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文檔簡介

第一章數列

數學歸納法了解數學歸納法原理，能用數學歸納法證明一些簡單的命題．數學歸納法證明的原理及基本步驟．基本步驟的第二步推演過程．

已知

猜想僅通過前幾項能得出所有的結果嗎？這樣得出的猜想一定正確嗎？不一定正確

半個世紀后歐拉舉出了反例：當n=5時，該數可以拆成兩個數的乘積．

從某種意義上說，僅通過前幾項不能得出所有的結果，這樣得出的猜想未必是正確的．該如何證明這個猜想呢？一般來說，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證．但當n較大時，驗證起來會很麻煩．尤其是我們這里要證明n取所有正整數都成立，這是一個無限的問題，逐一驗證是不可能的，我們無法用常規方法嚴格證明．因此，我們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立．將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？可通過動手操作發現將骨牌保持適當的間距，碰倒第一塊骨牌，骨牌都會倒下．如果碰倒第一塊骨牌，是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢？

若骨牌間距過大，導致前一塊骨牌無法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要讓相鄰兩個骨牌之間保持合適的間距，這個間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導致后一塊倒下．

所有骨牌都倒下：

（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導致后一塊倒下．得到通項公式：

骨牌原理假設有無限多塊骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去．也就是說，無論有多少塊骨牌，只要保證這兩個條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下．這就是骨牌原理．類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？需要分成兩步．多米諾骨牌游戲猜想的證明第一步確保第一塊已經倒下證明猜想在n=1時成立第二步如果第k塊骨牌倒下，那么第k+1塊骨牌也能倒下．若n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立．數學歸納法：這種用來證明某些與正整數n有關的數學命題的方法，叫做數學歸納法．

數學歸納法的一般證明過程：所有命題都是從n=1開始成立嗎？

第二步中的k是怎樣的正整數？k應該是大于或等于n0的正整數，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．數學歸納法適用于怎樣的數學問題?數學歸納法用于證明一個與正整數n有關的命題，可以將這個關于正整數n的命題記為P(n)．數學歸納法這兩個步驟之間有關系嗎？

下面這道題在應用數學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？

證法有錯誤．n=1時，未證明．

第一步，證明n=1時公式成立：

解：

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