附錄：拉普拉斯變換

一．函數的拉氏變換

拉普拉斯變換是一種解線性微分方程的簡便運算方法。可以將許多普通函數，如正弦函數、阻尼正弦函數和指數函數，轉變為復變量s的代數函數。比如微分、積分，可以用復數平面內的代數運算來取代。因此，線性微分方程，可以轉變為復變量s的代數方程。拉氏變換把實域內實變數的函數變換成復域內(或頻域內)復變數的函數.1.定義：

f(t)為實變量t的函數，（t<0時,f(t)=0）稱為原函數

F(s)為復變量s的函數，稱為f(t)的象函數和都為實數

附錄：拉普拉斯變換由象函數求原函數的運算稱為反拉普拉斯變換，

原函數與象函數構成一個拉普拉斯變換對

，

2.尤拉定理

3.常用函數的拉普拉斯變換

下面的幾個微積分公式，對拉普拉斯變換的推導，是很有幫助的：

分部積分公式指數函數：

3.常用函數的拉普拉斯變換階躍函數：

斜坡函數：正弦函數：3.常用函數的拉普拉斯變換余弦函數：

f(t)與相乘：二．拉普拉斯變換的若干運算規則

2．微分運算規則

若，則

1．線性規則

若，則

證明：二．拉普拉斯變換的若干運算規則如果f(t）的各階導數初始值都為零：3．積分準則

二．拉普拉斯變換的若干運算規則4．平移定理

證明：

5．初值定理

6．終值定理

終值定理表示了f(t)的穩態值與sF(s)在=0點附近狀態值之間的關系。僅當存在時，才能應用該定理。初值和終值定理使用注意l

如果sF(s)的所有極點位于左半平面時，則存在。l

如果sF(s)有極點位于虛軸或位于右半s平面，f(t)將分別包含震蕩的或按指數規律增長的時間函數，則不存在。l

如果f(t)是正弦函數sinwt,將有位于虛軸上的點,因此不存在，這類函數不能使用該定理。l

初值定理和終值定理提供了一種簡便的對解答的檢查方法，可以在不把s的函數變成時間t的函數的情況下，也能預測系統的時域性能。二．拉普拉斯變換的若干運算規則7．卷積定理

例Ⅱ-1-1例Ⅱ-1-1.利用拉普拉斯變換性質，求如下圖形F(s)

（a）

所以：（b）

所以：例Ⅱ-1-2考慮下列余弦函數：

用微分定理求其拉普拉斯變換。解：例Ⅱ-1-3：已知，試求解：的極點位于左半s平面，所以極限存在。用終值定理：

實際上該結果很容易證明三．用部分分式展開法求反拉普拉斯變換

由已知的F(s)

求它的反變換

f(t).根據根的不同情況，進行部分分式展開，查表后求得1．當A(s)=0的根為互異的實數或復數時：

設有n個互異實根：-s1,-s2,…-sn,則：為待定系數，可用下面關系式求出：例Ⅱ-2-1例Ⅱ-2-1.求f(t)解:例Ⅱ-2-2包含2個共軛復數極點，

例Ⅱ-2-2.求f(t)解:例Ⅱ-2-2而實際上

*當有共軛復根時，2次項往往不展開。2．當有n重的實根時，則可用部分分式展開成如下形式：例Ⅱ-3.

這樣

例Ⅱ-3.設求f(t)

解:例Ⅱ-3.所以：

例Ⅱ-4.3．當既有互異的實根又有重根時，就是上述兩種情況的組合。舉例加以說明：例Ⅱ-4.設求f(t)

解:例Ⅱ-4.例Ⅱ-4.例Ⅱ-5.原函數與象函數構成一個拉普拉斯變換對

，

例Ⅱ-5.設求f(t)

四．利用拉普拉斯變換解常微分方程

利用拉普拉斯變換可以解線性常微分方程,步驟：1．方程兩邊進行拉普拉斯變換并代入初始條件及輸入。2．求出