§3希爾伯特空間中的規范正交系一規范正交系主要內容二傅里葉系數三完全規范正交系四Hilbert空間的同構一規范正交系元素的正交性在內積空間和Hilbert空間中扮演著十分重要的角色.在維歐氏空間,選定個相互正交的向量,則形成維空間中的一組正交基,也就是說在空間中建立了一組坐標系,空間中的任何一個元素都可以由這組坐標的線性組合表示出來.其中,并且向量的長度在一般的內積空間中也可以類似地引入正交基、投影和坐標系等十分重要的概念,建立起一套完整的空間坐標理論.定義1設是內積空間的一個不含零子集,若中向量兩兩正交,則稱為中的正交系,又若中向量的范數都為1,則稱為中的規范正交系.例1為維歐氏空間,則向量集為中規范正交系,其中例2在空間中,定義內積為則三角函數系為中規范正交系.所以內積空間中規范正交系是正交函數系概念的推廣.正交系的基本性質.(1)對正交系中任意有限個向量,有事實上,由于中向量兩兩正交,所以(2)正交系是中線性無關子集.事實上,設,而且,其中為個數,則對任何,有由于,因此,所以線性無關.從而說明是中線性無關子集.定義2

設是賦范線性空間,是中的一列向量,是一列數,作級數稱為級數(3)的項部分和,若存在,使,則稱級數(3)收斂,并稱為級數的和,記為若為中規范正交系,是中有限或可數個向量,且,則對每個自然數,由內積連續性,可得所以定義3

設為內積空間中的規范正交系,,稱數集為向量關于規范正交系的傅里葉系數集,而稱為關于傅里葉系數.例3

設為例2中三角函數系,記二傅里葉系數對任何關于的傅里葉系數集即為所以內積空間中向量關于規范正交系的傅里葉系數實際上是數學分析中傅里葉系數概念的推廣.傅里葉系數的性質引理1設是內積空間,是中規范正交系,任取中有限個向量,則有其中為任意個數.證明因對任意個數,有令,代入上式即得(1).另一方面,由上式及結論(1)又有由此知(2)成立.定理1(Bessel不等式)設是內積空間中的有限或可數規范正交系,則對,有證明如果中只有有限個向量,則由引理1的(1)立即可得.當可數時,只要在引理1的(1)中令,則可得(4)式.如果Bessel不等式中等號成立,則稱此等式為Parseval等式.引理2設為Hilbert空間中可數規范正交系,則(1)級數收斂的充要條件為級數收斂;(2)若,則,故(3)對任何,級數收斂.證明(1)設,由于為規范正交系,所以對任何正整數和,且,有所以是中柯西點列的充要條件為是柯西點列,由和數域的完備性知,(1)成立.(2)前已證明.(3)由Bessel不等式知,級數收斂,由(1)及(2),知級數收斂.推論1設是中可數規范正交系,則對任何,證明因對,級數收斂,所以.下面討論一般規范正交系的Bessel不等式.設是中規范正交系,其中為一指標集,則對任一,中使的指標至多只有可數個.不等式,易知對任何正整數,使的指標至多只有有限個,所以集事實上,由Bessel至多為可數集.由此可以形式地作級數其中和式理解成對所有使的指標相加,因此Bessel不等式可以寫成三完全規范正交系定義4設是內積空間中的規范正交系,如果則稱是中的完全規范正交系.交系,則完全的充要條件為.定理2設是Hilbert空間中的規范正完全規范正交系類似于維歐式空間中的標準正交基.定理3是Hilbert空間中完全規范正交系的充要條件為對所有,成立Parseval等式.證明充分性設Parseval等式對所有成立,假設不完全,由定理2,存在.所以對任何,有,由于對該有Parseval等式所以,即,這與矛盾.必要性設是中完全規范正交系,對任何,設其非零傅里葉系數為由引理2,級數收斂,設其和為,則對任何正整數,有又對中一切使的向量,有因此.由的完全性,得到,即,所以,由此得到即Parseval等式成立.由定理3的證明可以看出,當是Hilbert空間中完全規范正交系時,則中每個向量都可以展開成級數(9)式稱為向量關于完全規范正交系的傅里葉展開式.它類似于維歐式空間中的任一向量關于標準正交基的線性組合表示.推論2是Hilbert空間中規范正交系，若Parseval等式在的某個稠密子集上成立,則完全.證明設,則是中閉線性子空間,因在上Parseval等式成立,由定理3,易知對中每個向量,都有所以,從而,由于是閉線性子空間,故有,但因,所以,即是中完全規范正交系.證畢.利用推論2可證明三角函數系是中完全規范正交系,從而,有其中等號右端級數是指在中平方平均收斂,分別為例3中關于三角函數系的傅里葉系數.引理3

設是內積空間中有限或可數個線性無關向量,則必有中規范正交系,使對任何正整數,有證明令,則,且令,因為線性無關,所以,且.令,則.且.顯然,.如果已作了,其中,并且兩兩正交,滿足現令由線性無關,知,令,則.且.其中.又顯然滿足如此一直作下去,即可得所要的規范正交系.在引理3的證明中,構造規范正交系的過程稱為正交化過程.并且可知是向量在空間上的投影.定理4

非零Hilbert空間必有完全規范正交系.證明設為可分的Hilbert空間,則存在有限或可數個向量,使,不妨設為中的線性無關子集,否則可取中的線性無關子集.由引理3,存在有限或可數的規范正交系,使對任何自然數,有所以,由張成的線性空間包含,因此即是中完全規范正交系.證畢.性質若和都是Hilbert空間的完全規范正交系,則和具有相同的基數.上述性質中的基數稱為的Hilbert維數.若,則規定的Hilbert維數為0;當是有限維空間時,

維數與線性維數相同.定義5設和是內積空間,若存在到上的映射,使對任何及數,