2022-2023學年四川省綿陽市江油中學高二上學期期中測試數學（文）試題一、單選題1．直線的傾斜角是A． B． C． D．【答案】D【詳解】直線的斜率為，設傾斜角為，故選D2．拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，直接寫出拋物線準線方程作答.【詳解】拋物線的準線方程是.故選：D3．某校有教師150人，后勤工作人員20人，高中生1200人，初中生1800人，現要了解該校全體人員對學校的某項規定的看法，抽取一個容量為317的樣本進行調查，設計一個合適的抽樣方案，你會在初中生中抽?。?/p>

）A．120人 B．180人 C．200人 D．317人【答案】B【分析】根據分層抽樣計算即可得解.【詳解】由題意，所選人員類型不同，應該選用分層抽樣選取樣本，故初中生應抽?。ㄈ耍?，故選：B4．已知圓和圓，則圓與圓的位置關系為（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離【答案】A【分析】根據圓的方程確定圓的圓心和半徑，再根據兩圓圓心間的距離與兩圓半徑的大小關系判斷兩圓的位置關系.【詳解】因為圓，所以，半徑為5,因為圓，所以，半徑為5，由于，等于兩圓半徑之和，所以圓與圓外切.故選：A【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.5．已知橢圓的右焦點是雙曲線的右頂點，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據橢圓半焦距公式，結合雙曲線的右頂點的定義、漸近線方程進行求解即可【詳解】因為橢圓的半焦距為：，所以雙曲線的右頂點坐標為，即，因此該雙曲線的漸近線方程為，故選：C6．雙曲線上的點到左焦點的距離為6，則到右焦點的距離為（

）A． B．10 C．或10 D．【答案】B【分析】根據雙曲線定義即可解決.【詳解】由題知雙曲線，所以，記左，右焦點分別為，所以根據定義得，因為,所以或，因為時，，即不滿足題意，所以，故選B7．為慶祝中國共產黨成立100周年，安康市某學校開展“唱紅色歌曲，誦紅色經典”歌詠比賽活動，甲、乙兩位選手經歷了7場初賽后進入決賽，他們的7場初賽成績如莖葉圖所示．下列結論正確的是（

）A．甲成績的極差比乙成績的極差大B．甲成績的眾數比乙成績的中位數大C．甲成績的方差比乙成績的方差大D．甲成績的平均數比乙成績的平均數小【答案】D【分析】對于A，分別求出極差判斷，對于B，求出甲的眾數和乙成績的中位數判斷，對于C，根據數據的離散程度判斷，對于D，分別求出平均數判斷即可.【詳解】甲成績的極差為，乙成績的極差為，故A錯誤；甲成績的眾數為85分，乙成績的中位數為87分，故B錯誤；由莖葉圖的數據的分布規律，可判定甲成績的數據更集中，乙成績的數據更分散，所以甲成績的方差比乙成績的方差小，故C錯誤；甲成績的平均數為分，乙成績的平均數為分，故D正確．故選：D8．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【分析】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據韋達定理與焦半徑的公式即可求出的值.【詳解】解：由題意可知，所以直線與的方程為，聯立直線方程和拋物線方程，可得，設則，所以.故選：D.9．已知雙曲線的一個焦點為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：依題意有，解得，所以方程為.【解析】雙曲線的概念與性質．10．已知拋物線：的焦點為，準線為，點在上，于，若，則（

）A．4 B．12 C． D．【答案】B【分析】結合拋物線定義，為正三角形，即可解決.【詳解】由題知拋物線：，開口向右，，記準線與軸交于點，因為，根據拋物線定義有：，因為，所以為正三角形，所以，所以因為焦點到準線的距離為，所以，所以，故選：B11．設橢圓的左、右焦點分別為，，點在上（位于第一象限），且點關于原點對稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據幾何分析確定四邊形為矩形，根據勾股定理求出，構造齊次式即可求出離心率.【詳解】依題意，作圖如下，因為點關于原點對稱，所以為的中點，且為的中點，，所以四邊形為矩形，設根據勾股定理得,即，整理得，解得，由于橢圓的范圍知，所以，由得,即，整理得，即，解得，因為，所以，故選:C.12．已知點為拋物線的焦點，，點為拋物線上一動點，當最小時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的實軸長為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意是拋物線的準線與軸的交點，過作，垂足為，則，，確定最小時是拋物線的切線，求出切點坐標，根據雙曲線的定義計算．【詳解】由題意是拋物線的準線與軸的交點，過作，垂足為，則，，由題意最小，是銳角，因此最小時，是拋物線的切線，設直線方程為，由，得（*），，，由對稱性，不妨取，方程（*）為，，，所以，故雙曲線的實軸長為，故選：D．二、填空題13．中國福利彩票“雙色球”中的紅色球號碼區的33個號碼分別為01，02，…，33.一位彩民用隨機數法從紅色球號碼區的33個號碼中選取6個號碼.選取方法是從下面的隨機數表中第1行第6列開始，從左向右讀數，則依次選出來的第4個號碼為________.49

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54

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25【答案】16【分析】由隨機數表中隨機數的產生規則確定：依次兩位兩位讀數，不大于33的保留即可．【詳解】依次選出來的號碼依次為21，32，09，16，第四個是16.故答案為：16.14．若直線與直線互相垂直，則的值為______.【答案】【分析】由直線垂直的條件求解．【詳解】由題意，．故答案為：．15．若點為橢圓上的一點，，為左右焦點，若，則點到軸的距離為__________.【答案】【分析】由橢圓標準方程確定，確定題中點是短軸端點，由此易得結論．【詳解】由已知，，因此，，當為短軸端點時，，是等邊三角形，，此時到軸距離等于．故答案為：．16．已知是橢圓：上任意一點，是圓：上任意一點，，分別是橢圓的左右焦點，為橢圓的下頂點，則正確的是_________.①．使為直角的點共有個②．的最大值為③．若為鈍角，則點的橫坐標的取值范圍為④．當最大時，【答案】①③④【分析】作以為直徑的圓，與橢圓交于點，可判斷①，③是否正確；利用可判斷②是否正確；利用，可判斷④是否正確.【詳解】對于①，如圖，以橢圓：的焦點，為直徑，作圓，與橢圓交于，，，四點，當點在圓上時，為直角，∴使為直角的點共有4個，即，，，，故①正確；對于②，易知，∴如圖，的最大值為的最大值與圓半徑的和，設，∵在橢圓上，∴，即，，由已知，，∴由二次函數知識知，當時，的最大值為，∴的最大值為，故②錯誤；對于③，由，解得，，，當點在圓內時，為鈍角，點的橫坐標，故③正確.對于④，如圖，而大小不變，因此最大時，最大，由圖可知，當直線與圓相切，且切點位于第一象限時，最大，此時，連接，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題17．已知兩條直線：與：的交點為.(1)求過點且平行于直線：的直線方程；(2)若直線與軸、軸分別交于A、兩點，且點為線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）解方程組求得交點坐標，設出平行線方程代入點坐標求得參數，從而得結論；（2）由是中點求得坐標，由截距式得直線方程并整理．【詳解】（1）由題意可得，即，∵所求直線與平行，∴設直線方程為：，把的坐標代入得：，即所求方程為：；（2）設過點的直線與軸交于點，與軸交于點，∵是的中點坐標∴，，則，，∴方程為即．18．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標準方程；（2）若直線過點(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）利用點到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據直線與圓相切，可得．即可得出圓的標準方程．（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當的斜率不存在時，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長，即可驗證是否滿足條件．【詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標準方程為：．（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當的斜率不存在時，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長，滿足條件．綜上所述的方程為：或．【點睛】本題考查直線與圓的相切的性質、點到直線的距離公式、弦長公式、分類討論方法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．19．為了估計某校的一次數學考試情況，現從該校參加考試的600名學生中隨機抽出60名學生，其成績（百分制）均在上，將這些成績分成六段，，…，，后得到如圖所示部分頻率分布直方圖.(1)求抽出的60名學生中分數在內的人數；(2)若規定成績不小于85分為優秀，則根據頻率分布直方圖，估計該校優秀人數；(3)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數.【答案】(1)15人(2)135人(3)76【分析】（1）根據頻率的和等于1求出成績在內的頻率，計算對應的頻數即可.（2）計算小于85分的頻數即可.（3）根據中位數平分頻率直方圖的面積，求出即可.【詳解】（1）解：由題意得：在頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，頻率的和等于1，成績在內的頻率人數為人；（2）估計該校的優秀人數為不小于85分的頻率再乘以樣本總量600，即人；（3）分數在內的頻率為0.25，∵分數在內的頻率為，∴中位數在內，∵中位數要平分方圖的面積，∴中位數為20．已知點在拋物線上，為焦點，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據焦半徑公式，求解，得到拋物線方程；（2）設，設直線，與拋物線方程聯立，求得，再利用點在拋物線上得到，從而求得的值.【詳解】（1）拋物線，焦點，由得.∴拋物線得方程為.（2）依題意，可設過點的直線的方程為，由得，設，則，∴，∴.21．在平面直角坐標系中，點，過動點P作直線的垂線，垂足為M，且.記動點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線的方程；(2)過點的直線交曲線于不同的兩點、，若為線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量數量積的坐標形式表示P點坐標滿足的等量關系并化簡即可得到其軌跡方程；（2）先根據直線與曲線E的公共點個數情況討論直線的斜率，斜率不存在和斜率為0時均不滿足；斜率存在且不為0時，再根據中點坐標關系解出斜率k，即可求得直線l的方程.【詳解】（1）設，則．因為，所以，因為，所以，即.所以曲線E的方程為.（2）若直線l的斜率不存在，則l與曲線E無公共點，因此l的斜率存在；若l的斜率為0，則l與曲線E只有一個公共點，因此l的斜率不為0.設，由得，于是，解得且．設，，則.因為B為線段的中點，所以．又，所以，因此，所以，符合且，于是，此時直線的方程為.22．已知橢圓：的焦點，，點P在橢圓上滿足(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓相交