉普拉斯算子從原圖中減去（而不是加）是由式的負(fù)號(hào)決定的。這與空間域拉普拉斯變換對圖像增強(qiáng)的基本方法相一致。例題：顯示拉普拉斯濾波器的銳化增強(qiáng)作用。解：%fig4d28b.m%該程序在頻域?qū)D像進(jìn)行拉普拉斯銳化增強(qiáng)，%得到岡薩雷斯《數(shù)字圖像處理》（第二版）%P149圖4.28f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.28(a).jpg');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=40;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;%頻域高斯低通濾波，使圖像變模糊g=ifft2(ifftshift(G));subplot(221);g=real(g);g=mat2gray(g);%把矩陣元素轉(zhuǎn)換為[0，1]內(nèi)的雙精度數(shù)imshow(g,[]);title('模糊圖像');F=fftshift(fft2(g,size(g,1),size(g,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);H=zeros(size(f));H=-((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);%拉普拉斯濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)G=F.*H;%頻域拉普拉斯濾波G1=real(ifft2(ifftshift(G)));subplot(222);imshow(G1,[]);title('拉普拉斯濾波后的圖像');G2=G1/max(G1(:));G3=im2uint8(G2);subplot(223);imshow(G3,[])title('標(biāo)定后的圖像');G2=mat2gray(G2,[0,1]);G2=g-G2;subplot(224);G2=histeq(G2);imshow(G2,[]);title('拉普拉斯算符增強(qiáng)圖像');

周期噪聲的頻域?yàn)V波器

(PeriodicNoiseReductionbyFrequencyDomainFiltering)1.帶阻濾波器(BandrejectFilters)帶阻濾波器阻止一定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過而允許其它頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過。理想帶阻濾波器的表達(dá)式為：這里，W是頻帶的寬度，D0是頻帶的中心半徑。

同樣n階的巴特沃思帶阻濾波器的表達(dá)式為：高斯帶阻濾波器的表達(dá)式為：理想濾波器、巴特沃思濾波器（階數(shù)為1）和高斯帶阻濾波器的透視圖

圖像選自岡薩雷斯

帶阻濾波器2.帶通濾波器(BandpassFilters)帶通濾波器執(zhí)行與帶阻濾波器相反的操作，帶通濾波器的傳遞函數(shù)據(jù)相應(yīng)的帶阻濾波器的傳遞函數(shù)并應(yīng)用下式得到的：

圖像選自岡薩雷斯

帶通濾波器

同態(tài)濾波

(HomomorphicFiltering)特點(diǎn)：動(dòng)態(tài)范圍很大感興趣的圖中某一部分的灰度范圍很小，分不清物體的灰度層次和細(xì)節(jié)。

線性變換無效擴(kuò)展灰度級(jí)能提高反差但會(huì)使動(dòng)態(tài)范圍變大壓縮灰度級(jí)，可以減少灰度級(jí)，但物體的灰度層次會(huì)更不清晰能不能同時(shí)壓縮動(dòng)態(tài)范圍又讓感興趣的物體圖像灰度級(jí)擴(kuò)展？1）照明反射模型與同態(tài)濾波一幅圖像可以用它的照射分量和反射分量表示

其中照射分量取決于光源，且入射光比較均勻，隨空間域變化較小，與傅立葉變換的低頻成分相聯(lián)系。反射分量往往引起突變，物體性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不同，隨空間位置變化比較劇烈，往往與傅立葉變換的高頻成份聯(lián)系

把照射和反射分量分開并施與不同的影響設(shè)進(jìn)行傅立葉變換，

再選擇適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，對不同的頻率分量進(jìn)行處理，使圖像得到改善。2）常用濾波函數(shù)

下圖是利用照射和反射模型處理圖像時(shí)選用一種濾波函數(shù)的剖面，和時(shí)可以分別增強(qiáng)高頻分量減少低頻分量的影響，處理目的不同，選用的濾波器也不同。逆傅立葉變換，得到原圖像圖像增強(qiáng)中的同態(tài)濾波過程%《數(shù)字圖像處理》（第二版）P154圖4.33f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.33b.jpg');f=rgb2gray(f);subplot(121);imshow(f,[])title('原圖');f=im2double(f);F=fftshift(fft2(log(f+eps),size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;c=1.5;H=1.5*(1-exp(-c*D.^2./D0.^2))+0.5;%同態(tài)濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(122);g=real(exp(G1));g=mat2gray(g);g=histeq(g);%直方圖均衡化imshow(g,[]);title('同態(tài)濾波圖');原圖像同態(tài)濾波圖

同態(tài)濾波進(jìn)行圖像增強(qiáng)是把頻域?yàn)V波和灰度變換相結(jié)合的一種處理方法。把圖像的照明反射模型作為頻域處理的基礎(chǔ)，利用減小亮度動(dòng)態(tài)范圍和增強(qiáng)對比度來改善圖像的一種處理技術(shù)。

卷積(Convolution)與相關(guān)(Correlation)計(jì)算1、快速卷積計(jì)算：當(dāng)時(shí)，可以用頻域方法求出卷積%myconv.m%本程序利用頻域及空域卷積法對兩幅圖像求卷積并比較A=magic(3);subplot(221)imshow(A,[])title('A圖像')B