第二節

等差數列及其前n項和(全國卷5年5考)第二節2020屆高三文科數學一輪復習課件62-等差數列及其前n項和【知識梳理】1.等差數列與等差中項(1)定義:①文字語言:從______起,每一項與它的前一項的___都等于___一個常數;第2項差同【知識梳理】第2項差同②符號語言:________(n∈N*,d為常數).

(2)等差中項:若三個數a,A,b組成等差數列,則__叫做a,b的等差中項.an+1-an=dA②符號語言:________(n∈N*,d為常數).

an2.等差數列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式:an=____________.(2)前n項和公式:Sn=________=_____________.a1+(n-1)d2.等差數列的通項公式與前n項和公式a1+(n-1)d【常用結論】等差數列的性質:(1)在等差數列{an}中,an=am+(n-m)d.(2)已知等差數列{an},若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則an+am=ap+aq.【常用結論】(3)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數列.(4)若Sn為等差數列{an}的前n項和,則數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數列.

(3)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak【基礎自測】題組一:走出誤區1.判斷正誤(正確的打“√”錯誤的打“×”)(1)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的. (

)(2)若{an}是等差數列,公差為d,則數列{a3n}也是等差數列. (

)【基礎自測】(3)若{an},{bn}都是等差數列,則數列{pan+qbn}也是等差數列. (

)(4)等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數,若一個數列的前n項和為二次函數,則該數列為等差數列.(

)

(3)若{an},{bn}都是等差數列,則數列{pan+qb提示:(1)√.因為在等差數列{an}中,當公差d>0時,該數列是遞增數列,當公差d<0時,該數列是遞減數列,當公差d=0時,該數列是常數數列,所以命題正確;(2)√.因為{an}是等差數列,公差為d,所以-a3n=3d(與n值無關的常數),所以數列{a3n}也是等差數列;提示:(1)√.因為在等差數列{an}中,當公差d>0時,該(3)√.設等差數列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則pan+1+qbn+1-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd1+qd2(與n值無關的常數),即數列{pan+qbn}也是等差數列;(3)√.設等差數列{an},{bn}的公差分別為d1,d2(4)×.由等差數列的前n項和公式可知,等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數,若一個數列的前n項和為二次函數,當常數項等于零時,該數列為等差數列,當常數項不等于零時,則該數列不是等差數列,所以命題錯誤.(4)×.由等差數列的前n項和公式可知,等差數列的前n項和公2.在單調遞增的等差數列{an}中,若a3=1,a2a4=,則a1= (

)A.-1 B.0 C. D.

2.在單調遞增的等差數列{an}中,若a3=1,a2a4=【解析】選B.由題知,a2+a4=2a3=2,又因為a2a4=,數列{an}單調遞增,所以a2=,a4=.所以公差d=

所以a1=a2-d=0.【解析】選B.由題知,a2+a4=2a3=2,又因為a2a4題組二:走進教材1.(必修五P44例2改編)已知Sn為等差數列{an}的前n項和,a2=2,S4=14,則S6等于 (

)A.32

B.39

C.42

D.45題組二:走進教材【解析】選B.由題意得解得所以S6=6a1+d=39.【解析】選B.由題意得2.(必修五P39T2改編)某劇場有20排座位,后一排比前一排多2個座位,最后一排有60個座位,則劇場總共的座位數為________.

2.(必修五P39T2改編)某劇場有20排座位,后一排比前一【解析】

設第n排的座位數為an(n∈N*),數列{an}為等差數列,其公差d=2,則an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,則劇場總共的座位數為=820.答案:820【解析】設第n排的座位數為an(n∈N*),數列{an}為考點一等差數列基本量的運算與基本概念【題組練透】1.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=(

)A.5 B.7 C.9 D.11考點一等差數列基本量的運算與基本概念【解析】選A.因為{an}是等差數列,所以a1+a5=2a3,即a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,所以S5==5a3=5.【解析】選A.因為{an}是等差數列,2.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復還迎駑馬,二馬相逢,問:幾日相逢? (

)A.12日 B.16日 C.8日 D.9日2.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述:今有良【解析】選D.良馬每日所行里數構成一等差數列,其通項公式為an=103+13(n-1)=13n+90,駑馬每日所行走里數也構成一等差數列,其通項公式為bn=97-(n-1)=-n+,二馬相逢時所走路程之和為2×1125=2250,所以有=2250,即【解析】選D.良馬每日所行里數構成一等差數列,其通=2250,解之得n=9.=223.若等差數列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.153.若等差數列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a【解析】選B.設{an}的公差為d,由S5=?25=

?a4=7,所以7=3+2d?d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.【解析】選B.設{an}的公差為d,由S5=?4.中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2015,則該數列的首項為________.

【解析】設數列首項為a1,則=1010,故a1=5.答案:54.中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為5.在等差數列{an}中,公差d=,前100項的和S100=45,則a1+a3+a5+…+a99=________.

5.在等差數列{an}中,公差d=,前100項的和S1【解析】因為S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,則a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.答案:10【解析】因為S100=(a1+a100)=45,【規律方法】等差數列的基本運算的解題策略(1)等差數列運算問題一般求法:設出首項a1和公差d,然后利用通項公式、前n項和公式轉化為方程(組)求解.【規律方法】等差數列的基本運算的解題策略(2)減少運算量設元技巧:若三個數成等差數列,可設為a-d,a,a+d;若四個數成等差數列,可設為a-3d,a-d,a+d,a+3d.

(2)減少運算量設元技巧:若三個數成等差數列,可設為a-d,考點二等差數列的判斷與證明【典例】(1)已知數列{an}的各項均為正數,前n項和為Sn,且滿足2Sn=+n-4.(n∈N*). 世紀金榜導學號①求證:數列{an}為等差數列;②求數列{an}的通項公式.考點二等差數列的判斷與證明【解析】①當n=1時,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).當n≥2時,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,兩式相減得2an=-+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,【解析】①當n=1時,有2a1=+1-4,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,則an+an-1=1.而a1=3,所以a2=-2,這與數列{an}的各項均為正數相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此數列{an}是首項為3,公差為1的等差數列.因此an-1=an-1或an-1=-an-1.②由①知a1=3,d=1,所以數列{an}的通項公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.②由①知a1=3,d=1,(2)數列{an}滿足a1=1,an+=0.求證:數列是等差數列.(2)數列{an}滿足a1=1,an+=0.【證明】若an+1=0,則an=0,這與a1=1矛盾,所以an+1≠0,由已知得2anan+1-an+an+1=0,所以=2,故數列是以=1為首項,2為公差的等差數列.【證明】若an+1=0,則an=0,這與a1=1矛盾,所以a【規律方法】1.等差數列的四種判斷方法(1)定義法:對于數列{an},若an+1-an=d(n∈N*)(常數),則數列{an}是等差數列.(2)等差中項:對于數列{an},若2an+1=an+an+2(n∈N*),則數列{an}是等差數列.【規律方法】(3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數,n∈N*)?{an}是等差數列.(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數,n∈N*)?{an}是等差數列.(3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數,n∈N*)?2.證明某數列不是等差數列若證明某數列不是等差數列,則只要證明存在連續三項不成等差數列即可.2.證明某數列不是等差數列【對點訓練】1.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),且a1+a3+a5=9,a2+a4+a6=12,則a3+a4+a5= (

)A.9 B.10 C.11 D.12【對點訓練】【解析】選D.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),則數列{an}是等差數列,利用等差數列的性質可知:a3+a4+a5=a2+a4+a6=12.【解析】選D.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n2.已知正項數列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,若以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+1)上,則數列{an}的通項公式為________.

2.已知正項數列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,若以【解析】因為以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+1)上,所以Sn=an(an+1),即2Sn=+an,2Sn+1=+an+1,兩式相減得:2an+1=+an+1-(+an).【解析】因為以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+即-an+1=+an,即(an+1-)2-=(an+)2-.即an+1-=an+,即an+1-an=1,即數列{an}是以1為首項,1為公差的等差數列,則數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=n.即an=n.答案:an=n即-an+1=+an,即(an+1-)2-考點三等差數列性質及其應用【明考點·知考法】

等差數列性質作為考查等差數列運算知識的最佳載體,因其考查知識點較多成為高考命題的熱點,試題常以選擇題、填空題的形式出現,有時也會出現在解答考點三等差數列性質及其應用題中,考查數列的運算、數列前n項和的最值等問題.解題過程中常常滲透數學運算的核心素養.題中,考查數列的運算、數列前n項和的最值等問題.解題過程中常命題角度1與等差數列性質有關的運算問題

【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為 (

)A.1 B.2 C.4 D.8命題角度1與等差數列性質有關的運算問題【解析】選C.設公差為d,則a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+=48,聯立得①×3-②得(21-15)d=24,6d=24,所以d=4.【解析】選C.設公差為d,則a4+a5=a1+3d+a1+4【一題多解微課】解決本題還可以采用以下方法:選C.因為S6==3(a3+a4)=48,即a3+a4=16,則(a4+a5)-(a3+a4)=24-16=8,即a5-a3=2d=8,解得d=4.【一題多解微課】(2)在等差數列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7= 世紀金榜導學號(

)A.10 B.18 C.20 D.28【解析】選C.因為a3+a8=10,所以由等差數列的性質,得a5+a6=10,所以3a5+a7=2a5+2a6=20.(2)在等差數列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+【狀元筆記】在等差數列中涉及兩項和時,一定要注意其項數和的關系,如果和相等,則兩項的和也對應相等.

【狀元筆記】命題角度2依據等差數列性質求解等差數列前n項和的最值問題【典例】已知等差數列{an}的前n項和為Sn,滿足S5=S9,且a1>0,則Sn中最大的是 (

)A.S6 B.S7 C.S8 D.S15

命題角度2依據等差數列性質求解等差數列【解析】選B.由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,由a1>0知,a7>0,a8<0,所以S7最大.【解析】選B.由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=2(a【狀元筆記】在涉及等差數列前n項和的問題時,一定要想辦法推出該數列從第幾項開始為負(正)值,進而得出最大(小)值.

【狀元筆記】【對點練·找規律】1.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且a2+a7+a12=24,則S13= (

)A.52 B.78 C.104 D.208【解析】選C.依題意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104.【對點練·找規律】2.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,則n的值為 (

)A.18 B.19 C.20 D.212.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,【解析】選D.因為{an}是等差數列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=×32=16n=336,解得n=21.【解析】選D.因為{an}是等差數列,3.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,且S6>S7>S5,給出下列五個命題:①d<0;②S11>0;③S12>0;④數列{Sn}中的最大項為S11;⑤|a6|>|a7|,其中正確命題的個數為

(

)A.2 B.3 C.4 D.53.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,且S6>S7>S5【解析】選C.因為S7-S6<0,S6-S5>0,所以d=a7-a6<0,①正確;S11==11a6>0,②正確;S7-S5=a6+a7>0,S12==6>0,③正確;因為a6>0,a7<0,所以數列{Sn}的最大項為S6,④不正確;因為a6+a7>0?a6>-a7,即,⑤正確.【解析】選C.因為S7-S6<0,S6-S5>0,所以d=a思想方法系列10——等差數列前n項和最值中的函數思想【思想詮釋】

因為數列是特殊的函數關系,因此常利用函數的思想解決數列中最值問題.在求解等差數列前n項和的最值問題時,應注意以下三點:思想方法系列10——等差數列前n項和最值中的函數思想(1)等差數列的前n項和與函數的關系;(2)Sn是關于n的二次函數,(n,Sn)在二次函數y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上一群孤立的點;(3)注意n為正整數以及拋物線的開口方向.(1)等差數列的前n項和與函數的關系;【典例】已知數列{an}是一個等差數列,且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通項公式an.(2)求{an}前n項和Sn的最大值.【典例】已知數列{an}是一個等差數列,且a2=1,a5=-【解析】(1)根據等差數列通項公式an=a1+(n-1)d變形有an=am+(n-m)d,則公差d=,所以d==-2,所以通項公式an=a2+(n-2)d=1+(n-2)×(-2)=-2n+5.【解析】(1)根據等差數列通項公式an=a1+(n-1)d變(2)根據等差數列前n項和公式Sn==na1+

有Sn=3n+×(-2)=-n2+4n,配方得Sn=-(n-2)2+4,根據二次函數圖象及性質可知,當n=2時,前n項和取得最大值,最大值為4.(2)根據等差數列前n項和公式Sn==na【技法點撥】

求等差數列前n項和的最值的方法(1)二次函數法:用求二次函數最值的方法(配方法)求其前n項和的最值,但要注意n∈N*.(2)圖象法:利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值,使Sn取得最值.

【技法點撥】求等差數列前n項和的最值的方法(3)項的符號法:當a1>0,d<0時,滿足的項數n,使Sn取最大值;當a1<0,d>0時,滿足的項數n,使Sn取最小值,即正項變負項處最大,負項變正項處最小,若有零項,則使Sn取最值的n有兩個.(3)項的符號法:當a1>0,d<0時,滿足的【即時訓練】在等差數列{an}中,a1=29,S10=S20,則數列{an}的前n項和Sn的最大值為 (

)A.S15

B.S16

C.S15或S16

D.S17【即時訓練】【解析】選A.設{an}的公差為d,因為a1=29,S10=S20,所以10a1+=20a1+,解得d=-2,所以Sn=29n+×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.所以當n=15時,Sn取得最大值.【解析】選A.設{an}的公差為d,第二節

等差數列及其前n項和(全國卷5年5考)第二節2020屆高三文科數學一輪復習課件62-等差數列及其前n項和【知識梳理】1.等差數列與等差中項(1)定義:①文字語言:從______起,每一項與它的前一項的___都等于___一個常數;第2項差同【知識梳理】第2項差同②符號語言:________(n∈N*,d為常數).

(2)等差中項:若三個數a,A,b組成等差數列,則__叫做a,b的等差中項.an+1-an=dA②符號語言:________(n∈N*,d為常數).

an2.等差數列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式:an=____________.(2)前n項和公式:Sn=________=_____________.a1+(n-1)d2.等差數列的通項公式與前n項和公式a1+(n-1)d【常用結論】等差數列的性質:(1)在等差數列{an}中,an=am+(n-m)d.(2)已知等差數列{an},若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則an+am=ap+aq.【常用結論】(3)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數列.(4)若Sn為等差數列{an}的前n項和,則數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數列.

(3)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak【基礎自測】題組一:走出誤區1.判斷正誤(正確的打“√”錯誤的打“×”)(1)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的. (

)(2)若{an}是等差數列,公差為d,則數列{a3n}也是等差數列. (

)【基礎自測】(3)若{an},{bn}都是等差數列,則數列{pan+qbn}也是等差數列. (

)(4)等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數,若一個數列的前n項和為二次函數,則該數列為等差數列.(

)

(3)若{an},{bn}都是等差數列,則數列{pan+qb提示:(1)√.因為在等差數列{an}中,當公差d>0時,該數列是遞增數列,當公差d<0時,該數列是遞減數列,當公差d=0時,該數列是常數數列,所以命題正確;(2)√.因為{an}是等差數列,公差為d,所以-a3n=3d(與n值無關的常數),所以數列{a3n}也是等差數列;提示:(1)√.因為在等差數列{an}中,當公差d>0時,該(3)√.設等差數列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則pan+1+qbn+1-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd1+qd2(與n值無關的常數),即數列{pan+qbn}也是等差數列;(3)√.設等差數列{an},{bn}的公差分別為d1,d2(4)×.由等差數列的前n項和公式可知,等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數,若一個數列的前n項和為二次函數,當常數項等于零時,該數列為等差數列,當常數項不等于零時,則該數列不是等差數列,所以命題錯誤.(4)×.由等差數列的前n項和公式可知,等差數列的前n項和公2.在單調遞增的等差數列{an}中,若a3=1,a2a4=,則a1= (

)A.-1 B.0 C. D.

2.在單調遞增的等差數列{an}中,若a3=1,a2a4=【解析】選B.由題知,a2+a4=2a3=2,又因為a2a4=,數列{an}單調遞增,所以a2=,a4=.所以公差d=

所以a1=a2-d=0.【解析】選B.由題知,a2+a4=2a3=2,又因為a2a4題組二:走進教材1.(必修五P44例2改編)已知Sn為等差數列{an}的前n項和,a2=2,S4=14,則S6等于 (

)A.32

B.39

C.42

D.45題組二:走進教材【解析】選B.由題意得解得所以S6=6a1+d=39.【解析】選B.由題意得2.(必修五P39T2改編)某劇場有20排座位,后一排比前一排多2個座位,最后一排有60個座位,則劇場總共的座位數為________.

2.(必修五P39T2改編)某劇場有20排座位,后一排比前一【解析】

設第n排的座位數為an(n∈N*),數列{an}為等差數列,其公差d=2,則an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,則劇場總共的座位數為=820.答案:820【解析】設第n排的座位數為an(n∈N*),數列{an}為考點一等差數列基本量的運算與基本概念【題組練透】1.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=(

)A.5 B.7 C.9 D.11考點一等差數列基本量的運算與基本概念【解析】選A.因為{an}是等差數列,所以a1+a5=2a3,即a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,所以S5==5a3=5.【解析】選A.因為{an}是等差數列,2.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復還迎駑馬,二馬相逢,問:幾日相逢? (

)A.12日 B.16日 C.8日 D.9日2.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述:今有良【解析】選D.良馬每日所行里數構成一等差數列,其通項公式為an=103+13(n-1)=13n+90,駑馬每日所行走里數也構成一等差數列,其通項公式為bn=97-(n-1)=-n+,二馬相逢時所走路程之和為2×1125=2250,所以有=2250,即【解析】選D.良馬每日所行里數構成一等差數列,其通=2250,解之得n=9.=223.若等差數列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.153.若等差數列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a【解析】選B.設{an}的公差為d,由S5=?25=

?a4=7,所以7=3+2d?d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.【解析】選B.設{an}的公差為d,由S5=?4.中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2015,則該數列的首項為________.

【解析】設數列首項為a1,則=1010,故a1=5.答案:54.中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為5.在等差數列{an}中,公差d=,前100項的和S100=45,則a1+a3+a5+…+a99=________.

5.在等差數列{an}中,公差d=,前100項的和S1【解析】因為S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,則a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.答案:10【解析】因為S100=(a1+a100)=45,【規律方法】等差數列的基本運算的解題策略(1)等差數列運算問題一般求法:設出首項a1和公差d,然后利用通項公式、前n項和公式轉化為方程(組)求解.【規律方法】等差數列的基本運算的解題策略(2)減少運算量設元技巧:若三個數成等差數列,可設為a-d,a,a+d;若四個數成等差數列,可設為a-3d,a-d,a+d,a+3d.

(2)減少運算量設元技巧:若三個數成等差數列,可設為a-d,考點二等差數列的判斷與證明【典例】(1)已知數列{an}的各項均為正數,前n項和為Sn,且滿足2Sn=+n-4.(n∈N*). 世紀金榜導學號①求證:數列{an}為等差數列;②求數列{an}的通項公式.考點二等差數列的判斷與證明【解析】①當n=1時,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).當n≥2時,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,兩式相減得2an=-+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,【解析】①當n=1時,有2a1=+1-4,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,則an+an-1=1.而a1=3,所以a2=-2,這與數列{an}的各項均為正數相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此數列{an}是首項為3,公差為1的等差數列.因此an-1=an-1或an-1=-an-1.②由①知a1=3,d=1,所以數列{an}的通項公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.②由①知a1=3,d=1,(2)數列{an}滿足a1=1,an+=0.求證:數列是等差數列.(2)數列{an}滿足a1=1,an+=0.【證明】若an+1=0,則an=0,這與a1=1矛盾,所以an+1≠0,由已知得2anan+1-an+an+1=0,所以=2,故數列是以=1為首項,2為公差的等差數列.【證明】若an+1=0,則an=0,這與a1=1矛盾,所以a【規律方法】1.等差數列的四種判斷方法(1)定義法:對于數列{an},若an+1-an=d(n∈N*)(常數),則數列{an}是等差數列.(2)等差中項:對于數列{an},若2an+1=an+an+2(n∈N*),則數列{an}是等差數列.【規律方法】(3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數,n∈N*)?{an}是等差數列.(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數,n∈N*)?{an}是等差數列.(3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數,n∈N*)?2.證明某數列不是等差數列若證明某數列不是等差數列,則只要證明存在連續三項不成等差數列即可.2.證明某數列不是等差數列【對點訓練】1.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),且a1+a3+a5=9,a2+a4+a6=12,則a3+a4+a5= (

)A.9 B.10 C.11 D.12【對點訓練】【解析】選D.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),則數列{an}是等差數列,利用等差數列的性質可知:a3+a4+a5=a2+a4+a6=12.【解析】選D.數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n2.已知正項數列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,若以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+1)上,則數列{an}的通項公式為________.

2.已知正項數列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,若以【解析】因為以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+1)上,所以Sn=an(an+1),即2Sn=+an,2Sn+1=+an+1,兩式相減得:2an+1=+an+1-(+an).【解析】因為以(an,Sn)為坐標的點在曲線y=x(x+即-an+1=+an,即(an+1-)2-=(an+)2-.即an+1-=an+,即an+1-an=1,即數列{an}是以1為首項,1為公差的等差數列,則數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=n.即an=n.答案:an=n即-an+1=+an,即(an+1-)2-考點三等差數列性質及其應用【明考點·知考法】

等差數列性質作為考查等差數列運算知識的最佳載體,因其考查知識點較多成為高考命題的熱點,試題常以選擇題、填空題的形式出現,有時也會出現在解答考點三等差數列性質及其應用題中,考查數列的運算、數列前n項和的最值等問題.解題過程中常常滲透數學運算的核心素養.題中,考查數列的運算、數列前n項和的最值等問題.解題過程中常命題角度1與等差數列性質有關的運算問題

【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為 (

)A.1 B.2 C.4 D.8命題角度1與等差數列性質有關的運算問題【解析】選C.設公差為d,則a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+=48,聯立得①×3-②得(21-15)d=24,6d=24,所以d=4.【解析】選C.設公差為d,則a4+a5=a1+3d+a1+4【一題多解微課】解決本題還可以采用以下方法:選C.因為S6==3(a3+a4)=48,即a3+a4=16,則(a4+a5)-(a3+a4)=24-16=8,即a5-a3=2d=8,解得d=4.【一題多解微課】(2)在等差數列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7= 世紀金榜導學號(

)A.10 B.18 C.20 D.28【解析】選C.因為a3+a8=10,所以由等差數列的性質,得a5+a6=10,所以3a5+a7=2a5+2a6=20.(2)在等差數列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+【狀元筆記】在等差數列中涉及兩項和時,一定要注意其項數和的關系,如果和相等,則兩項的和也對應相等.

【狀元筆記】命題角度2依據等差數列性質求解等差數列前n項和的最值問題【典例】已知等差數列{an}的前n項和為Sn,滿足S5=S9,且a1>0,則Sn中最大的是 (

)A.S6 B.S7 C.S8 D.S15

命題角度2依據等差數列性質求解等差數列【解析】選B.由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,由a1>0知,a7>0,a8<0,所以S7最大.【解析】選B.由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=2(a【狀元筆記】在涉及等差數列前n項和的問題時,一定要想辦法推出該數列從第幾項開始為負(正)值,進而得出最大(小)值.

【狀元筆記】【對點練·找規律】1.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且a2+a7+a12=24,則S13= (

)A.52 B.78 C.104 D.208【解析】選C.依題意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104.【對點練·找規律】2.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,則n的值為 (

)A.18 B.19 C.20 D.212.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,【解析】選D.因為{an}是等差數列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=