信號(hào)的時(shí)頻分析課件1信號(hào)的時(shí)頻分析課件2WavesWaves3傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波與余弦波)作為正交基函數(shù).傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波與余弦波)作為正交基函數(shù).4信號(hào)的時(shí)頻分析課件5信號(hào)的時(shí)頻分析課件6窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設(shè)f(t)L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(,b)給出的是f(t)在局部時(shí)間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對(duì)信號(hào)的時(shí)間定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：窗口7連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設(shè)信號(hào)f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸一化因子連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸8連續(xù)小波變換的逆變換互為對(duì)偶關(guān)系連續(xù)小波變換的逆變換互為對(duì)偶關(guān)系9尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)才能夠重構(gòu)信號(hào)：小波函數(shù)仍應(yīng)滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時(shí)對(duì)小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對(duì)小波函數(shù)的限制也會(huì)很大。尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)10尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號(hào)小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理論）：對(duì)任意的f(t)L2(R)，稱{j,k}為一個(gè)框架，如果存在正參數(shù)A和B（0AB<），使得：分析小波合成小波尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號(hào)小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理11標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：變換系數(shù)沒有冗余，能夠很好地反映信號(hào)的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)正交小波基與它的對(duì)偶相同。計(jì)算簡(jiǎn)單：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：12多分辨分析

空間一維正交多分辨分析及如何通過它構(gòu)造小波Mallat算法一維雙正交多分辨分析多分辨分析空間一維正交多分辨分13一維正交多分辨分析常用多分辨分析（MultiresolutionAnalysis,MRA）構(gòu)造正交小波基MRA(非正交)尺度函數(shù)

正交尺度函數(shù)

低通濾波器

高通濾波器

小波函數(shù)

Mallat算法正交化兩尺度方程小波方程一維正交多分辨分析常用多分辨分析（Multiresol14

MRA令中的一個(gè)函數(shù)子空間序列。若下列條件成立：

，

1)單調(diào)性：，2)逼近性：，3)伸縮性：

4)平移不變性

：

5)Riesz基存在性

：

存在函數(shù)

使，構(gòu)成的一個(gè)Riesz基（不一定是正交的）。稱為尺度函數(shù)。

多分辨分析。

15

MRA（續(xù)）

16兩個(gè)重要的完備的內(nèi)積空間線性空間:集合+代數(shù)運(yùn)算（加法與數(shù)乘）內(nèi)積空間:線性空間+內(nèi)積運(yùn)算完備的內(nèi)積空間:內(nèi)積空間+對(duì)limit運(yùn)算封閉

兩個(gè)重要的完備的內(nèi)積空間線性空間:集合+代數(shù)運(yùn)算（加法17信號(hào)的時(shí)頻分析課件18信號(hào)的時(shí)頻分析課件19泛函分析基礎(chǔ)Banach空間

Hilbert空間空間的基底廣義函數(shù)線性算子泛函分析基礎(chǔ)Banach空間Hilbert空間20代數(shù)集上的運(yùn)算(集X上)內(nèi)部運(yùn)算是X×X→X的一個(gè)映射外部運(yùn)算是A×X→X的一個(gè)映射(A是另一集)代數(shù)集上的運(yùn)算(集X上)21距離空間矩離空間是一個(gè)集合X連同一個(gè)滿足下述條件的一個(gè)映射d:X×X→R(1)正性d(x,y)≥0,且d(x,y)＝0如且僅如x

＝y(tǒng)

(2)對(duì)稱性d(x,y)＝d(y,x)(3)三角不等式d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)同一個(gè)集合,可以引入不同的距離距離空間矩離空間是一個(gè)集合X連同一個(gè)滿足下述條件的一個(gè)映射d22距離空間中相關(guān)概念Cauchy序列在距離空間X中,對(duì)于的序列,如果則稱序列是Cauchy序列極限點(diǎn)Cauchy序列的極限點(diǎn)稠密A是X的子集,如A的閉包是X,稱A在X稠密空間可分如果空間X有一個(gè)稠密子集距離空間中相關(guān)概念Cauchy序列在距離空間X中,對(duì)于23距離空間中相關(guān)概念(續(xù))空間完備一個(gè)空間X稱為是完備的,如果在這個(gè)空間中的每個(gè)Cauchy序列都收斂于X

中的點(diǎn)。線性無(wú)關(guān)線性空間X一個(gè)子集A稱為是線性無(wú)關(guān)的,如果A的每個(gè)非空子集關(guān)系推出對(duì)所有成立。距離空間中相關(guān)概念(續(xù))空間完備一個(gè)空間X稱為是完備24線性賦范空間線性賦范空間設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間,如果對(duì)于每個(gè)元素x∈X,相應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)‖x‖,對(duì)于x,y∈X,a∈K,有:(1)‖x‖＝0,如且僅如x＝0(2)‖ax‖＝｜a｜‖x‖(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖則稱‖x‖是x的范數(shù),又稱線性空間X按范數(shù)構(gòu)成線性賦范空間。線性賦范空間線性賦范空間設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間,如25線性賦范空間相關(guān)問題由范數(shù)導(dǎo)出距離在線性賦范空間中，能由范數(shù)導(dǎo)出距離d(x.y)＝‖x－y‖這時(shí)線性賦范空間也是距離空間。按范數(shù)收斂線性賦范空間X中的序列收斂是指即按范數(shù)‖·‖收斂。距離空間不必是賦范空間距離可不由范數(shù)引入。線性賦范空間相關(guān)問題由范數(shù)導(dǎo)出距離在線性賦范空間中，能由26Banach空間Banach空間一個(gè)完備的線性賦范空間稱為Banach空間。例1空間(1≤p＜∞)是滿足的實(shí)(復(fù))數(shù)序列a＝的集合，范數(shù)定義為例2空間(1≤p＜∞)是R上滿足下述條件的可測(cè)函數(shù)類范數(shù)為Banach空間Banach空間一個(gè)完備的線性賦范空間稱27空間的重要不等式Minkovski不等式是Holder不等式對(duì)于p≥1,q≥1,是Cauchy－Schwarz不等式(p=q=2特殊情形)是空間的重要不等式Minkovski28卷積卷積(函數(shù)卷積)兩個(gè)函數(shù)f,g

的卷積定義為性質(zhì)1

如果f,g,那么f(x-y)g(y)對(duì)于所有xR,關(guān)于y是可積的。進(jìn)而,可積,且,還有下述不等式成立性質(zhì)2如果f

是可積函數(shù),g是有界的局部可積函數(shù),則卷積是連續(xù)函數(shù)。卷積卷積(函數(shù)卷積)兩個(gè)函數(shù)f,g29卷積性質(zhì)(續(xù))性質(zhì)3如果f,g,h,那么下列性質(zhì)成立:(1)(可交換)(2)(可結(jié)合)(3)(可分配)卷積性質(zhì)(續(xù))性質(zhì)3如果f,g,h,那么下30內(nèi)積內(nèi)積設(shè)X

為K(實(shí)或復(fù))上的線性空間。在X上定義了內(nèi)積是指，對(duì)于X中每一對(duì)元素f，g，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，記為并滿足下述性質(zhì):(1)對(duì)稱性(2)線性(3)正性，且如且僅如其中表示a的復(fù)共軛。內(nèi)積內(nèi)積設(shè)X為K(實(shí)或復(fù))上的線性空間31Hilbert空間內(nèi)積空間引入了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。內(nèi)積空間是線性賦范空間在內(nèi)積空間中,對(duì)每個(gè)，由內(nèi)積導(dǎo)入范數(shù)，定義為則X

就變成了一個(gè)線性賦范空間。Hilbert空間一個(gè)完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。Hilbert空間內(nèi)積空間引入了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空32Hilbert空間的例子與兩向量正交例1空間是Hilbert空間，內(nèi)積定義為例2空間是Hilbert空間，內(nèi)積定義為

兩向量正交內(nèi)積空間中的兩向量x與y稱為是正交的，如果這時(shí)常寫。

Hilbert空間的例子與兩向量正交例133內(nèi)積空間性質(zhì)Schwarz不等式則平行四邊形等式則勾股定理，x與y正交，則內(nèi)積空間性質(zhì)Schwarz不等式34正交(向量)組正交組X

是一個(gè)內(nèi)積空間,在X中的一個(gè)非零向量的集合S，如果S中任意兩個(gè)不同元素x與y正交，則稱S是X中的一個(gè)正交向量組。如果還有||x||=1對(duì)S中的所有x成立，則稱S是規(guī)范正交(向量)組。規(guī)范正交序列形成規(guī)范正交組的一個(gè)有限或無(wú)限的序列稱為規(guī)范正交序列。內(nèi)積空間任一線性無(wú)關(guān)向量序列，都能使用Gram-Schmidt規(guī)范正交化過程，得到規(guī)范正交序列。正交(向量)組正交組X是一個(gè)內(nèi)積空間,在X中的一個(gè)非35規(guī)范正交基完全規(guī)范正交序列在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交序列稱為是完全的，如果對(duì)于每個(gè)，有規(guī)范正交基在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交組S稱為是規(guī)范正交基，如果對(duì)于每個(gè)X中的元素x都有唯一表示其中是S中不同元素。內(nèi)積空間X

中的一個(gè)完全規(guī)范正交序列是X中的一個(gè)規(guī)范正交基。規(guī)范正交基完全規(guī)范正交序列在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交36規(guī)范正交基的相關(guān)結(jié)論在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序列是完全的,如且僅如,對(duì)于所有推出Parseval公式在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序列是完全的,iff對(duì)于每個(gè)成立。可分Hilbert空間一個(gè)Hilbert空間是可分的，如果它包含一個(gè)完全規(guī)范正交序列。在可分Hilbert空間中的每個(gè)正交集都是可數(shù)的。規(guī)范正交基的相關(guān)結(jié)論在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序37空間的基底研究Hilbert空間或Banach空間基底時(shí)，只考慮可分空間(即基底是可數(shù)的)。Schauder基設(shè)X是可分的Banach空間，對(duì)于，如果對(duì)于所有,存在唯一使則稱構(gòu)成X的一個(gè)Schauder基。無(wú)約束基一個(gè)基稱為是無(wú)約束基,如果除了滿足上述Schauder條件外,還滿足:(1)由能推出(2)if且則可分Hilbert空間中,一個(gè)無(wú)約束基還稱Riesz基。空間的基底研究Hilbert空間或Banach空間基底時(shí)，只38Hilbert空間的Riesz基一個(gè)Riesz基還能用下述等價(jià)要求特征化:存在使對(duì)于所有，有成立。上述條件加上線性無(wú)關(guān)才是Riesz基.規(guī)范正交基是A=B=1的Riesz基。對(duì)于Riesz基，計(jì)算是數(shù)值穩(wěn)定的。Riesz基是僅次于一個(gè)正交基的最好的基。Hilbert空間的Riesz基一個(gè)Riesz基還能用下述等39廣義函數(shù)(Dirac函數(shù))Dirac函數(shù)δ(x)δ(x)有下述的性質(zhì)要找到通常意義下的函數(shù)滿足上式是不可能的，但能找到通常意義下的函數(shù)序列，序列的極限滿足上式。例子

Gauss函數(shù)序列則有δ(x)稱為廣義函數(shù)。廣義函數(shù)(Dirac函數(shù))Dirac函數(shù)δ(x)δ(40廣義函數(shù)δ(x)的基本性質(zhì)函數(shù)f在點(diǎn)x=u連續(xù)，則有上面結(jié)論可寫成卷積形式為引入Gauss函數(shù)族為重要結(jié)果令，在f的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)有廣義函數(shù)δ(x)的基本性質(zhì)函數(shù)f在點(diǎn)x=u連續(xù)，41函數(shù)支撐函數(shù)支撐(支集)函數(shù)

f:R→C，集S={x:f(x)≠0}的閉包稱為函數(shù)f的支撐，記為suppf。有限支撐如果存在實(shí)數(shù)a,b使suppf(a,b)則稱函數(shù)f具有有限支撐。緊支撐如果支撐suppf是閉的，且是有限的，則稱函數(shù)f具有緊支撐。函數(shù)支撐函數(shù)支撐(支集)函數(shù)f:R→C，42信號(hào)的時(shí)頻分析課件43信號(hào)的時(shí)頻分析課件44WavesWaves45傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波與余弦波)作為正交基函數(shù).傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波與余弦波)作為正交基函數(shù).46信號(hào)的時(shí)頻分析課件47信號(hào)的時(shí)頻分析課件48窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設(shè)f(t)L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(,b)給出的是f(t)在局部時(shí)間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對(duì)信號(hào)的時(shí)間定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：窗口49連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設(shè)信號(hào)f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸一化因子連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸50連續(xù)小波變換的逆變換互為對(duì)偶關(guān)系連續(xù)小波變換的逆變換互為對(duì)偶關(guān)系51尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)才能夠重構(gòu)信號(hào)：小波函數(shù)仍應(yīng)滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時(shí)對(duì)小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對(duì)小波函數(shù)的限制也會(huì)很大。尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)52尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號(hào)小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理論）：對(duì)任意的f(t)L2(R)，稱{j,k}為一個(gè)框架，如果存在正參數(shù)A和B（0AB<），使得：分析小波合成小波尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號(hào)小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理53標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：變換系數(shù)沒有冗余，能夠很好地反映信號(hào)的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)正交小波基與它的對(duì)偶相同。計(jì)算簡(jiǎn)單：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：54多分辨分析

空間一維正交多分辨分析及如何通過它構(gòu)造小波Mallat算法一維雙正交多分辨分析多分辨分析空間一維正交多分辨分55一維正交多分辨分析常用多分辨分析（MultiresolutionAnalysis,MRA）構(gòu)造正交小波基MRA(非正交)尺度函數(shù)

正交尺度函數(shù)

低通濾波器

高通濾波器

小波函數(shù)

Mallat算法正交化兩尺度方程小波方程一維正交多分辨分析常用多分辨分析（Multiresol56

MRA令中的一個(gè)函數(shù)子空間序列。若下列條件成立：

，

1)單調(diào)性：，2)逼近性：，3)伸縮性：

4)平移不變性

：

5)Riesz基存在性

：

存在函數(shù)

使，構(gòu)成的一個(gè)Riesz基（不一定是正交的）。稱為尺度函數(shù)。

多分辨分析。

57

MRA（續(xù)）

58兩個(gè)重要的完備的內(nèi)積空間線性空間:集合+代數(shù)運(yùn)算（加法與數(shù)乘）內(nèi)積空間:線性空間+內(nèi)積運(yùn)算完備的內(nèi)積空間:內(nèi)積空間+對(duì)limit運(yùn)算封閉

兩個(gè)重要的完備的內(nèi)積空間線性空間:集合+代數(shù)運(yùn)算（加法59信號(hào)的時(shí)頻分析課件60信號(hào)的時(shí)頻分析課件61泛函分析基礎(chǔ)Banach空間

Hilbert空間空間的基底廣義函數(shù)線性算子泛函分析基礎(chǔ)Banach空間Hilbert空間62代數(shù)集上的運(yùn)算(集X上)內(nèi)部運(yùn)算是X×X→X的一個(gè)映射外部運(yùn)算是A×X→X的一個(gè)映射(A是另一集)代數(shù)集上的運(yùn)算(集X上)63距離空間矩離空間是一個(gè)集合X連同一個(gè)滿足下述條件的一個(gè)映射d:X×X→R(1)正性d(x,y)≥0,且d(x,y)＝0如且僅如x

＝y(tǒng)

(2)對(duì)稱性d(x,y)＝d(y,x)(3)三角不等式d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)同一個(gè)集合,可以引入不同的距離距離空間矩離空間是一個(gè)集合X連同一個(gè)滿足下述條件的一個(gè)映射d64距離空間中相關(guān)概念Cauchy序列在距離空間X中,對(duì)于的序列,如果則稱序列是Cauchy序列極限點(diǎn)Cauchy序列的極限點(diǎn)稠密A是X的子集,如A的閉包是X,稱A在X稠密空間可分如果空間X有一個(gè)稠密子集距離空間中相關(guān)概念Cauchy序列在距離空間X中,對(duì)于65距離空間中相關(guān)概念(續(xù))空間完備一個(gè)空間X稱為是完備的,如果在這個(gè)空間中的每個(gè)Cauchy序列都收斂于X

中的點(diǎn)。線性無(wú)關(guān)線性空間X一個(gè)子集A稱為是線性無(wú)關(guān)的,如果A的每個(gè)非空子集關(guān)系推出對(duì)所有成立。距離空間中相關(guān)概念(續(xù))空間完備一個(gè)空間X稱為是完備66線性賦范空間線性賦范空間設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間,如果對(duì)于每個(gè)元素x∈X,相應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)‖x‖,對(duì)于x,y∈X,a∈K,有:(1)‖x‖＝0,如且僅如x＝0(2)‖ax‖＝｜a｜‖x‖(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖則稱‖x‖是x的范數(shù),又稱線性空間X按范數(shù)構(gòu)成線性賦范空間。線性賦范空間線性賦范空間設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間,如67線性賦范空間相關(guān)問題由范數(shù)導(dǎo)出距離在線性賦范空間中，能由范數(shù)導(dǎo)出距離d(x.y)＝‖x－y‖這時(shí)線性賦范空間也是距離空間。按范數(shù)收斂線性賦范空間X中的序列收斂是指即按范數(shù)‖·‖收斂。距離空間不必是賦范空間距離可不由范數(shù)引入。線性賦范空間相關(guān)問題由范數(shù)導(dǎo)出距離在線性賦范空間中，能由68Banach空間Banach空間一個(gè)完備的線性賦范空間稱為Banach空間。例1空間(1≤p＜∞)是滿足的實(shí)(復(fù))數(shù)序列a＝的集合，范數(shù)定義為例2空間(1≤p＜∞)是R上滿足下述條件的可測(cè)函數(shù)類范數(shù)為Banach空間Banach空間一個(gè)完備的線性賦范空間稱69空間的重要不等式Minkovski不等式是Holder不等式對(duì)于p≥1,q≥1,是Cauchy－Schwarz不等式(p=q=2特殊情形)是空間的重要不等式Minkovski70卷積卷積(函數(shù)卷積)兩個(gè)函數(shù)f,g

的卷積定義為性質(zhì)1

如果f,g,那么f(x-y)g(y)對(duì)于所有xR,關(guān)于y是可積的。進(jìn)而,可積,且,還有下述不等式成立性質(zhì)2如果f

是可積函數(shù),g是有界的局部可積函數(shù),則卷積是連續(xù)函數(shù)。卷積卷積(函數(shù)卷積)兩個(gè)函數(shù)f,g71卷積性質(zhì)(續(xù))性質(zhì)3如果f,g,h,那么下列性質(zhì)成立:(1)(可交換)(2)(可結(jié)合)(3)(可分配)卷積性質(zhì)(續(xù))性質(zhì)3如果f,g,h,那么下72內(nèi)積內(nèi)積設(shè)X

為K(實(shí)或復(fù))上的線性空間。在X上定義了內(nèi)積是指，對(duì)于X中每一對(duì)元素f，g，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，記為并滿足下述性質(zhì):(1)對(duì)稱性(2)線性(3)正性，且如且僅如其中表示a的復(fù)共軛。內(nèi)積內(nèi)積設(shè)X為K(實(shí)或復(fù))上的線性空間73Hilbert空間內(nèi)積空間引入了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。內(nèi)積空間是線性賦范空間在內(nèi)積空間中,對(duì)每個(gè)，由內(nèi)積導(dǎo)入范數(shù)，定義為則X

就變成了一個(gè)線性賦范空間。Hilbert空間一個(gè)完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。Hilbert空間內(nèi)積空間引入了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空74Hilbert空間的例子與兩向量正交例1空間是Hilbert空間，內(nèi)積定義為例2空間是Hilbert空間，內(nèi)積定義為

兩向量正交內(nèi)積空間中的兩向量x與y稱為是正交的，如果這時(shí)常寫。

Hilbert空間的例子與兩向量正交例175內(nèi)積空間性質(zhì)Schwarz不等式則平行四邊形等式則勾股定理，x與y正交，則內(nèi)積空間性質(zhì)Schwarz不等式76正交(向量)組正交組X

是一個(gè)內(nèi)積空間,在X中的一個(gè)非零向量的集合S，如果S中任意兩個(gè)不同元素x與y正交，則稱S是X中的一個(gè)正交向量組。如果還有||x||=1對(duì)S中的所有x成立，則稱S是規(guī)范正交(向量)組。規(guī)范正交序列形成規(guī)范正交組的一個(gè)有限或無(wú)限的序列稱為規(guī)范正交序列。內(nèi)積空間任一線性無(wú)關(guān)向量序列，都能使用Gram-Schmidt規(guī)范正交化過程，得到規(guī)范正交序列。正交(向量)組正交組X是一個(gè)內(nèi)積空間,在X中的一個(gè)非77規(guī)范正交基完全規(guī)范正交序列在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交序列稱為是完全的，如果對(duì)于每個(gè)，有規(guī)范正交基在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交組S稱為是規(guī)范正交基，如果對(duì)于每個(gè)X中的元素x都有唯一表示其中是S中不同元素。內(nèi)積空間X

中的一個(gè)完全規(guī)范正交序列是X中的一個(gè)規(guī)范正交基。規(guī)范正交基完全規(guī)范正交序列在內(nèi)積空間X中的一個(gè)規(guī)范正交78規(guī)范正交基的相關(guān)結(jié)論在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序列是完全的,如且僅如,對(duì)于所有推出Parseval公式在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序列是完全的,iff對(duì)于每個(gè)成立。可分Hilbert空間一個(gè)Hilbert空間是可分的，如果它包含一個(gè)完全規(guī)范正交序列。在可分Hilbert空間中的每個(gè)正交集都是可數(shù)的。規(guī)范正交基的相關(guān)結(jié)論在Hilbert空間H中的一個(gè)規(guī)范正交序79空間的基底研究Hilbert空間或Banach空間基底時(shí)，只考慮可分空間(即基底是可數(shù)的)。Schauder基設(shè)X是可分的Banach空間，對(duì)于，如果對(duì)于所有,存在唯一使