PAGE2014年普通高等學校招生全國統一考試數學第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知集合，，則AB=(A)（B）（C）(D)考點： 交集及其運算．分析： 先解出集合B，再求兩集合的交集即可得出正確選項．解答： 解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故選：B點評： 本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關鍵．（2）()（A）（B）（C）(D)考點： 復數代數形式的乘除運算．分析： 分子分母同乘以分母的共軛復數1+i化簡即可．解答： 解：化簡可得====﹣1+2i故選：B點評： 本題考查復數代數形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軛復數是解決問題的關鍵，屬基礎題．（3）函數在處導數存在，若是的極值點，則()（A）是的充分必要條件（B）是的充分條件，但不是的必要條件（C）是的必要條件，但不是的充分條件(D)既不是的充分條件，也不是的必要條件考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．菁優網版權所有分析： 根據可導函數的極值和導數之間的關系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結論．解答： 函數f（x）=x3的導數為f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此時函數f（x）單調遞增，無極值，充分性不成立．根據極值的定義和性質，若x=x0是f（x）的極值點，則f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要條件，但不是q的充分條件，故選：C點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數單調性和極值之間的關系是解決本題的關鍵，比較基礎．（4）設向量,滿足，，則a·b=()（A）1（B）2（C）3(D)5考點： 平面向量數量積的運算．分析： 將等式進行平方，相加即可得到結論．解答： ∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得，+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4??=10﹣6=4，即?=1，故選：A點評： 本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，比較基礎．（5）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前n項=()（A）（B）（C）(D)考點： 等差數列的性質．分析： 由題意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答： 由題意可得a42=a2?a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故選：A點評： 本題考查等差數列的性質和求和公式，屬基礎題．如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()（A）（B）（C）(D)考點： 由三視圖求面積、體積．菁優網版權所有分析： 由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數據求解幾何體的體積即可．解答： 幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2，一個是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π?2+22π?4=34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32π×6=54π切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：=．故選：C．點評： 本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐的體積為()（A）3（B）（C）1（D）考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積．菁優網版權所有分析： 由題意求出底面B1DC1的面積，求出A到底面的距離，即可求解三棱錐的體積．解答： ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，∴底面B1DC1的面積：=，A到底面的距離就是底面正三角形的高：．三棱錐A﹣B1DC1的體積為：=1．故選：C．點評： 本題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關鍵．（8）執行右面的程序框圖，如果如果輸入的x，t均為2，則輸出的S=()（A）4（B）5（C）6（D）7考點： 程序框圖．菁優網版權所有分析： 根據條件，依次運行程序，即可得到結論．解答： 若x=t=2，則第一次循環，1≤2成立，則M=，S=2+3=5，k=2，第二次循環，2≤2成立，則M=，S=2+5=7，k=3，此時3≤2不成立，輸出S=7，故選：D．點評： 本題主要考查程序框圖的識別和判斷，比較基礎．（9）設x，y滿足的約束條件，則的最大值為()（A）8（B）7（C）2（D）1考點： 簡單線性規劃．分析： 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值．解答： 作出不等式對應的平面區域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當直線y=﹣經過點A時，直線y=﹣的截距最大，此時z最大．由，得，即A（3，2），此時z的最大值為z=3+2×2=7，故選：B．點評： 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法（10）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交于C于兩點，則=()（A）（B）6（C）12（D）考點： 拋物線的簡單性質．分析： 求出焦點坐標，利用點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數的關系，由弦長公式求得|AB|．解答： 由y2=3x得其焦點F（，0），準線方程為x=﹣．則過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30°的直線方程為y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入拋物線方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案為：12．點評： 本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，弦長公式的應用，運用弦長公式是解題的難點和關鍵．（11）若函數在區間（1，+）單調遞增，則k的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）考點： 函數單調性的性質．分析： 由題意可得，當x＞1時，f′（x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k的范圍．解答： 函數f（x）=kx﹣lnx在區間（1，+∞）單調遞增，∴當x＞1時，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故選：D．點評： 本題主要考查利用導數研究函數的單調性，函數的單調性的性質，屬于基礎題．（12）設點，若在圓上存在點N，使得,則的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）考點： 直線和圓的方程的應用．菁優網版權所有分析： 根據直線和圓的位置關系，利用數形結合即可得到結論．解答：由題意畫出圖形如圖：∵點M（x0，1），∴若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，∴圓上的點到MN的距離的最大值為1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，圖中M′顯然不滿足題意，當MN垂直x軸時，滿足題意，∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．故選：A點評： 本題考查直線與圓的位置關系，直線與直線設出角的求法，數形結合是快速解得本題的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個考試考生都必須做答。第22題~第24題為選考題，考生根據要求做答。填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）甲、已兩名元動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服種選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為_______.考點： 相互獨立事件的概率乘法公式．菁優網版權所有分析： 所有的選法共有3×3=9種，而他們選擇相同顏色運動服的選法共有3種，由此求得他們選擇相同顏色運動服的概率．解答：有的選法共有3×3=9種，而他們選擇相同顏色運動服的選法共有3種，故他們選擇相同顏色運動服的概率為=，故答案為：．點評： 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題．（14）函數的最大值為_________.考點： 三角函數的最值．分析： 展開兩角和的正弦，合并同類項后再用兩角差的正弦化簡，則答案可求．解答： 解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值為1．故答案為：1．點評： 本題考查兩角和與差的正弦，考查了正弦函數的值域，是基礎題．（15）已知函數的圖像關于直線對稱，，則_______.考點： 函數奇偶性的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據函數奇偶性和對稱性的性質，得到f（x+4）=f（x），即可得到結論．解答： 解：因為偶函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），則f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案為：3點評： 本題主要考查函數值的計算，利用函數奇偶性和對稱性的性質得到周期性f（x+4）=f（x）是解決本題的關鍵，比較基礎．（16）數列滿足，則=_________.考點： 數列遞推式．分析： 根據a8=2，令n=7代入遞推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的結果，發現規律，求出a1的值．解答： 由題意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根據以上結果發現，求得結果按2，，﹣1循環，∵8÷3=2…2，故a1=故答案為：．點評： 本題考查了數列遞推公式的簡單應用，即給n具體的值代入后求數列的項，屬于基礎題．解答題：解答應寫出文字說明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）四邊形ABCD的內角與互補，AB=1，BC=3,CD=DA=2.（Ⅰ）求和;（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積。解：（Ⅰ）由題設及余弦定理得①②由①，②得，故（Ⅱ）四邊形的面積（18）（本小題滿分12分）如圖，四凌錐中，底面為矩形，面，為的中點。（Ⅰ）證明：平面;（Ⅱ）設置，，三棱錐的體積，求A到平面PBD的距離。解：（Ⅰ）設BD與AC的交點為，連接因為ABCD為矩形，所以為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以EO//PB平面，平面，所以平面（Ⅱ）由題設知，可得做交于由題設知，所以，故，又所以到平面的距離為（19）（本小題滿分12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據這50位市民甲部門乙部門3594404489751224566777899766533211060112346889887776655555444333210070011344966552008123345632220901145610000（Ⅰ）分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數；（Ⅱ）分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分做于90的概率；（Ⅲ）根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價。解：（Ⅰ）由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數為，所以該市的市民對乙部門品分的中位數的估計值是67.（Ⅱ）由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16.（Ⅲ）由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數高于對乙部門的評分的中位數，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大（注：考生利用其他統計量進行分析，結論合理的同樣給分。）（20）（本小題滿分12分）設分別是橢圓：（a>b>0）的左右焦點，M是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為N。（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a，b。解：（Ⅰ）根據及題設知將代入，解得（舍去）故的離心率為（Ⅱ）由題意，原點為的中點，軸，所以直線與軸的交點是線段的中點，故，即①由得設，由題意知，則即代入的方程，得②將①及代入②得解得，故（21）（本小題滿分12分）已知函數，曲線在點（0,2）處的切線與軸交點的橫坐標為-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點。解：（Ⅰ），曲線在點（0，2）處的切線方程為由題設得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設由題設知當時，，單調遞增，，所以在有唯一實根。當時，令，則在單調遞減，